lagrange.pdf

Interpolacja Lagrange’a

Niech ¼ n oznacza zbi ó r wielomian ó w stopnia co najwy»ej n :

P n ( x )= a 0 + a 1 x + ::: + a n x n :

Twierdzenie Dla dowolnych n +1punkt ó w wƒz“owych( x i ;f i ), i =

0 ; 1 ;:::;n , x i 6 = x k dla i6 = k istnieje dok“adnie jeden wielomian P2¼ n

taki, »e P ( x i )= f i dla i =0 ; 1 ;:::;n .

Konstrukcja wielomianu : aby wskaza¢ ten wielomian konstruujemy wie-

lomiany interpolacyjne Lagrange’a L i 2¼ n ( i =0 ; 1 ;:::;n )o w“asno–ci:

(

1dla i = k

0dla i6 = k

L i ( x k )= ± ik =

› ¡danie to spe“niaj¡ wielomiany:

L i ( x )= ( x¡x 0 ) ¢¢¢ ( x¡x i¡ 1 )( x¡x i +1 ) ¢¢¢ ( x¡x n )

( x i ¡x 0 ) ¢¢¢ ( x i ¡x i¡ 1 )( x i ¡x i +1 ) ¢¢¢ ( x i ¡x n ) ´ ! ( x )

( x¡x i ) ! 0 ( x i ) ;

gdzie ! ( x )= n Q

i =0

( x¡x i ). Wielomiany te s¡ okre–lone jednoznacznie.

Zatem wz ó r interpolacyjny Lagrange’a to:

n X

n Y

x¡x k

x i ¡x k :

P ( x )=

f i L i ( x )=

f i

i =0

k =0 ;k6 = i

Pytanie : z jak¡ dok“adno–ci¡ mo»na wyznaczy¢ warto–¢ funkcji poza

punktami wƒz“owymi?

Twierdzenie Je–li funkcja f jest (n+1)-krotnie r ó »niczkowalna, to dla

ka»dego x istnieje liczba » z najmniejszego przedzia“u I [ x 0 ;x 1 ;:::;x n ;x ]za-

wieraj¡cego wszystkie te punkty taka, »e

f ( x ) ¡P ( x )= ! ( x ) f ( n +1) ( » )

( n +1)! ;

gdzie ! ( x )=( x¡x 0 )( x¡x 1 ) ¢¢¢ ( x¡x n ).

Przyk“ad : z jak¡ dok“adno–ci¡ mo»na wyznaczy¢ warto–¢ln(103)maj¡c

dane: x 0 =100, x 1 =102, x 2 =104, x 3 =106?

j ln(103) ¡P (103) j = jf (103) ¡P (103) j

·j (103 ¡ 100)(103 ¡ 102)(103 ¡ 104)(103 ¡ 106)

jjf 4 ( » ) j

· 9

»2 [100 ; 106] j 6

» 4 j = 9

10 8

24 max

Pytanie : czy dok“adno–¢ interpolacji wzrasta wraz ze wzrostem liczby

wƒz“ ó w (a zatem i wraz ze wzrostem maksymalnego rzƒdu wielomianu inter-

polacyjnego)?

Odpowied„ na to pytanie jest szczeg ó lnie istotna w przypadku, gdy wƒz“y

oraz warto–ci w wƒz“ach zdobywamy na drodze eksperymentu, gdy» wiemy,

czy warto dokona¢ wiƒkszej liczby pomiar ó w. W przypadku, gdy mamy

ju» wszystkie niezbƒdne dane, mo»emy zdecydowa¢, jak wiele z nich nale»y

wykorzysta¢.

Okazuje siƒ, wbrew intuicji, »e wcale tak nie musi by¢. Zwiƒkszanie

rzƒdu wielomianu powoduje wprawdzie poprawƒ dok“adno–ci przybli»enia w

–rodku rozpatrywanego przedzia“u, natomiast przy jego ko«cach zaobserwo-

wa¢ mo»na znaczne pogorszenie. Zjawisko to, zwane zjawiskiemRungego ,

jest szczeg ó lnie widoczne w przypadku wƒz“ ó w r ó wnoodleg“ych oraz funkcji

interpolowanych, kt ó rych wykresy znacznie r ó »ni¡ siƒ od wykres ó w wybiera-

nych wielomian ó w interpolacyjnych.

Jak zatem zapobiec temu zjawisku?

Aby zminimalizowa¢ b“¡d interpolacji najlepiej jako wƒz“y przyj¡¢

wƒz“y Czebyszewa :

z m =cos( 2 m +1

2 n +1 ¼ ) ;m =0 ; 1 ;:::;n:

W przedziale [a,b] warto–ci wƒz“ ó w Czebyszewa uzyskujemy dziƒki nastƒpu-

j¡cemu przekszta“ceniu:

x m = 1

2 [( b¡a ) z m +( a + b )] ;m =0 ; 1 ;:::;n:

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: