(3924) 5zmienna_losowa_typu_skokowego.doc

XII.                  Zmienna losowa typu skokowego (dyskretnego)

Zmienna losowa X jest typu skokowego (dyskretnego), jeśli przyjmuje ona tylko skończoną (lub przeliczalną) liczbę wartości {x1, x2, x3,..., xn}  (tzw. punkty skokowe), tak, że dla każdego i=1,2,...,n.) (i=1,2,....)

P(X= xi)= pi>0,

gdzie               ().

Oznacza to, że zmienna losowa X przyjmuje wartość z prawdopodobieństwem .

Funkcją rozkładu prawdopodobieństwa (funkcją prawdopodobieństwa, rozkładem prawdopodobieństwa) zmiennej losowej X nazywamy funkcję p określoną wzorem

p(xi)=P(X= xi)i.

Funkcję prawdopodobieństwa P określoną na wartości xi oznaczamy przez pi, czyli pi=p(xi).

Innym sposobem określania funkcji prawdopodobieństwa zmiennej losowej X jest metoda tabelkowa:

Dystrybuantą zmiennej losowej skokowej X jest funkcja F określona wzorem

,

gdzie sumowanie odbywa się po tych , które spełniają nierówności .

UWAGA!!!

Mając dany rozkład prawdopodobieństwa możemy wyznaczyć jej dystrybuantę i odwrotnie, mając daną dystrybuantę zmiennej losowej X możemy podać rozkład prawdopodobieństwa.

Przykład

(1)              W pudełku jest 10 losów ponumerowanych od 1 do 10. Na los z numerem 1 pada główna wygrana 10, na losy z numerami 2 i 3 wygrana pocieszenia 1, a za wyciągnięcie pozostałych płacimy 2(wygrywamy – 2). Załóżmy, że wyciągnięcie każdego z losów jest jednakowo prawdopodobne. Doświadczenie polega na wyciągnięciu jednego losu.

Przestrzeń zdarzeń elementarnych W={1,2,...,10} i jest skończona. Określmy funkcję

X będzie zmienną losową skokową oznaczającą wygraną. gdzie A={-2,1,10}. Zauważmy, że

X(1)=10, X(2)=X(3)=1, X(4)=X(5)=...=X(10)=-2.

Określmy rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X

P(X=10)=p1=

P(X=1)= p2+ p3= 

P(X=-2)= p4+ p5+ p6+ p7+ p8+ p9+ p10= 

Zapis tabelkowy

Wyznaczmy dystrybuantę zmiennej losowej

Dla               x£-2                            F(x)=P(X<x)==0

Dla              –2<x£1              F(x)==p1=0,7

Dla               1<x£10              F(x)==p1+ p2=0,7+0,2=0,9

Dla               x>10              F(x)==p1+ p2+ p3=0,7+0,2+0,1=1

Tak więc             

(2)              Niech zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa

Wówczas dystrybuantę wyliczamy w następujący sposób

dla                            

dla              

dla              

dla              

dla              

Zatem możemy teraz zapisać dystrybuantę w uproszczony sposób

lub za pomocą tabelki

Problem ten możemy teraz odwrócić, tzn. mamy zadaną dystrybuantę zmiennej losowej X określoną przy pomocy powyższej tabelki. Szukamy rozkładu prawdopodobieństwa tej zmiennej losowej. Zauważamy, że punktami skokowymi są punkty 0, 1, 3, i 6 (jako punkty nieciągłości dystrybuanty), których prawdopodobieństwa wyznaczamy za pomocą następujących zależności

Stąd rozkład prawdopodobieństwa przedstawia się jak w tabelce na początku tego przykładu.

Możemy teraz, mając daną jedną zmienną losową, tworzyć na jej podstawie inne zmienne losowe.

XIII.               Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej skokowej

Zmienna losowa X typu skokowego przyjmuje wartości ze zbioru {x1, x2, x3,..., xn}, zaś jego funkcją rozkładu prawdopodobieństwa jest  p.

Wartością oczekiwaną (wartością przeciętną, wartością średnią, nadzieją matematyczną) zmiennej losowej skokowej X nazywamy liczbę

.

Wartość oczekiwana jest to więc pewna średnia ważona wartości zmiennej losowej.

UWAGA

Własności wartości oczekiwanej:

1.

2.

3.

4.

5.

6. .

Przykład

(1)                           Zmienna losowa X ma rozkład zadany za pomocą tabelki