1. Definicja całki oznaczonej.
Jeśli dla każdego normalnego ciągu Dn podziałów [a,b] istnieje granica skończona ciągu sum całkowych sn niezależna od wyboru punktów pośrednich ci to nazywamy ją całką oznaczoną funkcji f na przedziale [a,b] i oznaczamy: krótko:
Jeżeli istnieje całka * to funkcja f jest całkowalna w [a,b] w sensie Riemanna:
2. Które funkcje są całkowalne.
- Każda funkcja ciągła jest całkowalna,
- Jeżeli zbiór punktów nieciągłości funkcji f jest skończony lub przeliczalny, to funkcja f
Zbiór jest przeliczalny jeżeli można jego elementy ustawić w ciąg (skończony lub nieskończony).
3. Własności funkcji całkowalnych.
- Jeżeli to |f| , f2 są również całkowalne
- Jeżeli funkcja f całkowalna, to :
- Jeżeli f,g całkowalne, to również f·g całkowalne,
- jeżeli f całkowalna w przedziale [a,b] to jest również całkowalna w dowolnym przedziale [c,d] Ì [a,b] . Ponadto dla każdego
c Î (a,b):
- jeżeli funkcja całkowalna w [a,b] to ograniczona w [a,b].
4. Przykład funkcji nie całkowalnej.
Dn : a = xo< x1< ...<xn = b dla wymiernych punktów pośrednich:
Bierzemy niewymierne punkty pośrednie ci:
zatem a - b ¹ b – a granica ciągu sum całkowych zależy od ci.
5. Interpretacja geometryczna całki oznaczonej.
f : [a,b] ® R jest ciągła i nieujemna.
6. Związek całki oznaczonej i nieoznaczonej.
Jeżeli przez F(x) oznaczymy funkcję pierwotną funkcji f(x), ciągłej w przedziale [a,b] tj. F`(x) = f(x), to :
F(b) – F(a) nie zależy od stałej całk. C. str. prawa F(x)|ba
7. Funkcja górnej granicy całkowania (tw. podst r. całk).
Niech . Funkcja górnej granicy całkowania:
Jeżeli f jest całkowalna to funkcja górn. gran. całkow. F jest ciągła i ma pochodne w każdym punkcie x Î [a,b] w którym funkcja f jest ciągła. Ponadto w każdym punkcie przedziału zachodzi związek F`(x) = f(x).
8. Obliczanie całki oznaczonej.
- podstawienie pkt. 9
- części pkt.24
10. Średnia całkowa funkcji f.
- jeżeli f całkowalna oraz :
to:
lub * :
Wielkość naz. średnią całkową funkcji f w przedziale [a,b].
- Tw. o wartości średniej dla całek:
Jeżeli f : [a,b] ®R jest ciągła, to istnieje takie c Î [a,b] że:
11. Zastosowania całki oznaczonej.
- do obliczania pól powierzchni fig. płaskich:
D = {(x,y) : a £ x £ b i f(x) £ y £ g(x)} jeżeli funkcje f i g są ciągłe w [a,b] oraz dla każdego x Î [a,b] f(x) £ g(x) to D nazywa się obszarem normalnym względem osi x. Pole obszaru D wynosi
- objętość i pole bryły obrotowej,
f : [a,b] ®R ciągła nieujemna pole przez obrót y = f(x):
ponadto gdy f w [a,b] ma ciągłą pochodną, to pole pow. bocznej:
12. Łuk zwykły i jego długość.
Łukiem zwykłym nazywamy linię daną równaniem parametry-cznym x = x(t) y = y(t) a £ t £ b jeżeli funkcja w [a,b] jest ciągła i nie ma samoprzecięć (różnowartościowa).
Łuk dzielę punktami Ai = (x(ti),y(ti)) i =0,1,...,n podział łuku:
Dxi = x(ti) - x(ti-1) Dyi = y(ti) - y(ti-1) i =0,1,...,n
Długość odcinka Ai Ai-1 wynosi :
Długość łączącej punkty podziału Ai :
Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału [a,b] Dn : a =to £ t1 £....£ tn = b odpowiedni ciąg {ln} dług. łamanych wpisanych w łuk AB zmierza dz tej samej skończonej granicy l, to granicę tą (L) nazywamy długością łuku AB, a łuk prostowalnym (można zmierzyć jego długość).
13. Łuk gładki. Długość łuku gładkiego.
Łuk x = x(t) y = y (t) a £ t £ b nazywamy łukiem gładkim jeśli jest łukiem zwykłym oraz funkcje x(t) y(t) mają w przedziale [a,b] ciągłe pochodne. Ponadto x2 + y2 > 0 dla każdego tÎ[a,b].
Jeżeli łuk jest gładki, to jest prostowalny, a jego długość wynosi:
14. Całki niewłaściwe funkcji nieograniczonych.
Założenia:
f : (a,b]®R , f jest nieograniczona w pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu a, oraz istnieją całki |ac f(x)dx dla każdego cÎ(a,b).Określenie całki:
f : [a,b)®R , f jest nieograniczona w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu b, oraz istnieją całki |ca f(x)dx dla każdego cÎ(a,b).Określenie całki:
f : [a,b]®R , f jest nieograniczona w sąsiedztwie punktu c cÎ(a,b). Zakładam, że całki
są zbieżne . Określenie całki:
15. Całki niewłaściwe w przedziałach nieskończonych.
Zakładam:
f : [a,b]®R , f jest całkowalna w każdym przedziale [a,b],
gdzie: a < b. Jeżeli istnieje granica skończona :
to nazywamy ją całką od a do +nieskończoność funkcji f:
Jeżeli ta granica jest skończona to całka jest zbieżna, jeżeli nie to rozbieżna. Całkę od „–nieskończoność” do „b” gdy f: R®R jest całkowalna w każdym przedziale [a,b], i obie z prawej zbieżne,to:
19. Własność średniej całkowej dla f ograniczonej i całkowalnej.
stivi7