Lista 3.pdf

AnalizaMatematyczna-IRokInformatyki

LISTA3

n 4 +4; ( d ) a n = p n +8 − p n +3;

( e ) a n =2 n sin n 2 ; ( f ) a n = 1

4 1 +1 + 1

4 2 +2 + ... + 1

4 n + n .

Zadanie2. Zbada¢monotoniczno±¢iograniczono±¢poni»szychci¡gów:

( a ) a n = n

n +1 ; ( b ) a n =

n 2 +4 n − n ; ( c ) a n =cos 2 n ;

2 n ; ( f ) a n = 3 p n 3 +2 − n.

( d ) a n = n !(2 n )!

(3 n )! ; ( e ) a n = n 2

Zadanie3. Korzystaj¡czdeﬁnicjigranicyci¡guudowodni¢,»e:

( a )lim

n !1

n +1 =2; ( b )lim

3 p n +1= 1 ; ( c )lim

n !1 (5 − 2 n )= −1 ;

n !1

n p

n !1 log n +1 5=0; ( e )lim

5=1 .

n !1

Zadanie4. Korzystaj¡cztwierdzeniaoarytmetycegranicobliczy¢:

( a )lim

n !1

6 − 10 n ; ( b )lim

− 3 n 2 +2 n +10

6 n 2 − n +1 ;

n !1

( c )lim

n !1

5 − 10 n 6 ; ( d )lim

− 2 n 4 + n − 5 ;

n 3 − n

n !1

p n +2 n

( e )lim

n !1

6 n 7 − n 4 +2 n 3 − 1

− n 5 +2 ; ( f )lim

n − 2 p n ;

n !1

( g )lim

n !1

n 2 − 2 p n ; ( h )lim

3 n

2 n 3 − 2 n +1 ;

n !1

( i )lim

n !1

− 3 n 6 +2 n 2

n 3 +2 ; ( j )lim

n 2 +3 n − 1 ;

3 p n 2 +1

n !1 ( p n +1 − p n );

( k )lim

n !1

n ; ( l )lim

n !1 ( 3 p n +1 − 3 p n ); ( n )lim

p n 2 +4 n +1 − p n 2 +2 n ;

( m )lim

n !1

( o )lim

n !1

2+ 4+ ... +2 n ; ( p )lim

2+6+ ... +(4 n − 2)

3 n 2 + n ;

n +6 p n +1 − p n

n !1

1+ 1 2 + 1 4 + ... + 1 2 n

( q )lim

n !1

; ( r )lim

n !1

1+ 1 3 + 1 9 + ... + 1 3 n ;

n !1 n 3 p

n 3 + n − n ; ( t )lim

n !1

3 q

n ( n +1) 2 − 3 q

n ( n − 1) 2 ;

( s )lim

p 1+2+ ... + n

2 · 4 p

2 · ... · 2 n p

( u )lim

n !1

n ; ( v )lim

n !1

1 − 1 2 2 1 − 1 3 2 ... 1 − 1 n 2 .

( w )lim

n !1

Zadanie5. Korzystaj¡czTwierdzeniaotrzechci¡gachwyznaczy¢:

( a )lim

n !1

3 n − 1 ; ( b )lim

n p 3 n +4 n +5 n ;

n p n +3; ( d )lim

n !1

n 2 p n +1;

( c )lim

n !1

n q 1

( e )lim

n !1

2 + 2 3 + 3 4 + ... + n

n +1 ; ( f )lim

p n 2 +1 + 1

p n 2 +2 + ... + 1

p n 2 + n

;

n !1

( g )lim

n !1

log 2 (4 n +1) .

Zadanie1. Zbada¢ograniczono±¢poni»szychci¡gów:

( a ) 3 n

3 n +2 ; ( b ) a n =1000 − p n ;

( c ) a n = 4 p

2 n

( d )lim

2 n +1

5 n 6 − 3 n 4 +2

n 4 − 3 n 2

(2 n − 1) 2

n !1

1+3+ ... +(2 n − 1)

sin 2 n +4 n

log 2 (2 n +1)

Zadanie6. Obliczy¢:

( a )lim

n !1

4 n − 3 n ; ( b )lim

9 n +4 ;

n !1

( c )lim

n !1

( n +2)!+( n +1)! ; ( d )lim

2 n +1 − 3 n +2

3 n +3 ;

n !1

n 2 n +1 − 1

( e )lim

n !1

4 · 9 n +7 ; ( f )lim

3 n +1 − 1 .

n !1

Zadanie7. Udowodni¢twierdzenie:

u n +1

u n

= g< 1 ,to lim

Je±lidlaci¡gu { u n } istniejegranica lim

n !1

n !1 u n =0 .

Zadanie8. Korzystaj¡czpowy»szegotwierdzeniawyznaczy¢:

( a )lim

n !1

2 n ; ( b )lim

2 n

n ! ;

n !1

( c )lim

n !1

(2 n )! p ; ( d )lim

n !(2 n )!

(3 n )! .

n !1

Zadanie9. Korzystaj¡czTwierdzeniaoci¡gumonotonicznymiograniczonym

uzasadni¢zbie»no±¢podanychci¡gów:

( a ) x n = 2 n

n ! ; ( b ) y n = 1 1! + 1 2! + ... + 1 n ! + 2

1+ z n ; ( d ) v n = 1+ 1 2

1+ 1 2 2 ... 1+ 1 2 n ;

( n +1)! ;

( c ) z 1 =2 ,z n +1 = z n

( g ) w n = 1 − 1 2

n +1 + 1

n +2 + ... + 1 2 n ; ( f ) d n = 1

... 1 − 1 2 n

4 1 +1! + 1

4 2 +2! + ... + 1

4 n + n ! ;

1 − 1 2 2

; ( h ) f 1 =2 ,f n +1 =1+ 1 f n .

Zadanie10. Obliczy¢:

( a )lim

n !1

1+ 4 n

; ( b )lim

n !1

n +1

; ( c )lim

n !1

1 − 3 n

;

6 n

( n +1) 2 n 2 +4 n

( d )lim

n !1

1+ 1

2 n +3

; ( e )lim

n !1

1 − 1 n 2

; ( f )lim

n !1

( n 2 +2 n ) n 2 +2 n ;

4 n

4 n +3

3 n

3 n +1

3 n +3

6 n

( g )lim

n !1

; ( h )lim

n !1 (0 , 999 9 ... 9

) 10 n ; ( i )lim

n !1

;

|{z}

n 00 dziewi ¡ tek 00

n +4

n +3

5 − 3 n

n 2 − 1

n 2 +1

2 n 2 − 3

n 2 +3

n 2 +1

2 n 2

( j )lim

n !1

; ( k )lim

n !1

; ( g )lim

n !1

+5 .

Zadanie11. Liczb¦anazywamypunktemskupieniaci¡gu,je»eliistniejejegopod-

ci¡gzbie»nydogranicya.

n +1 ;

( d ) x n =3 4+( − 1) n ; ( e ) y n =[( − 1) n − 2] n +1 ; ( f ) z n =sin n 2 +cos n 3 ;

( g ) w n =5 n tg n 3 .

Zadanie12. Niech

> <

1 kdzielin

orazdla n 2 N

> :

0 kniedzielin

a n =

2 − 1

3+ 1

5 − 2

Znale¹¢punktyskupieniategoci¡gu.

3 n − 2 n

3 2 n +1 − 7

( n +2)! − ( n +1)!

5 · 3 2 n − 1

n 1 0

( n !) 2

( e ) b n = 1

Znale¹¢zbiorypunktówskupieniapodanychci¡gów:

( a ) x n =3+2 · ( − 1) n ; ( b ) y n = n sin n 2 ; ( c ) z n = (1+( − 1) n ) n

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: