calki.pdf

Całkinieoznaczonewa»niejszychfunkcjielementarnych

n+1 +C,n2N[{0},x2R;

(3) R x p dx= x p+1

p+1 +C,p2{−2,−3,−4,...},x2R\{0};

(4) R x dx= x +1

+1 +C,2R\Z, zakreszmienno±cixzale»yodwarto±ci;

(5) R 1 x dx=ln|x|+C,p2{−2,−3,−4,...},x2R\{0};

(6) R a x dx= a x

lna +C,0<a6=1,x2R;

(7) R e x dx=e x +C,x2R;

(8) R sinxdx=−cosx+C,x2R;

(9) R cosxdx=sinx+C,x2R;

(10) R 1

sin 2 x dx=−ctgx+C,x2(k,+k),k2Z;

(11) R 1

cos 2 x dx=tgx+C,x2(− 2 +k, 2 +k),k2Z;

(12) R 1

1+x 2 dx=arctgx+C,x2R;

(13) R 1

p 1−x 2 dx=arcsinx+C,x2(−1,1).

(1) R 0dx=C,x2R;

(2) R x n dx= x n+1

Liniowo±¢całkioznaczonej

Zakładamy,»efunkcje f i g maj¡funkcjepierwotne, c2R .Wówczas

(f(x)+g(x))dx=

f(x)dx+

g(x)dx;

cf(x)dx=c

f(x)dx.

Wzórnacałkowanieprzezcz¦±ci

Zakładamy,»efunkcje f i g maj¡ci¡głepochodne.Wówczas

f(x)·g 0 (x)dx=f(x)·g(x)−

f 0 (x)·g(x)dx.

Wzórnacałkowanieprzezpodstawienie

Zakładamy,»efunkcja f:I!R jestci¡głanaprzedziale I ,funkcja ':J!I maci¡gł¡

pochodn¡naprzedziale J .Wówczas

f(x)dx=

f('(t))·' 0 (t)dt.

f(x) dx=ln|f(x)|+C;

(B) R f 0 (x)

p f(x) dx=2 p f(x)+C.

(A) R f 0 (x)

1.Całkowaniefunkcjiwymiernych.

Def. (funkcjiwymiernejwła±ciwej)

Funkcj¦wymiern¡ W(x)= P n (x)

Q m (x) nazywamywła±ciw¡,je»eli n<m .

Fakt.

Ka»d¡funkcj¦wymiern¡niewła±ciw¡mo»nazapisa¢wpostacisumywielomianuifunkcji

wymiernejwła±ciwej.

(x+a) n ,

gdzie n2N , A,a2R nazywamyułamkiemprostymI-gorodzaju.

Funkcj¦wymiern¡wła±ciw¡postaci

Bx+c

(x 2 +px+q) n ,

gdzie n2N , p,q,B,C2R ,przyczym =p 2 −4q<0 nazywamyułamkiemprostymII-go

rodzaju.

Fakt.(rozkładfunkcjiwymiernejnaułamkiproste)

Ka»dafunkcjawymiernawła±ciwajestsum¡ułamkówprostych.Funkcjawymiernawła±ciwa

postaci

P(x)

a n (x−x 1 ) k 1 (x−x 2 ) k 2 ...(x−x r ) k r (x 2 +p 1 x+q 1 ) l 1 (x 2 +p 2 x+q 2 ) l 2 ...(x 2 +p s x+q s ) l s

jestsum¡k 1 +k 2 +...+k r ułamkówprostychI-gorodzajuorazl 1 +l 2 +...+l s ułamków

prostychII-gorodzaju,przyczym

-czynnikowi(x−x i ) k i odpowiadasumak i ułamkówprostychI-gorodzajupostaci

x−x i + A i2

A i1

(x−x i ) 2 +...+ A ik i

(x−x i ) k i ,1ir;

-czynnikowi(x 2 +p j x+q j ) l j odpowiadasumal j ułamkówprostychII-gorodzajupostaci

x 2 +p j x+q j + B j2 x+C j2

(x 2 +p j x+q j ) 2 +...+ B jl j x+C jl j

(x 2 +p j x+q j ) l j ,1js,

gdzieA i1 ,A i2 ,...,A ik i ,B j1 ,B j2 ,...,B jl j ,C j1 ,C j2 ,...,C jl j 2R.

Def. (ułamkówprostych)

Funkcj¦wymiern¡wła±ciw¡postaci

B j1 x+C j1

Przykładrozkładufunkcjiwymiernejnaułamkiproste.

x 3 (x−5) 2 (x−1)(x 2 +4) 2 = A

x + B

x 2 + C

x 3 + D

x−5 + E

(x−5) 2 + F

x−1 + ax+b

x 2 +4 + cx+d

(x 2 +4) 2

WceluznalezieniawspółczynnikówA,B,CD,E,F,a,b,c,dnale»ypomno»y¢powy»sz¡równo±¢

przezmianownikx 3 (x−5) 2 (x−1)(x 2 +4) 2 .Otrzymamyrówno±¢dwóchwielomianów.

Porównuj¡cwspółczynnikiprzyodpowiednichpot¦gachzmiennejxpoobustronachtej

równo±ci,dostaniemyukładwarunków,zktóregowyznaczymyszukanewspółczynniki.

Algorytmcałkowaniafunkcjiwymiernych.

(Krok1.) Funkcj¦wymiern¡niewła±ciw¡zapisujemywpostacisumywielomianuifunkcji

wymiernejwła±ciwej.

(Krok2.) Mianownikfunkcjiwymiernejwła±ciwejrozkładamynaczynnikiliniowex−x i

orazkwadratowex 2 +px+q,gdzie=p 2 −4q<0.

(Krok3.) Rozkładamyfunkcj¦wymiern¡wła±ciw¡naułamkiproste.

(Krok4.) Obliczamycałkizułamkówprostychkorzystaj¡cm.in.zponi»szychwzorów:

(1.1) R A x+a dx=Aln|x+a|+C,

(1.2) R A

(n−1)(x+a) n−1 +C,n2,

(1.3) R dx

2(n−1)a 2 R dx

(x 2 +a 2 ) n dx= x

2(n−1)a 2 (x 2 +a 2 ) n−1 + 2n−3

(x 2 +a 2 ) n−1 dx,a>0,n2.

x+1

(x+a) n dx=− A

2.Wybranecałkizfunkcjitrygonometrycznych.

(2.1) R sin(ax)dx=− 1 a cos(ax)+C,a6=0,

(2.2) R cos(ax)dx= 1 a sin(ax)+C,a6=0

(2.3) R sin 2 xdx= 1 2 x− 1 4 sin2x+C,

(2.4) R cos 2 xdx= 1 2 x+ 1 4 sin2x+C,

(2.5) R sin n xdx=− 1 n sin n−1 xcosx+ n−1

R sin n−2 xdx,n>2,

n−1 tg n−1 x− R tg n−2 xdx,n>2,

(2.8) R ctg n xdx=− 1

n−1 tg n−1 x− R ctg n−2 xdx,n>2.

Całkipostaci

sinaxcosbxdx,

sinaxsinbxdx,

cosaxcosbxdx,

obliczamystosuj¡cto»samo±citrygonometryczne

sinaxcosbx= 1

2 [sin(a+b)x+sin(a−b)x],

sinaxsinbx= 1

2 [cos(a−b)x−cos(a+b)x],

cosaxcosbx= 1

2 [cos(a+b)x+cos(a−b)x].

Całk¦postaci

R(sinx,cosx,tgx)dx,

gdzieRdowolnafunkcja,mo»naobliczy¢stosuj¡cpodstawienie

u=tg x

2 .

Wtedy

dx= 2du

1+u 2 , sinx= 2u

1+u 2 , cosx= 1−u 2

1+u 2 , tgx= 2u

1−u 2 .

Całk¦postaci

R(sin 2 x,cos 2 x,sinxcosx)dx,

gdzieRdowolnafunkcja,mo»naobliczy¢stosuj¡cpodstawienie

u=tgx.

Wtedy

dx= du

1+u 2 , sin 2 x= u 2

1+u 2 , cos 2 x= 1

1+u 2 , sinxcosx= u

1+u 2 .

(2.6) R cos n xdx= 1 n cos n−1 xsinx+ n−1

R cos n−2 xdx,n>2,

(2.7) R tg n xdx= 1

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: