matma-wat.pdf

(3315 KB) Pobierz
mechatronika212a.dvi
Matematyka
dla studiów dziennych
IRENEUSZ WINNICKI
Wojskowa Akademia Techniczna
2005
1
Spis tresci
Spis rysunków
17
Spis tablic
17
1 Zbiory i odwzorowania 18
1.1 Liczby naturalne i zasada indukcji zupełnej.................... 18
1.2 Liczby całkowiteiliczbywymierne ........................ 19
1.3 Liczbyrzeczywiste ................................. 20
1.3.1 Liczbyniewymierne............................. 20
1.3.2 PrzekrójDedekinda............................. 20
1.3.3 Liczbyrzeczywiste ............................. 21
1.3.4 Wartos´cbezwzgledna (moduł)....................... 22
1.4 Działanianazbiorach................................ 23
1.4.1 Produkt kartezja ´ nski............................ 24
1.5 Zbioryliczb.Kresgórny,kresdolny........................ 25
1.6 Odwzorowania(funkcje) .............................. 27
1.7 Typy odwzorowa ´ n.................................. 29
1.8 Symboleiwzory................................... 31
2 Teoria liczb zespolonych 37
2.1 Troch ˛ehistorii.................................... 37
2.2 Liczbyzespolone .................................. 38
2.3 Płaszczyzna zespolona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... 39
2.4 Posta ´ ctrygonometrycznaliczbyzespolonej.................... 40
2.5 Posta´cwykładniczaliczbyzespolonej ....................... 41
2.6 Liczby zespolone, sprz e ˙ zone,przeciwneiodwrotne................ 41
2.7 Działaniaarytmetycznenaliczbachzespolonych................. 42
2.8 Pot ˛egowanieliczbzespolonych........................... 44
2.9 Pierwiastkowanieliczbzespolonych ........................ 45
3 Macierze i wyznaczniki 48
3.1 Definicja macierzy. Działanianamacierzach.................... 48
3.2 Szczególnerodzajemacierzykwadratowych.................... 49
3.3 Działanianamacierzach .............................. 51
3.4 Wyznacznik. Definicja. Własno´sci......................... 55
3.5 Obliczanie warto ´ sciwyznacznikadowolnegostopnia............... 58
3.6 Własno´sciwyznaczników.............................. 61
3.7 Macierz doł ˛ aczona,odwrotnaimacierzortogonalna............... 65
3.8 Równaniecharakterystycznemacierzy....................... 71
4 Równania liniowe. Układy równan liniowych 73
4.1 Równanieliniowe.................................. 73
4.2 Układ równa´n.................................... 73
4.3 Kombinacja liniowa równa ´ n ............................ 74
4.4 Układ równan liniowych. Macierz układu. Macierz rozszerzona. . . . . . . . . 75
4.5 Przekształcenia elementarne i zmiana numeracji niewiadomych . . . . . . . . 76
4.6 Sprowadzaniemacierzydopostacinormalnej................... 76
2
4.7 MetodaeliminacjiGaussa ............................. 80
4.7.1 Dyskusja układu równa´nwpostacinormalnej .............. 81
4.8 Wybór elementów głównych............................ 83
4.9 Twierdzenie Kroneckera-Capelliego. UkładCramera. .............. 86
4.10Uwarunkowaniemacierzy.............................. 92
4.11 Układyjednorodne ................................. 94
5 Algebra liniowa 96
5.1 Definicjaprzestrzeniwektorowej.......................... 96
5.2 Liniowa zaleznosc i niezaleznos ´ cukładuwektorów................ 97
5.3 Macierz przejscia. Zmiana współrz ednych wektora przy zmianie bazy. . . . . . 103
6 Wektory w przestrzeni R 3 105
6.1 Skalaryiwektory.................................. 105
6.1.1 Równoległosc i prostopadłos ´ cwektorów.................. 105
6.1.2 Kierunekizwrotwektora ......................... 106
6.1.3 Równos ´ cwektorów............................. 106
6.2 Dodawaniewektorów................................ 107
6.2.1 Moduł sumywektorów........................... 108
6.2.2 Wektoryprzeciwne............................. 108
6.3 Odejmowaniewektorów............................... 108
6.4 Wersory....................................... 109
6.5 Iloczynskalarnywektorów............................. 110
6.5.1 Własno´sciiloczynuskalarnego....................... 110
6.6 Orientacja przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.7 Iloczynwektorowy ................................. 111
6.7.1 Własno´sciiloczynuwektorowego...................... 111
6.8 Iloczyn mieszany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.9 Podwójnyiloczynwektorowy............................ 113
6.10 Działania na wektorach w prostok atnym układzie współrz ˛ednych........ 113
6.10.1 Analityczne wyrazenie działan na wektorach w przestrzeni . . . . . . . 114
6.10.2 Modułwektora ............................... 114
6.11 Warunek prostopadłosci i warunek równoległo ´ sci2wektorów.......... 115
6.12 Przykłady...................................... 115
7Pro taipłaszczyzna w przestrzeni R 3 120
7.1 Równanieprostej.................................. 120
7.2 K at dwóch prostych na płaszczy ´ znie........................ 124
7.3 Odległos ´ cpunktuodprostej............................ 125
7.4 Dwusieczne k atów dwóch przecinaj acych si ˛eprostych .............. 126
7.5 P ˛ekprostych..................................... 126
7.6 Prostawprzestrzeni ................................ 126
7.6.1 Prosta przechodz aca przez dany punkt i równoległadodanegowektora 127
7.6.2 Prosta przechodz acaprzezdwaró ˙ znepunkty............... 127
7.7 Płaszczyzna w przestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.7.1 Posta´ckierunkowapłaszczyzny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.8 Przykłady...................................... 130
3
8Ciagi i szeregi liczbowe 137
8.1 Ci ˛agliczbowyijegogranica............................ 137
8.2 Własnosci ci ˛ agugeometrycznego.......................... 143
8.3 Działania na ci ˛agachiichgranicach.Symbolenieoznaczone........... 143
8.4 Warunki zbieznosci ci ˛agu.............................. 146
8.5 Liczba e=2,718281.................................. 148
8.6 Sumowanie wyrazów ci ˛ agu............................. 152
8.7 Szeregliczbowyijegosuma ............................ 152
8.8 Kryteria zbiezno´sciszeregów............................ 156
8.9 Zbieznos´cbezwzgledna i zbieznos´cwarunkowa.................. 160
8.10 Przykłady...................................... 161
9Prze trzen metryczna 165
9.0.1 Iloczynskalarny............................... 165
9.0.2 Normawektora............................... 166
9.0.3 Normamacierzy............................... 168
9.0.4 Szczególne przypadki normy drugiej macierzy . . . . . ......... 174
9.0.5 NormaFrobeniusa ............................. 175
9.0.6 Przykłady.................................. 175
9.1 Okreslonosc macierzy i okreslonos ´ cformykwadratowej ............. 176
10 Funkcje jednej zmiennej 180
10.1 Otoczenie i s asiedztwo. Punkt skupienia. Definicja funkcji zmiennej x...... 180
10.2Rodzajefunkcji................................... 182
10.2.1 Okre ´ slaniefunkcjijednejzmiennej..................... 182
10.2.2Funkcjewzajemnieodwrotne........................ 182
10.2.3Funkcjeelementarne ............................ 182
10.2.4Funkcjenieelementarne........................... 187
10.2.5Funkcjeparzyste,nieparzysteiokresowe ................. 189
11 Granica funkcji 191
11.1 Warunki istnienia granicy. Rachunek granic niewła ´ sciwych ........... 195
11.2Symbolenieoznaczone ............................... 196
12 Ci agłosc funkcji 199
12.1 Własnosci funkcji ci agłych............................. 200
12.2 Przykłady...................................... 203
13 Pochodne funkcji jednej zmiennej 206
13.1Pochodnafunkcji.................................. 206
13.1.1Pochodnafunkcjiodwrotnej........................ 210
13.1.2 Pochodna funkcji zło ˙ zonej ......................... 211
13.1.3 Pochodna funkcji wyznaczonej w postaci parametrycznej . . . . . . . . 212
13.1.4Pochodnejednostronne........................... 212
13.1.5 Pochodne niesko´nczonewpunkcie..................... 213
13.2 Przykłady...................................... 213
13.3Geometrycznysenspochodnej........................... 216
13.4Fizycznysenspochodnej.............................. 217
4
13.4.1 Pr edkos´cwruchuprostoliniowym..................... 217
13.4.2 Pojemnos ´ ccieplna ............................. 218
13.5Pochodnalogarytmiczna.............................. 218
13.6 Ró ˙ zniczkafunkcji.................................. 220
13.7TwierdzenieRolle’aiLagrange’a. ......................... 222
13.8TwierdzenieTaylora ................................ 222
13.9Twierdzeniedel’Hospitala............................. 225
13.10Ekstremafunkcji .................................. 229
13.11Wkl esłosc, wypukłosc i punkt przegi ˛eciafunkcji ................. 232
13.12Asymptoty...................................... 235
13.13Badaniefunkcji................................... 237
13.14Przykłady...................................... 239
13.15Tabele zmiennosci funkcji analizowanych w Przykładzie 13.53 . . . . . . . . . . 246
14 Rachunek rózniczkowy funkcji wielu zmiennych. 250
14.1 Definicja funkcji dwóch zmiennych i n− zmiennych ............... 250
14.2Granicafunkcjidwóchzmiennych......................... 252
14.3 Ci agłos´cfunkcjidwóchzmiennych......................... 255
14.4 Pochodne cz ˛astkowefunkcjidwóchzmiennych .................. 257
14.5 Geometryczny sens pochodnych cz ˛astkowych................... 259
14.5.1Stycznainormalnadokrzywej....................... 259
14.6 Pochodne cz astkowe drugiego rz ˛edu........................ 260
14.7 Rózniczkowalnos ´ cfunkcji.Rózniczka zupełna................... 261
14.8 Pochodna funkcji zło ˙ zonej ............................. 263
14.8.1 Pierwsza pochodna funkcji F (g(t),h(t)) ................. 263
14.8.2 Druga pochodna funkcji F (g(t),h(t)) .................. 263
14.8.3WzórTayloradlafunkcjidwóchzmiennych................ 263
14.9Ekstremumfunkcjidwóchzmiennych....................... 264
14.9.1 Definicjaekstremum ............................ 264
14.9.2 Formy liniowe i kwadratowe dwóch zmiennych . . . . . . . . . . . . . . 264
14.9.3 Warunek konieczny ekstremum funkcji dwóch zmiennych . . . . . . . . 265
14.9.4 Warunek wystarczaj acy ekstremum funkcji dwóch zmiennych . . . . . . 266
14.9.5 Warunek wykluczaj acy ekstremum funkcji dwóch zmiennych . . . . . . 266
14.10Ekstremumwarunkowefunkcjidwóchzmiennych................. 267
14.11Pochodna kierunkowa i gradient funkcji dwóch zmiennych . . . . . . . . . . . . 271
14.11.1Pochodnakierunkowa............................ 271
14.11.2Gradient................................... 271
14.12Funkcjetrzechzmiennych ............................. 272
14.12.1Formylinioweikwadratowetrzechzmiennych.............. 273
14.13Pochodne cz astkowe i rózniczki funkcji trzech zmiennych . . . . . . . . . . . . 274
14.13.1Rózniczkowalnos ´ cfunkcjitrzechzmiennych................ 274
14.14Ekstremumfunkcjitrzechzmiennych ....................... 275
14.14.1Warunek konieczny ekstremum funkcji trzech zmiennych . . . . . . . . 275
14.14.2Warunek wystarczaj acy ekstremum funkcji trzech zmiennych . . . . . . 275
14.14.3Warunek wykluczaj acy ekstremum funkcji trzech zmiennych . . . . . . 276
14.15Pochodna kierunkowa i gradient funkcji trzech zmiennych . . . . . . . . . . . . 276
14.15.1Pochodnakierunkowa............................ 276
14.15.2Gradient................................... 276
5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin