3.pdf

(98 KB) Pobierz
729609160 UNPDF
3Pier±cienieiciała
Definicja3.1 Pier±cieniem nazywamytrójk¦uporz¡dkowan¡( R, + , · ),gdzie
R jestzbioremniepustymza±+i · s¡działaniamiwewn¦trznymiwzbiorze
R ,spełniaj¡c¡warunki
(R1) 8 a,b,c 2 R ( a + b )+ c = a +( b + c ) (ł¡czno±¢dodawania)
(R2) 9 0 2 R 8 a 2 R a +0=0+ a = a (elementneutralnydodawania)
(R3) 8 a 2 R 9 − a 2 R a +( − a )=( − a )+ a =0 (elementyprzeciwne)
(R4) 8 a,b 2 R a + b = b + a (przemienno±¢dodawania)
(R5) 8 a,b,c 2 R ( a · b ) · c = a · ( b · c ) (ł¡czno±¢mno»enia)
(R6) 8 a,b,c 2 R ( a · ( b + c )=( a · b )+( a · c ) ^ ( b + c ) · a =( b · a )+( c · a ))
(rozdzielno±¢mno»eniawzgl¦demdodawania).
Mówimyo pier±cieniuprzemiennym ,je»eliponadtospełnionyjestwarunek
(R7) 8 a,b 2 R a · b = b · a (przemienno±¢mno»enia),
za±o pier±cieniuzjedno±ci¡ ,gdyopróczwarunków(R1)–(R6)spełniony
jestwarunek
(R8) 9 1 2 R 8 a 2 R a · 1=1 · a = a (elementneutralnymno»enia),
U»ywaj¡cpoj¦ciagrupymo»nakrótkopowiedzie¢,»epier±cieniemjest
trójka( R, + , · ),wktórej( R, +)jestgrup¡abelow¡,amno»enie · jestł¡czne
irozdzielnewzgl¦demdodawania+(jakwwarunkach(R5)i(R6)).
Przykład3.2 1 Pier±cieniamiprzemiennymizjedno±ci¡s¡(Z , + , · ),(Q , + , · )
oraz(R , + , · ).
2 Dladowolnegonaturalnego n ­ 2pier±cieniemprzemiennymzjedno-
±ci¡jest
( f g )( x )= f ( x )+ g ( x ) , ( f g )= f ( x ) · g ( x )dla x 2 X oraz f,g 2F ( X ; R ) .
( F ( X ; R ) , , )jestpier±cieniem(przemiennym,oile R byłprzemienny).
Elementemneutralnymdodawania jestfunkcjaprzypisuj¡cawszyst-
kimargumentomzero.Je»elipier±cie« R posiadajedno±¢,tofunkcjaprzypi-
suj¡cajedno±¢wszystkimargumentomjestjedno±ci¡pier±cienia( F ( X ; R ) , , ).
1
.
3 Niech( R, + , · )b¦dziepier±cieniem.Rozwa»myniepustyzbiór X oraz
zbiór F ( X ; R )wszystkichfunkcjidziałaj¡cychz X w R .Wzbiorze F ( X ; R )
wprowad¹mydziałania:dodawaniafunkcji imno»eniafunkcji wzorami
Z n , + n , · n
Definicja3.3 Pier±cie«przemiennyzjedno±ci¡( R, + , · )nazywamy pier-
±cieniemcałkowitym ,je»eliniemawnim dzielnikówzera ,tzn.
8 a,b 2 R ( a · b =0= ) ( a =0 _ b =0)) .
Definicja3.4 Niech R b¦dzieustalonympier±cieniemcałkowitym.Rozwa»-
myoznaczazbiórwszystkichci¡gówniesko«czonych(indeksowanychliczba-
mizezbioruN [{ 0 } )owyrazachz R ,któremaj¡tylkosko«czon¡liczb¦
wyrazówró»nychod0,awnimdziałaniadodawaniawielomianówimno»e-
niawielomianówokre±lonewzorami:
a + b =( a n + b n ) n 2 N [{ 0 } =( a 0 + b 0 ,a 1 + b 1 ,a 2 + b 2 ,... )
n X
!
a · b =
a i b n − i
=( a 0 b 0 ,a 0 b 1 + a 1 b 0 ,a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0 ,... )
i =0
n 2 N [{ 0 }
Element a 6 =(0 , 0 ,... )rozwa»anegozbioruzapisujemy
a =
k X
a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a k x k ,
i =0
gdzie k =deg a =max { n ; a n 6 =0 }
inazywamy wielomanemstopniakowspółczynnikachzR .Element0=
(0 , 0 ,... )nazywamy wielomianemzerowymnadR inieprzypisujemymu
stopnia.
Zbiórwszystkichwielomianówowspółczynnikachzpier±cienia R ozna-
czamyprzez R [ x ].Dlaustalonego n 2 N [{ 0 } symbol R [ x ] n oznaczazbiór
wszystkichwielomianównad R stopniaconajwy»ej n wrazzwielomianem
zerowym.
Stwierdzenie3.5 Dladowolnegopier±cieniacałkowitego R zbiór R [ x ]z
działaniamidodawaniawielomianówimno»eniawielomianówjestpier±cie-
niemcałkowitym.
Definicja3.6 Dlawielomianu a 2 R [ x ]stopnia k jego warto±ci¡dlaele-
mentuc 2 R nazywamyelement
a ( c )=
k X
a i c i = a 0 + a 1 c + a 2 c 2 + ... + a k c k
i =0
.
Mówimy,»eelement c jest pierwiastkiemwielomianua ,gdy a ( c )=0.
Pierwiastkamiwielomianuzerowegos¡wszystkieelementypier±cienia.
2
Definicja3.7 Ciałem nazywamytrójk¦uporz¡dkowan¡( F, + , · ),gdzie F
jestzbioremoconajmniejdwóchelementachza±+i · s¡działaniamiwe-
wn¦trznymiwzbiorze F ,spełniaj¡c¡warunki
(F1) 8 a,b,c 2 F ( a + b )+ c = a +( b + c ) (ł¡czno±¢dodawania)
(F2) 9 0 2 F 8 a 2 F a +0=0+ a = a (elementneutralnydodawania)
(F3) 8 a 2 F 9 − a 2 F a +( − a )=( − a )+ a =0 (elementyprzeciwne)
(F4) 8 a,b 2 F a + b = b + a (przemienno±¢dodawania)
(F5) działanie · ograniczonedo F \{ 0 } jestdziałaniemwewn¦trznym
(F6) 8 a,b,c 2 F ( a · b ) · c = a · ( b · c ) (ł¡czno±¢mno»enia)
(F7) 9 1 2 F \{ 0 } 8 a 2 F a · 1=1 · a = a (elementneutralnymno»enia)
(F8) 8 a 2 F \{ 0 } 9 a − 1 2 F \{ 0 } a · a − 1 = a − 1 · a =1 (elementyodwrotne)
(F9) 8 a,b 2 F a · b = b · a (przemienno±¢mno»enia)
(F10) 8 a,b,c 2 F a · ( b + c )=( a · b )+( a · c )
(rozdzielno±¢mno»eniawzgl¦demdodawania).
U»ywaj¡cpoj¦ciagrupymo»nakrótkopowiedzie¢,»eciałemjesttrójka
( F, + , · ),wktórej( F, +)jestgrup¡abelow¡,( F \{ 0 } , · 0jestgrup¡abelow¡,
amno»enie · rozdzielnewzgl¦demdodawania+(jakwwarunkach(R5)i
(R6)).
U»ywaj¡cpoj¦ciapier±cieniamo»nakrótkopowiedzie¢,»eciałemjest
pier±cie«całkowitybezdzielnikówzeraitaki,wktórymka»dyniezerowy
elementmaelemntodwrotny.
jestciałem.
3 ZbiórQ( p 2)= { x + y p 2; x,y 2 Q } Rzdziałaniamidodawaniai
mno»eniapochodz¡cymizRjestciałem.
Z p , + p , · p
Definicja3.9 Je»elidlaciała F istniejeliczba m 2 Ntaka,»e m · 1=
1 + . . . +1
=0to charakterystyk¡ciałaF nazywamyliczb¦
( F )=min { m ; m · 1=0 } .
Wprzeciwnymprzypadku ( F )=0.
Przykład3.10 1 (Q)= (R)=0.
2 (Z p )= p .
Definicja3.11 Ciałemalgebraiczniedomkni¦tym nazywamyciało F takie,
»eka»dywielomianz F [ x ]stopniadodatniegoposiadapierwiasteknale»¡cy
do F .
3
Przykład3.8 1 (Q , + , · )oraz(R , + , · )s¡ciałami
2 Je»eli p jestliczb¡pierwsz¡,to
| {z }
m
729609160.001.png
Przykład3.12 1 CiałoQaniRnies¡algebraiczniedomkni¦te,bowielo-
mian x 2 +1niemawnichpierwiastka.
2 adnezciałZ p niejestalgebraiczniedomkni¦te,bowcieleZ p wielo-
mian x · ( x − 1) · ... · ( x − ( p − 1))+1niemapierwiastka.
4

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin