KMNK.pdf

(87 KB) Pobierz
Model jednorównaniowy z wieloma zmiennymi
objaśniającymi – estymacja parametrów.
Oznaczenia:
Y - zmienna objaśniana,
XX ,...,
, 2
X
- zmienne objaśniające.
1
k
Postać ogólna modelu:
ay i
=
+
a
x
+
a
x
+
...
+
a
x
+
e
,
dla
i
=
1
2
,...,
n
i
0
1
1
i
2
2
i
k
ki
gdzie:
i y - obserwacje zmiennej objaśnianej pochodzące z obiektu lub
okresu o numerze i=1,2,...,n;
, 21 - wartości zmiennych objaśniających o numerach 1,2,...,k
pochodzące z obiektu lub okresu o numerze i=1,2,...,n;
xx ,...,
ii x
ki
aa ,...,
, 1
a
- parametry strukturalne modelu;
0
k
e - składnik losowy przypisany do obiektu lub okresu o numerze
i=1,2,...,n;
i
Postać macierzowa modelu:
Y
= Xa
+
e
gdzie:
• wektor obserwacji zmiennej objaśnianej
y
é
ù
1
ê
ú
y
ê
ú
2
Y :
=
ê
ú
ê
ú
y
ë
û
n
• macierz wartości zmiennych objaśniających
x
x
..
x
1
é
ù
11
21
k
1
ê
ú
x
x
..
x
1
ê
ú
12
22
k
2
X
=
ê
:
:
:
:
ú
:
ê
ú
x
x
..
x
1
ë
û
1
n
2
n
kn
• wektor parametrów strukturalnych
a
é
ù
0
ê
ú
a
ê
ú
1
a :
=
ê
ú
ê
ú
a
ë
û
k
• wektor składników losowych
e
é
ù
1
ê
ú
e
ê
ú
2
e
=
ê
:
ú
ê
ú
e
ë
û
n
Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów.
Założenia Gaussa-Markova:
· model niezmienniczy ze względu na poszczególne obserwacje;
· model liniowy względem parametrów i
a ;
· elementy macierzy X są nielosowe (warunek identyfikacji);
· rząd macierzy X jest równy liczbie szacowanych parametrów (k+1);
· składnik losowy w modelu ma rozkład normalny;
· wartość przeciętna składnika losowego wynosi 0 (
E e
=
0
),
i
2
2
i D );
· składowe wektora składników losowych e są niezależne.
wariancja składnika losowego jest stabilna (
e
=
s
Załóżmy (tymczasowo), że wektor a ˆ jest oszacowaniem nieznanego
wektora parametrów strukturalnych a . Wtedy wartości teoretyczne
takiego modelu są opisane równaniem:
aXY ˆ
ˆ
=
Model identyfikowany z wektorem a ˆ jest tym lepszy im bardziej
wartości teoretyczne Y ˆ są zbliżone do rzeczywistych obserwacji Y .
Wskaźnikiem jakości modelu są zmienne resztowe utworzone według
schematu:
ye ˆ
ii y
=
-
i
Kryterium jakości modelu:
(
n
) (
)
T
ˆ
ˆ
= =
”Najlepszym” oszacowaniem wektora nieznanych parametrów
strukturalnych modelu jest wektor a ˆ , który spełnia warunek:
( )
(
) (
)
aQ T
ˆ
ˆ
ˆ
(
)
e
2
=
e
T
e
=
Y
-
Y
Y
-
Y
=
Y
-
X
a
Y
-
aX
i
i
1
mi ˆ b
aQ b
=
Q
(
)
Zatem:
(
) Y
T 1
-
Xa T
ˆ
=
jest rozwiązaniem problemu minimalizacji sumy kwadratów
zmiennych resztowych, czyli jest oszacowaniem wektora parametrów
strukturalnych otrzymanym KLASYCZNĄ METODĄ
NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW.
X
X

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin