XII. Zmienna losowa typu skokowego (dyskretnego)
Zmienna losowa X jest typu skokowego (dyskretnego), jeśli przyjmuje ona tylko skończoną (lub przeliczalną) liczbę wartości {x1, x2, x3,..., xn} (tzw. punkty skokowe), tak, że dla każdego i=1,2,...,n.) (i=1,2,....)
P(X= xi)= pi>0,
gdzie ().
Oznacza to, że zmienna losowa X przyjmuje wartość z prawdopodobieństwem .
Funkcją rozkładu prawdopodobieństwa (funkcją prawdopodobieństwa, rozkładem prawdopodobieństwa) zmiennej losowej X nazywamy funkcję p określoną wzorem
p(xi)=P(X= xi)i.
Funkcję prawdopodobieństwa P określoną na wartości xi oznaczamy przez pi, czyli pi=p(xi).
Innym sposobem określania funkcji prawdopodobieństwa zmiennej losowej X jest metoda tabelkowa:
Dystrybuantą zmiennej losowej skokowej X jest funkcja F określona wzorem
,
gdzie sumowanie odbywa się po tych , które spełniają nierówności .
UWAGA!!!
Mając dany rozkład prawdopodobieństwa możemy wyznaczyć jej dystrybuantę i odwrotnie, mając daną dystrybuantę zmiennej losowej X możemy podać rozkład prawdopodobieństwa.
Przykład
(1) W pudełku jest 10 losów ponumerowanych od 1 do 10. Na los z numerem 1 pada główna wygrana 10, na losy z numerami 2 i 3 wygrana pocieszenia 1, a za wyciągnięcie pozostałych płacimy 2(wygrywamy – 2). Załóżmy, że wyciągnięcie każdego z losów jest jednakowo prawdopodobne. Doświadczenie polega na wyciągnięciu jednego losu.
Przestrzeń zdarzeń elementarnych W={1,2,...,10} i jest skończona. Określmy funkcję
X będzie zmienną losową skokową oznaczającą wygraną. gdzie A={-2,1,10}. Zauważmy, że
X(1)=10, X(2)=X(3)=1, X(4)=X(5)=...=X(10)=-2.
Określmy rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X
P(X=10)=p1=
P(X=1)= p2+ p3=
P(X=-2)= p4+ p5+ p6+ p7+ p8+ p9+ p10=
Zapis tabelkowy
wartość zmiennej losowej
-2
1
10
prawdopodobieństwo
0,7
0,2
0,1
Wyznaczmy dystrybuantę zmiennej losowej
Dla x£-2 F(x)=P(X<x)==0
Dla –2<x£1 F(x)==p1=0,7
Dla 1<x£10 F(x)==p1+ p2=0,7+0,2=0,9
Dla x>10 F(x)==p1+ p2+ p3=0,7+0,2+0,1=1
Tak więc
(2) Niech zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa
0
3
6
Wówczas dystrybuantę wyliczamy w następujący sposób
dla
Zatem możemy teraz zapisać dystrybuantę w uproszczony sposób
lub za pomocą tabelki
Problem ten możemy teraz odwrócić, tzn. mamy zadaną dystrybuantę zmiennej losowej X określoną przy pomocy powyższej tabelki. Szukamy rozkładu prawdopodobieństwa tej zmiennej losowej. Zauważamy, że punktami skokowymi są punkty 0, 1, 3, i 6 (jako punkty nieciągłości dystrybuanty), których prawdopodobieństwa wyznaczamy za pomocą następujących zależności
Stąd rozkład prawdopodobieństwa przedstawia się jak w tabelce na początku tego przykładu.
Możemy teraz, mając daną jedną zmienną losową, tworzyć na jej podstawie inne zmienne losowe.
XIII. Charakterystyki liczbowe zmiennej losowej skokowej
Zmienna losowa X typu skokowego przyjmuje wartości ze zbioru {x1, x2, x3,..., xn}, zaś jego funkcją rozkładu prawdopodobieństwa jest p.
Wartością oczekiwaną (wartością przeciętną, wartością średnią, nadzieją matematyczną) zmiennej losowej skokowej X nazywamy liczbę
.
Wartość oczekiwana jest to więc pewna średnia ważona wartości zmiennej losowej.
UWAGA
Własności wartości oczekiwanej:
1.
2.
3.
4.
5.
6. .
(1) Zmienna losowa X ma rozkład zadany za pomocą tabelki
...
Admirabilis