stat05.pdf

(145 KB) Pobierz
5
Notatki z wykładu z fizyki statystycznej prowadzonego przez prof. Janusza Wolnego ,
sporządzone przez Joannę Ropkę
17
5. Paramagnetyzm (prawo Curie). Ciepło właściwe
oscylatora harmonicznego.
Jako pierwszy przykład zastosowania funkcji rozdziału zbadamy właściwości
magnetyczne substancji umieszczonej w zewnętrznym polu magnetycznym o indukcji B i
zawierającej w jednostce objętości N 0 atomów mających moment magnetyczny. Rozważmy
szczególnie prosty przypadek, w którym każdy atom ma spin ½ i związany z nim moment
magnetyczny  0 . Substancję taką nazywać będziemy paramagnetykiem. Przypuśćmy, że
substancja ta ma w danej chwili określoną temperaturę bezwzględną T . Nasuwające się
pytanie brzmi:
Ile wynosi w takich warunkach średnia wartość składowej momentu magnetycznego
pojedynczego atomu wzdłuż kierunku pola magnetycznego B ?
Skupiamy uwagę na pojedynczym atomie, traktując pozostałe atomy, jakby tworzyły
zbiornik ciepła o bezwzględnej temperaturze T (zaniedbujemy oddziaływanie między
atomami). Każdy atom może znaleźć się w jednym z dwóch możliwych stanów:  0 lub - 0
B
μ
E 0
P -
B
B
E 0
P +
P
funkcja rozdziału, czyli suma po wszystkich stanach (w tym przypadku po dwóch):
E
C
exp[
E
C
exp[
]
Z 
exp[
 
0 B
]
exp[
0
]
Ponieważ bardziej prawdopodobne jest znalezienie atomu w stanie, w którym je go
moment magnetyczny jest równoległy do kierunku B , więc średni moment magnetyczny
musi być również skierowany zgodnie z B . Jeżeli temperatura T jest duża (tzn. jeżeli
0 
T
B
1
), to prawdopodobieństwo równoległego ustawienia się momentu magnetycznego
k
B
względem kierunku pola będzie prawie takie samo jak prawdopodobieństwo ustawienia
antyrównoległego. W takim pr zypadku orientacje momentów magnetycznych będą prawie
zupełnie przypadkowe, czyli 0
 . Z drugiej strony, jeżeli temperatura T jest bardzo mała
(tzn.
0
B

1
), to prawdopodobieństwo równoległego ustawienia się momentu
kT
magnetycznego będzie d użo większe niż prawdopodobieństwo ustawienia się
antyrównoległego, a zatem 0
 
. Wyliczmy:
P
(
)
P
(
)
exp[

0
B
]
exp[

0
B
]
0
0
0
exp[

B
]
exp[

B
]
0
0
http://www.knujon.prv.pl
E
Prawdopodobieństwo, zgodnie z rozkładem kanonicznym, wynosi:
]
P
B
239476808.011.png 239476808.012.png
 
18
Notatki z wykładu z fizyki statystycznej prowadzonego przez prof. Janusza Wolnego ,
sporządzone przez Joannę Ropkę
 
0 kT
tg
h( 0
B
)
Pole magnetyczne ustawia spiny, a temperatura je rozrzuca.
Wykres prawdopodobieństwa P +, że moment
magnetyczny  0 jest skierowany równolegle do
pola i prawdopodobieństwa P -, że moment ten
skierowany jest antyrównolegle do pola, gdy
indukcja przyłożonego pola wynosi B , a
temperatura bezwzględna T .
Średni moment magnetyczny na jednostkę objętości substancji, czyli tzw.
namagne sow anie lub magnetyzacja, skierowany jest zgodnie z polem magnetycznym, a jego
wielkość 0
M jest równa:
M
0 N
0
gdzie N 0 jest liczbą atomów w jednostce objętości.
Prawo Curie
M
N
N
tg
h
0
B
0
0
0
0
k
T
B
dla
0
T
B
0
B
tg B
h
0
0
B
k
k
T
k
T
B
B
N M B
2
B
0
o
B
, gdzie  jest stałym współczynnikiem proporcjonalności niezależnym
0
k
T
od B i nazywamy go podatnością magnetyczną substancji:
N
0
2

0
k
T
B
Fakt, że jest odwrotnie proporcjonalne do bezwzględnej temperatury,
jest znany pod nazwą prawa Curie.
Ogólnie, dla całkowitego momentu pędu J , możemy napisać:
N
g
J
B
g
0
JB
, gdzie g - czynnik Landego, B J – funkcja Brillouina
0
J
V
k
T
B
B
2 J ctg
 
x
J
1
ctg
h
2J
1
x
1
h
x
2
J
2J
2
J
2J
http://www.knujon.prv.pl
239476808.013.png 239476808.001.png 239476808.002.png 239476808.003.png 239476808.004.png 239476808.005.png 239476808.006.png
Notatki z wykładu z fizyki statystycznej prowadzonego przez prof. Janusza Wolnego ,
sporządzone przez Joannę Ropkę
19
Ciepło właściwe oscylatora harmonicznego.
Obliczanie ciepła właściwego oscylatora harmonicznego jest kolejnym przykładem na
wykorzystanie funkcji rozdziału.
E n 
n
1
n - energia oscylatora harmonicznego
0
1
2
2
Liczymy funkcję rozdziału:
n
 
n
 
1
Z
exp[
E
]
exp
exp
-
exp


n
k
T
2
k
T
2
k
T
2
k
T
1
q
n
0
n
0
B
B
B
n
0
B
q
exp
1
2
exp T
   
2
k B
1
exp
1
exp
Średnia energia oscylatora harmonicznego:
E
ln
Z
ln
 
1
e
-
exp
 
    1
2
2
1
exp
2
exp
w powyższym wzorze składnik
odpowiada za tzw. energię drgań zerowych.
2
e x
x
1
e
w przypadku wysokich temperatur
1
1
1
E B
 
1
T
2
2
Ciepło właściwe oscylatora harmonicznego wynosi:
exp
1
k
T
E
k
T
2
B
C
B
w
2
T
T
exp
1
exp
1
k
T
k
T
B
B
   
  2
2
exp
C
w
k
2
exp
1
B
Dla 0
T
( 

)
C (zanik ekspotencjalny)
w
0
http://www.knujon.prv.pl
exp
T
239476808.007.png 239476808.008.png 239476808.009.png 239476808.010.png
 
20
Notatki z wykładu z fizyki statystycznej prowadzonego przez prof. Janusza Wolnego ,
sporządzone przez Joannę Ropkę
Dla
T
B
0
)
w
k
Wniosek:
Dla każdego oscylatora harmonicznego w odpowiednio wysokich
temperaturach ciepło właściwe wynosi k B , niezależnie od rodzaju oscylatora (tj.
od odległości między poziomami). Jest to zgodne z zasadą ekwipartycji energii i
prowadzi do prawa Dulonga – Petita dla ciepła molowego ciał stałych.
http://www.knujon.prv.pl
( 
C
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin