Algebra liniowa 1B - Definicje.pdf - Algebra liniowa - sir_matin

Rozdzial 1. Przestrzenie wektorowe

Materiał tego rozdziału jest, z jednej strony, trudny, bo operuje poj¦ciami abs-

trakcyjnymi, a zdrugiej strony łatwy, nie zawiera w sobie istotnych problemów

technicznych, rachunkowych. Wystarczy „tylko” oswoi¢ si¦ z mas¡ noowych poj¦¢.

Potrzeba poj¦¢ abstrakcyjnych powstaje, gdy chcemy jednym j¦zykiem mówi¢ o

rzeczach formalnie podobnych, a poj¦ciowo (na przykład w sensie ﬁzyki) od siebie

odległych.

Poj¦cie przestrzeni wektorowej ma ł¡czy¢ w sobie istotne cechy takich zbiorów

jak:

(A) Niech A b¦dzie punktem naszej przestrzeni ﬁzycznej M. Rozpatrzmy zbiór

V A wszystkich pr¦dko±ci w punkcie A wszystkich mo»liwych ruchów puktów

materialnych. Wiedza szkolna podpowiada, »e pr¦dko±ci mo»na dodawa¢ i

mno»y¢ przez liczb¦. Na przykład, je»eli ruch

R3 t 7! p(t) 2 M, p(0) = A

ma pr¦dko±¢ v w chwili 0, to pr¦dko±¢ 2v ma ruch

R3 t 7! p(2t) 2 M.

(B) Niech teraz q b¦dzie punktem jakiego± ciła (na przykład sztywnego). Siły,

które przykładamy do ciała w punkcie q mo»emy (przynajmniej teoretycznie)

dodawa¢ i mno»y¢ przez liczb¦.

dz¡ce z punktu a mo»emy dodawa¢ metod¡ trójk¡ta, mo»emy te» je wydłu-

»a¢, skraca¢, odwraca¢ (czytaj: mno»y¢ przez liczb¦).

(D) Teraz przykład formalny: we¹my zbiór R 3 wszystkich trójek liczb rzeczywi-

stych (x,y,z). Dodawanie i mno»enie przez liczb¦ mo»emy okre±li¢ wzorami:

(x,y,z) + (x 0 ,y 0 ,z 0 ) = (x + x 0 ,y + y 0 ,z + z 0 ), a(x,y,z) = (ax,ay,az).

(E) Tak jak w poprzednim przykładzie, ale w R n , czyli w zbiorze n-elementowych

ci¡gów liczbowych:

(x 1 ,x 2 ,··· ,x n ) + (y 1 ,y 2 ,··· ,y n ) = (x 1 + y 1 ,··· ,x n + y n )

i mno»enie

(x 1 ,x 2 ,··· ,x n ) = (x 1 ,x 2 ,··· ,x n )

Wszystkie pczytoczone wy»ej przykłady maj¡ wspóln¡ cech¦: mówi¡ o zbiorach, w

których mamy okre±lone działania dodawania i mno»enia przez liczb¦. Działania

te s¡ przemienne, ł¡czne, a mno»enie jest rozdzielne wzgl¦dem dodawania. Inaczej

mówi¡, s¡ to przykłady sytuacji, o których mówi poni»sza deﬁnicja.

1. Przestrzenie wektorowe

1.1. Deﬁnicja przestrzeni wektorowej.

Boiskiem dla przestrzeni wektorowej jest zbiór, w którym mo»emy dodawa¢ i

mno»y¢ przez liczb¦.

DEFINICJA 1.1. Przestrzeni¡ wektorow¡ (nad liczbami rzeczywistymi) nazy-

wamy zbiór V z działaniem (dodawania)

+: V ×V −! V : (v,w) 7! v + w

i z mno»eniem przez liczb¦ (rzeczywist¡)

R×V ! V : (,v) 7−! ·v,

maj¡cymi nast¦puj¡ce własno±ci dla wszystkich ,µ 2R, v,w,u 2 V :

(1) v + w = w + v (przemienno±¢ dodawania),

(2) v + (w + u) = (v + w) + u (ł¡czno±¢ dodawania),

(3) istnieje (jedno) „zero” 0 2 V dla dodawania: 0 + v = v,

(4) ( + µ) ·v = ·v + µ·v,

(5) · (v + w) = ·v + ·w,

(6) 1 ·v = v,

(7) · (µ·v) = (µ) ·v.

Elementy przestrzeni wektorowej nazywa¢ b¦dziemy wektorami(!). B¦dziemy te»

pisa¢ po prostu v zamiast · v. A oto proste fakty wynikaj¡ce bezpo±rednio z

powy»szej deﬁnicji:

STWIERDZENIE 1.2. Dla ka»dego wektora v 2 V i ka»dej liczby 2R

(1) 0v = 0,

(2) (−1)v = −v, to znaczy v + (−1)v = 0,

(3) 0 = 0,

(4) je»eli v = 0 to = 0 lub v = 0.

Dowod: Niech v 2 V i 2R.

(1) Mamy v = (1 + 0)v = 1v + 0v = v + 0v i st¡d 0 = 0v.

(2) Z powy»szego i z punktu czwartego pierwszego deﬁnicji v + (−1)v = (1 +

(−1))v = 0v = 0, czyli −v = (−1) ·v

(3) Z punktu szóstego deﬁnicji v = (v + 0) = v + 0 i st¡d 0 = 0.

(4) Je»eli v = 0 i 6= 0, to v = ( −1 )v = −1 (v) = 0.

1.1. Definicja przestrzeni wektorowej

1.1.1. Dalsze przykłady.

(F) Niech X b¦dzie dowolnym zbiorem. Symbolem Map(X,R) oznaczamy zbiór

wszystkich odwzorowa« ze zbioru X w zbiór liczb R. W zbiorze tym okre-

±lamy działania:

(f + g)(a) = f(a) + g(a)

oraz

(f)(a) = f(a).

W przypadku X = R rozpoznajemy tu znane mno»enie i dodawanie funk-

cji. Zbiór Map(X,R) z tak okre±lonymi działaniami jest przestrzeni¡ wek-

torow¡. W szczególnosci, bior¡c A = I 3 = {1, 2, 3}, dostaniemy przykład D

(x = f(1),y = f(2),z = f(3)), a bior¡c A = I n = {1, 2,...,n} dostajemy

przykład E.

DEFINICJA 1.3. Niepusty podzbiór S przestrzeni wektorowej V nazywamy pod-

przestrzeni¡ wektorow¡ przestrzeni V , je»eli S z działaniami indukowanymi z V

jest przestrzeni¡ wektorow¡.

STWIERDZENIE 1.4. S jest podprzestrzeni¡ wektorow¡ wtedy i tylko wtedy,

gdy dla wszystkich 1 , 2 2R i v 1 ,v 2 ,2 S mamy

1 v 1 + 2 v 2 2 S

Dowod: Jedyn¡ rzecz¡ do sprawdzenia jest (oczywista) wykonalno±¢ działa« doda-

wania wektorów i mno»enia ich przez liczb¦. Pozostałe własno±ci działa« spełnione

s¡ automatycznie.

Ci¡g dalszy przykładów:

(G) Funkcje wielomianowe na R tworz¡ podprzestrze« wektorow¡ przestrzeni

wszystkich funkcji na R. Równie» przestrze« W n wielomianów stopnia6n

jest przestrzeni¡ wektorow¡, podprzestrzeni¡ przestrzeni wszystkich wielo-

mianów (funkcji wielomianowych).

(H) Inne podprzestrzenie przestrzeni Map(R,R): wielomianów parzystych, funk-

cji ci¡głych, funkcji ró»niczkowalnych, etc.

DEFINICJA 1.5. Niech V b¦dzie przestrzeni¡ wektorow¡ i niech b¦dzie dany ci¡g

wektorów v 1 ,v 2 ,... ,v n 2 V . Wektor przestrzeni V postaci

1 v 1 + 2 v 2 + ··· + n v n ,

gdzie i 2 K, nazywamy kombinacj¡ liniow¡ wektorów v 1 ,... ,v 2 .

Niech teraz S b¦dzie dowolnym, ale niepustym podzbiorem przestrzeni V . Zbiór

kombinacji liniowych wektorów z S oznacza¢ b¦dziemy hSi.

1. Przestrzenie wektorowe

STWIERDZENIE 1.6. hSi jest podprzestrzeni¡ wektorow¡ przestrzeni V .

Dowod: Niech v,w 2hSi, tzn. v = 1 v 1 + ... + n v n i w = µ 1 w 1 + .. + µ n w n gdzie

v i , w i 2 S i i ,µ i 2K. Dla dowolnych ,µ 2K mamy

v + µw = ( 1 )v 1 + ··· + ( n )v n + (µµ 1 )w 1 + ··· + (µµ m )w m 2 S

Uwagi:

a) Je»eli V W S i W jest podprzestrzeni¡ wektorow¡ to hSi W.

b) hSi jest najmniejsz¡ podprzestrzeni¡ wektorow¡ zawieraj¡c¡ S.

Przykład: S = {1,x,x + x 2 ,x}. hSi = W 2 .

Inne przykłady b¦d¡ podane pó¹niej.

1.2. Liniowa niezale»no±¢. Baza.

DEFINICJA 1.7. Przestrze« wektorow¡ V nazywamy sko«czenie wymiarow¡, je-

»eli istnieje sko«czony zbiór wektorów S = {v 1 ,v 2 ,... ,v k } V taki, »e hSi = V .

Przykłady:

(1) V = K n i S = {e 1 ,... ,e n } gdzie e i = ( 1i ,..., ni ).

(2) Przestrze« wielomianów stopnia62 i S = {1,x,x 2 }

(3) Przestrze« funkcji Map(R,R) nie jest sko«czenie wymiarowa (jest niesko«-

czenie wymiarowa). Równie» przestrze« wektorowa wszystkich wielomianów

nie jest wymiaru sko«czonego.

DEFINICJA 1.8. Układ wektorów (ci¡g wektorów - je±li uporz¡dkowany)

{v 1 ,v 2 ,... ,v k },v i 2 V,

nazywamy linowo niezale»nym, je»eli zachodzi z równo±ci

1 v 1 + ··· + k v k = 0

wynika, »e liczby i s¡ równe zero:

1 = 2 = ··· = k = 0.

Je»eli układ wektorów nie jest liniowo niezale»ny, to mówimy, »e jest liniowo zale»ny.

1.2. Liniowa niezale»no±¢. Baza

Przykłady:

(1) Wielomiany {1,t,t 3 } sa liniowo niezale»ne.

(2) Wektory (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) w R 3 s¡ liniowo niezale»ne.

(3) Wielomiany {1 + t,t−t 2 , 1 + t 2 } sa liniowo zale»ne:

(−1) · (1 + t) + (t−t 2 ) + (1 + t 2 ) = 0.

(4) Dowolny układ zawieraj¡cy wektor zerowy jest liniowo zale»ny. Kombinacja

z zerowymi współczynnikami przy wektorach niezerowych i jedynk¡ przy

zerze daje wektor zerowy.

(5) Je»eli v 6= 0 to układ {v} składaj¡cy si¦ z jednego wektora jest liniowo

niezale»ny.

DEFINICJA 1.9. Mówimy, »e wektor v jest liniowo zale»ny od układu wektorów

v 1 ,v 2 ,... ,v k , je»eli istniej¡ liczby 1 ,... , k takie, »e

v = 1 v 1 + ··· + k v k

lub, równowa»nie,

v 2h{v 1 ,v 2 ,... ,v k }i,

lub, równowa»nie,

h{v 1 ,v 2 ,... ,v k }i = h{v 1 ,v 2 ,... ,v k ,v}i.

Poni»sze stwierdzenie nie wymaga dowodu.

STWIERDZENIE 1.10. Niech S = {v 1 ,...,v k } b¦dzie sko«czonym układem

wektorów z przestrzeni wektorowej V . Wówczas

(1) Je±li S 0 S i S 0 jest liniowo zale»ny, to S te» jest liniowo zale»ny.

(2) Je±li S 0 S i S jest liniowo niezale»ny, to S 0 te» jest liniowo niezale»ny.

(3) Je±li 0 2 S, to S jest liniowo zale»ny

(4) S jest liniowo zale»ny wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego i wektor v i jest

kombinacj¡ liniow¡ pozostałych wektorów z S.

DEFINICJA 1.11. Ci¡g (v 1 ,...,v k ) wektorów z V nazywamy baz¡, jezeli ka»dy

wektor v 2 V da si¦ przedstawi¢ jednoznacznie jako ich kombinacja liniowa:

v = 1 v 1 + ··· + n v n

Przykład:

Algebra liniowa 1B - Definicje.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: