monografia liczb(1).doc

         Monograficzne opracowanie liczb w klasie pierwszej.

              Uczniowie, którzy przychodzą do szkoły w klasie I potrafią liczyć w zakresie 10 lub dalej, nie oznacza to jednak, że rozumieją pojęcie liczby. Nie znają też dokładnie terminów takich jak: „cyfra” i „liczba”.

              Kształtowanie u dziecka pojęcia liczby naturalnej jest nadrzędnym celem edukacji matematycznej w klasach I - III.

              Poznanie liczb w klasie pierwszej jest podzielone na trzy etapy:

1)        Liczby pierwszej dziesiątki: od 0,1,2, … do 10.

2)        Rozszerzenie numeracji do 20.

3)        Rozszerzenie zakresu liczbowego do 100.

Pojęcie liczby jest pojęciem abstrakcyjnym. Liczba  bowiem sama w sobie nie istnieje realnie. Liczba określa pewną ilość lub wielkość. Cyfry są znakami graficznymi służącymi do zapisywania liczb.

Liczbę naturalną należy rozpatrywać w trzech aspektach:

·          Aspekt kardynalny liczby

·          Aspekt porządkowy liczby

·          Aspekt miarowy liczby

Aspekt kardynalny. W tym aspekcie liczba związana jest z liczebnością zbiorów, określa ile elementów ma dany zbiór. W  tym ujęciu liczba jest wspólną własnością wszystkich zbiorów między sobą równolicznych. Zbiorom równolicznym przyporządkowuje się tę samą liczbę elementów. Liczba kardynalna odpowiada na pytanie: ile? Ile jest elementów w zbiorze. Na jej określenie używamy liczebników głównych. Zatem, gdy na zajęciach wprowadzamy np. liczbę 5, dobrze jest zgromadzić na stole różne przedmioty pogrupowane po 5. Prosimy dzieci, aby je obejrzały i zastanowiły się: Co wspólnego możemy o nich wszystkich powiedzieć? Uczniowie powinni odpowiedzieć, że ich wspólną cechą jest to, że jest ich 5.

Dla kształtowania pojęcia liczby w aspekcie kardynalnym można stosować takie ćwiczenia jak:

Liczenie przedmiotów. Na przykład na stole jest 5 kasztanów. Do uczniów zwracamy się: Policz, ile ich jest?.

Ćwiczenia manipulacyjne. Układanie przedmiotów, tyle, ile wskazuje liczba, np. pokazujemy uczniom kartonik z cyfrą 5 mówiąc: Ułóż przed sobą tyle patyczków, ile wskazuje ta liczba., oraz inne typu:

- Włóż do każdej pętli po 3 kasztany. 

- Wskaż  w klasie zbiory dwuelementowe.

- Sprawdź, czy w dwóch zbiorach jest po 6 elementów.

- Włóż do pętli 5 kasztanów, połóż obok pętli kartonik z odpowiednią cyfrą.

Ćwiczenia związane z rysowaniem?, np.

- Zamaluj 4 piłki.

- Obrysuj pętlami po 5 grzybów.

- Narysuj tyle kółek, ile widzisz balonów.

- Narysuj w koszyku tyle jabłek, ile wskazuje cyfra napisana przy koszyku.

Aspekt porządkowy. Liczba w aspekcie porządkowym oznacza miejsce danego elementu w uporządkowanym zbiorze przedmiotów. Wszelkie liczenie, ustawianie po kolei, umieszczanie, itp. wiąże się z aspektem porządkowym liczby naturalnej. Liczba porządkowa mówi, o który z kolei element zbioru chodzi, który z kolei element danego zbioru właśnie rozpatrujemy. Odpowiada na pytanie: który z kolei? Na jej określenie używamy liczebników porządkowych, np. Pomaluj pierwszy koralik na czerwono a szósty na niebiesko.

Pomiędzy aspektem kardynalnym a porządkowym liczby istnieje ścisły związek. Na przykład podczas kolejnego przeliczania żetonów od pierwszego do szóstego należy zwrócić uczniom uwagę, że ważny przy tym przeliczaniu jest ostatni wypowiadany liczebnik, bo on oznacza liczbę kardynalną, czyli szósty ostatni żeton oznacza, że żetonów jest 6. Gdy dziecko liczy kasztany: jeden, dwa, trzy, to choć wypowiada liczebniki główne, to określone nimi liczby mają wyraźny aspekt porządkowy: określają, który z kolei jest dany żeton. Dla kształtowania pojęcia liczby w aspekcie porządkowym można stosować takie ćwiczenia jak:

- Podaj mi trzeci lizak od prawej strony.

- Pomaluj czwartą piłkę w rzędzie licząc od strony lewej.

- Ponumeruj kubeczki, do szóstego od prawej włóż łyżeczkę.

- Pod piątą choinką narysuj grzybka.

- W szóstym pudełku narysuj trzy guziki.

- Stań na trzecim schodku.

- Weź do ręki czwartą od dołu książkę.

Aspekt miarowy. Liczba w aspekcie miarowym określa, ile razy w danej wielkości mieści się wielkość jednostkowa. Wynik pomiaru zależy od wyboru jednostki; przy zmianie jednostki zmienia się wartość liczbowa wyniku, choć wielkość mierzona jest ta sama. Ćwiczenia kształtujące pojęcie liczby w tym aspekcie to np.

- Zmierz przy pomocy ołówka szerokość ławki.

- Zmierz krokami długość klasy.

- Sprawdź ile patyczków potrzeba do zmierzenia długości książki.

- Zmierz długość swojej ręki przy pomocy ołówka.

- Zmierz stopami długość swojego skoku.

Realizując ten aspekt liczby można posłużyć się klockami z zestawu Cuisenaire`a, np. pomiar szerokości zeszytu za pomocą klocka o długości 3 cm (klocek niebieski) można wykonać na dwa sposoby. Pierwszy polega na tym, że bierzemy kilka niebieskich klocków i układamy je na brzegu zeszytu jeden obok drugiego, sprawdzając ile ich się zmieści. Drugi sposób różni się tym, że zamiast kilku niebieskich klocków bierzemy tylko jeden i odkładamy go odpowiednią ilość razy wzdłuż brzegu zeszytu. Następnie możemy do mierzenia posłużyć się klockiem o innej długości, uświadamiając uczniom, że otrzymana w wyniku pomiaru liczba jest inna od poprzedniej, ponieważ zmieniliśmy jednostkę mierzącą lecz przedmiot mierzony pozostał ten sam. Warto też zwrócić uczniom uwagę na fakt, że tego rodzaju pomiary dają nam jedynie wynik przybliżony.

Dopiero synteza tych trzech aspektów może dać prawidłowy obraz liczby rozumianej jako abstrakcyjny obiekt matematyczny. Zadaniem nauczyciela jest więc dążenie do tego, by w umyśle dziecka powstało pojęcie liczby naturalnej jako synteza liczby kardynalnej, liczby porządkowej i liczby będącej wynikiem mierzenia.

W monograficznym opracowaniu liczby powinny wystąpić następujące elementy:

1)        Sposób powstania danej liczby.

2)        Aspekt kardynalny liczby.

3)        Aspekt porządkowy liczby.

4)        Aspekt miarowy liczby.

5)        Nauka pisania cyfry odpowiadającej danej liczbie.

6)        Rozkład liczby na składniki.

7)        Porównywanie nowej liczby z innymi wcześniej poznanymi.

8)        Zastosowanie nowej liczby w rozwiązywaniu zadań matematycznych.

Ponieważ poszczególne aspekty liczb zostały już szerzej omówione. Warto zwrócić jeszcze uwagę na pierwszy z wymienionych etapów wprowadzania nowej liczby ,czyli sposób jej powstania. Powstanie danej liczby może się odbywać przez zwiększenie liczby poprzedniej o 1 lub zmniejszenie liczby następnej o 1. W tym etapie możemy wykorzystać:

Ćwiczenia manipulacyjne, np.

  - Do kredek, które masz w pudełku dołóż jeszcze jedną kredkę. Policz, ile masz teraz kredek?

Ćwiczenia typu rysunkowego, np.

- Policz ile jest piłek na tym rysunku. Dorysuj jeszcze jedną piłkę. Ile jest teraz piłek na rysunku?

Ćwiczenia typu słownego, np.

- W autobusie jechało 7 osób. Na przystanku wysiadł jeden pasażer. Ile pasażerów zostało w autobusie?

Ćwiczenia typu symbolicznego ( po wprowadzeniu formuły dodawania i odejmowania ),  np.

- Jeżeli do liczby 8 dodasz 1, to ile otrzymasz? Zapisz odpowiednie działanie.

Pojęcie liczby naturalnej kształtujemy zawsze w kontekście działań arytmetycznych: dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia oraz w kontekście rozwiązywania zadań tekstowych

Na szczególną uwagę zasługuje liczba 0. Przykładem traktowania zera jako liczby kardynalnej są ćwiczenia polegające np. na narysowaniu  w pętli tyle elementów, ile pokazuje napisana obok liczba, czyli 0. Zbiór oznaczony liczbą  0 jest zbiorem pustym. Nic w nim nie rysujemy. Jednak sformułowanie „zero to znaczy nic” jest błędem, ponieważ zero jest liczbą jak inne i należy traktować 0 jako jedną z liczb naturalnych.  Aby dziecko mogło rozumieć zero jako jedną z liczb, konieczne jest takie kierowanie procesem jej poznania, jak ma to miejsce w przypadku pozostałych liczb, a zatem w sytuacji, kiedy czegoś nie ma, na pytanie: ile jest? odpowiadamy; zero, np. zero jabłek, zaś w przypadku zapisywania odpowiedzi do zadania tekstowego nie zapiszemy: w koszyku nic nie zostało, czy w koszyku nie ma jabłek, tylko: W koszyku zostało 0 jabłek.

Pojęcie liczby naturalnej jest kształtowane nie tylko w początkowym etapie kształcenia matematycznego i nie jest zarezerwowane tylko dla klasy pierwszej. W miarę jak zwiększa się zakres liczbowy w następnych etapach edukacji oraz w klasie drugiej, trzeciej, czy nawet w starszych klasach uczeń rozszerza i wzbogaca swoje pojęcie na temat liczb i ich własności.

Przygotowanie ucznia do prawidłowego liczenia rozpoczyna się w klasie pierwszej od kształtowania pojęcia liczby naturalnej jako syntezy jej trzech podstawowych aspektów: kardynalnego, porządkowego i miarowego. Liczba kardynalna określa, ile elementów ma dany zbiór. Liczbom kardynalnym odpowiadają w matematyce liczebniki główne. Z aspektem kardynalnym liczby wiąże się nierozerwalnie aspekt porządkowy. Liczba porządkowa określa, który z kolei element zbioru rozpatrujemy. Pojęcie liczby porządkowej ma uczeń ukształtowane wtedy, gdy rozumie jakie stosunki ilościowe zachodzą między liczbami w ciągu liczb naturalnych. W trzecim z wymienionych aspektów, liczba jest miarą pewnej wielkości ciągłej. Aspekt miarowy kształtuje się u uczniów około sześć miesięcy później niż aspekt kardynalny i porządkowy. Z wymienionymi aspektami wiąże się aspekt algebraiczny, związany z  działaniami  na liczbach, polega on między innymi na rozkładzie liczb na składniki. Rozkład liczb na składniki przygotowuje uczniów  do opanowania działań dodawania i odejmowania[1]. Pojęcie liczby – samo zawarte w pojęciu liczenia „ jest gruntem dla zrozumienia wszystkich działań, gdyż one z niego naturalną drogą wypływają. Przy dobrym kierowaniu pracą, dziecko zdobywa jednocześnie pojęcie liczby i liczenia

Kształtowanie pojęcia liczby rozpoczyna się od ćwiczeń na zbiorach, ustalanie odpowiedniości wzajemnie jednoznacznej pomiędzy elementami zbioru stanowi bezpośrednie przygotowanie ucznia do zrozumienia, czym jest liczba. Pojęcie liczby w aspekcie mnogościowym polega na wyodrębnieniu jej jako wspólnej własności zbiorów równolicznych. Liczenie przedmiotów jest procesem odwzorowania wzajemnie jednoznacznego dwóch zbiorów: zbioru przedmiotów konkretnych i zbioru liczebników kolejno po sobie następujących. Liczenie należy rozpoczynać możliwie wcześnie wykorzystując różne naturalne sytuacje[2]. Pojęcie liczby kształtujemy na małych liczbach. Na liczbach pierwszej dziesiątki wychowankowie uczą się porównywania liczb, wykonują ćwiczenia polegające na znajdowaniu miejsca danej liczby w uporządkowanym ciągu liczb, uczą się dodawania i odejmowania.

Pojęcie liczby jest ściśle związane z pojęciem działania arytmetycznego. Czynności składania i rozkładania klocków oraz wszystkie inne czynności manualno – praktyczne stanowią pierwszy etap kształtowania czynności umysłowych. W kształtowaniu pojęcia dodawania ważne jest, aby czynności konkretne miały zróżnicowany charakter. Na przykład – dosuwanie, dokładanie, dolewanie, dosypywanie. Na drodze pierwotnego abstrahowania uczniowie uogólniają te czynności, ponieważ wszystkie one wiodą do połączenia zbiorów. Stopniowo czynności manualno – praktyczne zostają zastąpione tylko wyobrażeniem tych czynności przy równoczesnym opisie słownym (czynności werbalne). Wreszcie przekształcają się one w czynności umysłowe wyrażone za pomocą symboli i znaków matematycznych. Działanie arytmetyczne pozwala uczniom lepiej zrozumieć pojęcie liczby

Właściwe kształtowanie pojęcia sumy zakłada rozumienie pewnych własności dodawania. Rozumienie przez uczniów przemienności dodawania oznacza rozumienie, że 3+4 i 4+3 są sobie równe. Równość tych liczb nie może wynikać z rachunku. Niemal równocześnie z nauką dodawania rozpoczyna się naukę odejmowania. Odejmowanie uczniowie poznają wtedy, gdy dodawanie interpretują jeszcze za pomocą czynności. Punktem wyjścia dla wprowadzenia odejmowania jest dodawanie. Wprowadzenie odejmowania z dodawania, na skutek przekształcania zadania uprzytamnia uczniom związek logiczny między tymi działaniami. W momencie wprowadzenia odejmowania wychowankowie kojarzą odejmowanie z  czynnością odwrotną do dodawania, co przyczynia się do powiązania nowych wiadomości (odejmowania) z wiadomościami uprzednio zdobytymi (dodawaniem) w logiczny układ wiedzy

Gdy uczniowie posługują się liczbami do 25 można zacząć zapoznawać ich z nowym działaniem – mnożeniem. Mnożenie uczniowie klasy pierwszej poznają jako skrócone dodawanie jednakowych składników. Początkowo mnożenie wyrażone jest różnymi czynnościami fizycznymi. Zapisując dodawaniem jednakowych składników i krócej mnożeniem, odpowiadające im czynności, uczniowie zaczynają obejmować poznanym działaniem –mnożeniem –ogół tych czynności. Dalsze ćwiczenia służą do oderwania mnożenia od czynności materialnej. Oderwanie się myśli ucznia od czynnościowego pojmowania mnożenia dokonuje się łatwo i szybko z uwagi na wprowadzenie tego działania z dodawania jednakowych składników

W pierwszej klasie wprowadzenie dzielenia wykorzystujemy do pogłębienia mnożenia i wykazania związku między tymi działaniami. Dzielenie jest działaniem arytmetycznym stosunkowo trudnym. Trudność tkwi w samym charakterze tego działania. Łączy ona dwa typy zagadnień: dzielenia – „po kilka” – czyli mieszczenia i dzielenia „na kilka równych części” – czyli podział. Różnica między nimi występuje wyraźnie w sytuacjach konkretnych, które rozwiązywane są za pomocą tego samego działania – dzielenia liczby przez liczbę. Wprowadzając  dzielenie należy wyjść od znanych uczniom intuicyjnie dwóch przypadków dzielenia (mieszczenia i podziału) i stopniowo doprowadzać do abstrakcji i  uogólnienia, to znaczy dzielenia „przez”. Opracowywanie obu przypadków dzielenia opieramy na czynnościach wykonywanych przez uczniów

              Opanowanie dodawania i odejmowania liczb w zakresie 20 z przekroczeniem dziesiątki powinno doprowadzić uczniów do zrozumienia tych działań oraz zmechanizowania operacji rachunkowych w tym zakresie. Nowoczesne nauczanie matematyki wymaga wprowadzania i stosowania skutecznych metod i środków dydaktycznych. Przygotowanie ucznia w klasie pierwszej do prawidłowego liczenia musi uwzględniać w procesie nauczania wyeksponowanie roli ucznia jako podmiotu nauczania, ucznia  który się uczy i korzysta z pomocy nauczyciela. Wymaga to prawidłowej organizacji działalności wychowanków, w wyniku której mogą oni osiągnąć określone w programie nauczania wiadomości, umiejętności i sprawności.                                                 

Z edukacją matematyczną dziecko spotyka się dużo wcześniej niż w szkole. Dorośli uczą je:

·          wyodrębniania przedmiotów do liczenia i liczenia ich w określony sposób,

·          ustalenia, gdzie jest więcej, a gdzie mniej poprzez policzenie przedmiotów,

·          określenia wyniku dodawania i odejmowania.

Ten zakres umiejętności nazywamy dziecięcym liczeniem. Jego podstawą są pewne intuicje matematyczne dostępne już dzieciom na poziomie wyobrażeń przedoperacyjnych. Taki poziom pozwala dzieciom na sprawne liczenie i rozróżnienie błędnego liczenia od poprawnego oraz wyznaczyć wynik dodawania i odejmowania w zakresie 10 „w pamięci” lub na palcach. Występują tu jednak pewne ograniczenie. Dziecko poda wynik dodawania lub odejmowania wtedy, gdy widzi przedmioty i policzy je dotykając lub wskazując każdy. Dlatego ta umiejętność nie wystarcza pierwszoklasistom, by sprostać wymaganiom stawianym na lekcji, choć jest to ważny wskaźnik dojrzałości do uczenia się matematyki.