fff.pdf

2. ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW

Z powodu niedokładności przyrządów i metod pomiarowych, niedoskonałości

zmysłów, niekontrolowanej zmienności warunków otoczenia (wielkości wpływających) i

innych przyczyn, wynik pomiaru jest zawsze różny od prawdziwej wartości wielkości

mierzonej. Jest tylko jej mniej lub więcej dokładnym przybliżeniem. Wartość rzeczywista

wielkości jest punktem na osi liczbowej, którego położenie można opisać za pomocą

nieskończonego ciągu cyfr. Już sam fakt skończonego zapisu wyniku jest też źródłem jego

niedokładności.

Zatem, podając wynik pomiaru określonej wielkości, należy koniecznie podać także

pewną ilościową informację o jakości tego wyniku, a ściślej o jego dokładności (czyli o

stopniu przybliżenia do wartości prawdziwej), tak aby korzystający z tego wyniku mógł

ocenić jego wiarygodność. Bez takiej informacji wyniki pomiarów nie mogą być

porównywane ani między sobą, ani z danymi z literatury lub norm.

Podstawowe pojęcia i parametry charakteryzujące dokładność wyniku pomiaru i

metody ich obliczeń są treścią tego rozdziału.

2.1. Pojęcia podstawowe i klasyfikacja błędów

Podstawowym pojęciem jest błąd pomiaru definiowany jako różnica między wynikiem

pomiaru x i wartością prawdziwą x 0 wielkości mierzonej

∆

x −

(2.1)

Błędu pojedynczego pomiaru nie można obliczyć z zależności (2.1), ponieważ nie jest

znana wartość prawdziwa wielkości mierzonej. Można go oszacować (estymować) lub

obliczyć jego niektóre składowe, przy czym sposób postępowania zależy od rozpoznania

rodzaju oddziaływań wielkości wpływających na wynik pomiaru. Można wyróżnić

oddziaływania przypadkowe i oddziaływania systematyczne . Biorąc pod uwagę rodzaje

oddziaływań, błędy pomiaru można podzielić na: przypadkowe , systematyczne oraz

grube (pomyłki).

Błędy przypadkowe

Są to błędy spowodowane przypadkowym oddziaływaniem dużej liczby trudno

uchwytnych czynników zakłócających (nazywanych wielkościami wpływającymi ), których

łączny wpływ zmienia się z pomiaru na pomiar. Charakterystyczną cechą błędów

przypadkowych jest to, że ich wartości są różne w kolejnych pomiarach przeprowadzanych

w jednakowy sposób (w warunkach powtarzalności).

Błąd przypadkowy jest zmienną losową , a w kolejnych pomiarach tej samej wielkości,

wykonywanych w warunkach powtarzalności, otrzymuje się błędy o wartościach będących

realizacjami tej zmiennej. Wyniki pomiarów są również realizacjami zmiennej losowej i

ulegają rozproszeniu wokół wartości prawdziwej wielkości mierzonej. Stąd też szacowanie

błędów przypadkowych jako miary rozproszenia wyników wokół wartości prawdziwej

dokonuje się metodami rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej .

Błąd przypadkowy wyniku pomiaru nie może być skompensowany przez poprawkę, ale

może być zmniejszony przez wielokrotne powtarzanie pomiarów, a ściślej przez wykonanie

serii n pomiarów i przyjęcie jako wyniku końcowego średniej arytmetycznej serii wyników x i .

∑ =

(2.2)

Wskutek oddziaływań przypadkowych średnia arytmetyczna (2.2) jest również zmienną

losową, lecz jej rozrzut wokół wartości prawdziwej jest mniejszy. Zatem bardziej dokładnie

przybliża ona wartość prawdziwą. Mówiąc inaczej stanowi bardziej dokładne, lepsze niż

pojedynczy pomiar oszacowanie wartości prawdziwej. Zatem wartość średniej

arytmetycznej serii pomiarów można w uzasadniony sposób przypisać wielkości mierzonej

i traktować jako poprawny wynik pomiaru.

Wyniki pomiarów przypisywane wielkości mierzonej, niezależnie od sposobu

przypisania, wykazują rozrzuty wokół wartości prawdziwej, są więc niepewne. Pozwalają

jedynie wyznaczyć przedział obejmujący nieznaną wartość prawdziwą. Ilościową miarą

niedokładności pomiaru, której odzwierciedlenie stanowi rozrzut wyników jest niepewność

pomiaru .

Pojęcie niepewność jako miara niedokładności zostało wprowadzone stosunkowo

niedawno przez dokument „Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement”

wydany w 1993 roku przez Międzynarodową Organizację Normalizacyjną ISO (nazywany

dalej “Guide”). Stał się on normą międzynarodową, obowiązującą także w Polsce, w której

niepewność pomiaru jest definiowana jako ” parametr związany z wynikiem pomiaru,

charakteryzujący rozrzut wartości, które można w uzasadniony sposób przypisać wielkości

mierzonej ”. Parametrem takim może być na przykład odchylenie standardowe rozkładu

wyników lub błędów pomiaru, albo połowa szerokości przedziału mającego ustalony

poziom ufności, o czym dalej.

Istotne jest rozróżnienie między pojęciem błędu i pojęciem niepewności pomiaru. Błąd

jest zmienną losową, a niepewność jest parametrem rozkładu prawdopodobieństwa błędu .

Pojęcie niepewności pomiaru najłatwiej było wyjaśnić na przykładzie pomiarów

wykonywanych w warunkach oddziaływań przypadkowych, w powiązaniu z błędami

przypadkowymi, lecz można je rozszerzyć również na pomiary w warunkach oddziaływań

systematycznych i powiązać z błędami systematycznymi.

Błędy systematyczne

Powstają wskutek systematycznych oddziaływań wielkości wpływających. W kolejnych

pomiarach wykonywanych w jednakowych warunkach błąd systematyczny ma wartość

stałą. Przy zmianie warunków zmienia się z określoną prawidłowością, którą można

wyznaczyć analitycznie.

Przykładem są błędy systematyczne spowodowane przesunięciem skali miernika

analogowego, błędem wzorca (np. różną od nominału masą odważnika), pomijaniem

czynników wpływających na wyniki pomiaru (np. rezystancji przewodów przy pomiarze

małych rezystancji), ustalonym wpływem warunków otoczenia (np. temperatury).

Jeżeli błąd systematyczny powstaje wskutek rozpoznanego oddziaływania

systematycznego wielkości wpływających, to wpływ tego oddziaływania może być

określony ilościowo i skompensowany addytywnie lub multiplikatywnie, przez dodanie do

wyniku pomiaru poprawki lub pomnożenie wyniku przez współczynnik poprawkowy .

Wynik pomiaru przed korekcją błędu systematycznego nazywa się wynikiem

surowym , a po korekcji wynikiem poprawionym .

Kompensacja błędu systematycznego nie może być zupełna, ponieważ błąd ten nie jest

znany dokładnie. Wyznaczona poprawka jest obarczona niepewnością, która staje się

jednym ze składników całkowitej niepewności pomiaru.

Błąd systematyczny spowodowany oddziaływaniem systematycznym nierozpoznanym

ilościowo (np. niekontrolowanym wpływem temperatury) nie może być skorygowany.

Często może być rozpoznany jakościowo i oszacowany w postaci przedziału

wyznaczonego przez błędy graniczne ∆ x 0 . Do szacowania błędów systematycznych

spowodowanych oddziaływaniem nierozpoznanym stosowane jest podejście statystyczne i

na podstawie przedziału wyznaczonego przez błędy graniczne wyliczana jest niepewność

standardowa typu B, definiowana dalej.

Błędy grube

Są to błędy spowodowane pomyłkami popełnianymi w trakcie wykonywania pomiaru

lub odczytu i zapisywania wyniku. Przykładem mogą być błędy powstałe wskutek

pomylenia skali w mierniku wielozakresowym, pomylenia jednostek lub przesunięcia

przecinka przy zapisie wyniku, zwarcia lub rozwarcia niektórych elementów obwodu

pomiarowego. Pomyłki można znacznie ograniczyć przez staranne wykonywanie pomiaru,

a gdy powstają łatwo je zauważyć i wyeliminować, ponieważ otrzymany wynik znacznie

różni się od innych wyników pomiaru tej samej wielkości.

2.2. Definicje dotyczące niepewności pomiaru

Jak już mówiliśmy, wynik pomiaru jest liczbą przybliżoną różną od wartości

prawdziwej więc można go interpretować jako przedział na osi liczbowej, wewnątrz

którego znajduje się wartość prawdziwa. Przedział ten, nazywamy przedziałem

niepewności wyniku pomiaru (lub przedziałem ufności).

W celu ilościowego opisu tego przedziału dokument „Guide” definiuje cytowane już

pojęcie niepewność pomiaru i szereg specyficznych miar ilościowych tego pojęcia.

Niepewność standardowa ( u ) – niepewność wyniku pomiaru wyrażona w formie

odchylenia standardowego lub estymaty tego odchylenia.

Niepewność typu A ( u A ) – obliczana metodą analizy statystycznej serii pojedynczych

obserwacji (najczęściej wykorzystując normalny rozkład wyników).

Niepewność typu B ( u B ) – obliczana innymi metodami niż w przypadku A (najczęściej

wykorzystując rozkład prostokątny opisujący błędy systematyczne spowodowane

nierozpoznanym oddziaływaniem systematycznym).

Złożona niepewność standardowa ( u c ) – określana w przypadku występowania wielu

składowych niepewności; dla pomiarów bezpośrednich jest pierwiastkiem sumy kwadratów

niepewności składowych, dla pomiarów pośrednich sumowanie kwadratów niepewności

składowych odbywa się z odpowiednimi wagami, zgodnie z prawem propagacji

niepewności (omawianym dalej).

Niepewność rozszerzona ( U ) – jest iloczynem niepewności standardowej i

współczynnika rozszerzenia k α

U α

= .

(2.3)

Określa ona granice przedziału niepewności, któremu można przypisać określony

poziom ufności.

Poziom ufności ( p α ) - jest prawdopodobieństwem tego, że w przedziale niepewności

wyniku pomiaru (w przedziale ufności) znajduje się wartość prawdziwa, co można zapisać

{

∈

(

−

)

}

(2.4)

Prawdopodobieństwo to wyznacza się z rozkładu gęstości prawdopodobieństwa zmiennej

losowej modelującej wynik pomiaru x lub błąd pomiaru ∆ x .

Poziom ufności jest często wyrażany w procentach.

Wynik pomiaru zapisuje się w postaci:

x ±

na poziomie ufności odchylenia standardowego (2.5)

na postulowanym poziomie ufności p α . (2.6)

Zapisy te przedziałowo określają wartość prawdziwą x 0 . Interpretację graficzną zapisu

(2.6) ilustruje rys. 2.1

x ±

Rys. 2.1. W tym przedziale z prawdopodobieństwem pα znajduje się wartość prawdziwa x0

Niepewności pomiaru wg powyższych definicji wyraża się w jednostkach wielkości

mierzonej. Ponieważ są one oceniane szacunkowo, należy opisywać je rozsądną liczbą cyfr

znaczących (najczęściej ograniczoną do 2 cyfr). Na przykład byłoby absurdem podawanie

wyniku pomiaru przyspieszenia ziemskiego w postaci:

g = 9,82 ± 0,02385 m/s 2 .

Właściwe jest zaokrąglenie niepewności pomiaru do dwóch cyfr po przecinku i

przedstawienie wyniku w postaci:

g = 9,82 ± 0,02 m/s 2 .

Obok omawianych wyżej pojęć błędu i niepewności bezwzględnej wyrażanych w

jednostkach wielkości mierzonej, definiuje się pojęcia błędu i niepewności względnej

wyrażane bezwymiarowo, bardzo często w procentach lub ppm (part per million)

błąd względny

∆

≅

∆

(2.7)

niepewność względna

≅

(2.8)

Ponieważ wartość prawdziwa nie jest znana, w praktyce zastępuje się ją wartością

umownie prawdziwą (wartością poprawną) , którą może być na przykład skorygowany

wynik pomiaru (po korekcji błędu systematycznego) lub najlepsze oszacowanie wartości

prawdziwej (najczęściej średnia arytmetyczna serii pomiarów x ), lub nawet wynik

pojedynczego pomiaru.

W celu specyfikacji błędów instrumentalnych, zwłaszcza mierników analogowych,

wykorzystuje się pojęcie klasy przyrządu, oznaczanej kl , definiowanej jako graniczny błąd

względny obliczany względem wartości zakresowej przyrządu i wyrażany w procentach

∆

⋅

100

(2.9)

zakr

gdzie: ∆ x g – błąd graniczny przyrządu

x zakr – wartość końcowa zakresu pomiarowego

lub

Wartości liczbowe klasy przyrządu są wybierane z ciągu: (1; 1,5; 2; 2,5; 5)⋅10 - n , n = 0,1.

Metody obliczania niepewności zalecane w „Guide” dotyczą wyników skorygowanych,

tzn. po skompensowaniu składowej błędu systematycznego spowodowanej rozpoznanym

oddziaływaniem systematycznym, przez dodanie do surowego wyniku poprawki lub

pomnożenie go przez współczynnik poprawkowy.

Zakłada się, iż skorygowany wynik pomiaru jest zmienną losową, której wartość

oczekiwana jest równa wartości prawdziwej

E =

( )

(2.10)

Założenie to jest równoznaczne z założeniem, że błąd pomiaru jest zmienną losową

centrowaną

∆

x −

(2.11)

o wartości oczekiwanej równej zeru

( ) 0

(2.12)

2.3. Obliczanie poprawki błędu systematycznego

Jak już mówiliśmy, składowa deterministyczna błędu systematycznego, spowodowana

rozpoznanym oddziaływaniem systematycznym, może być określona ilościowo i

wykorzystana do addytywnego bądź multyplikatywnego skorygowania surowego wyniku

pomiaru.

Metody analizy i obliczeń błędów systematycznych są zróżnicowane. Brak jest

ogólnych metod obliczeń tych błędów w pomiarach bezpośrednich. Metody takie istnieją w

przypadku pomiarów pośrednich, w postaci tzw. praw propagacji błędów, które będą

omawiane później. W pomiarach bezpośrednich każdy przypadek analizy błędu

systematycznego wymaga indywidualnego podejścia, przy czym metody obliczeń są nader

proste, oparte na wykorzystaniu wzorów opisujących różne prawa fizyki.

Typowy sposób postępowania pokażemy na przykładzie obliczeń błędu

systematycznego popełnianego w przypadku pomiaru prądu amperomierzem o niezerowej

rezystancji R a , w obwodzie złożonym ze źródła napięcia E z o rezystancji wewnętrznej R z i

obciążenia R 0 , pokazanym na rys. 2.2a. Włączenie amperomierza do obwodu wprowadza

do niego dodatkową rezystancję R a (rys. 2.2b), co powoduje, iż prąd w obwodzie

pomiarowym I ' jest mniejszy od prądu w obwodzie pierwotnym I

R z

R a

R 0

E z

Rys. 2.2. Pomiar prądu w obwodzie elektrycznym złożonym ze źródła napięcia i obciążenia:

a) obwód pierwotny; b) obwód pomiarowy po włączeniu amperomierza

Systematyczny błąd bezwzględny można obliczyć ze wzoru:

∆ x

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: