X – obserwowana zmienna losowa

              X – wzrost (169, 150, 175, ....)

              X – czas pracy silnika do generalnego remontu

Próba losowa

- zmienne losowe

- próbka (realizacja próby losowej)

xi – wartości ,

Opis zaobserwowanej próbki

- empiryczna wartość oczekiwana

- średnia arytmetyczna

- wariancja empiryczna

Estymacja punktowa jeżeli szacujemy wartość oczekiwaną przez jakąś liczbę

Każdą funkcję zmiennych losowych Xi nazywamy statystyką.

np.:             

Df.

Niech X – zm. los. o rozkładzie ciągłym.

Kwantylem rzędu p zm. los. X nazywamy liczbę:

Estymacja przedziałowa

X – zm. los., q - parametr (nieznany zm. los. X)

(G1,G2) – przedział losowy: P(qÎ(G1,G2))=1-a

1-a - poziom ufności (zazwyczaj 1-a ={0,99; 0,95; 0,92; 0,90}

(g1,g2) – przedział liczbowy ( realizacja przedziału losowego (G1,G2) )

Estymacja przedziałowa polega na wyznaczeniu 2-ch statystyk G1 i G2,

takich że P(qÎ(G1,G2))=1-a

Rozróżniamy przedziały ufności:

·         dwustronne (G1 , G2)

·         jednostronne (G1 , ¥) – lewostronne

·         jednostronne (¥ , G2) – prawostronne

Przedział liczbowy (g1,g2) którego końce są zaobserwowanymi aktualnie wartościami G1 i G2 nazywamy realizacją przedziału losowego.

Interpretacja przedziału ufności i współczynnika ufności

Jeżeli pobierzemy 100 n elementowych próbek i dla każdej z nich wyznaczymy realizacje (g1,g2) ze współczynnikiem ufności 1-a i za każdym razem będziemy twierdzić, że otrzymana realizacja pokrywa parametr q to będziemy mieli rację (1-a)*100 razy.

Przedziały ufności dla wartości oczekiwanej

PATRZ TABELA MODELE

Niech X będzie obserwowaną zm. los., która opisuje średnie zużycie przędzy do wyprodukowania 1 metra bieżącego tkaniny.

Dokonano ( niezależnych pomiarów:

n=9                            473, 482, 489, 464, 476, 487, 474, 480

Zakładając, że rozważana cecha ma rozkład N(m,8) wyznaczyć ze wsp. ufności 1-a =0,95 realizacje dwustronnego przedziału ufności dla wartości oczekiwanej.

wartość odczytać z tablic

(g1,g2) realizacja przedziału losowego (G1 i G2)

Szukana realizacja to (471,77 ; 482,23)