ALGEBRA LINIOWA – WYKŁAD (60 godzin)
STRUKTURY ALGEBRAICZNE
DEFINICJA 1. DZIAŁANIE WEWNĘTRZNE 2-ARGUMENTOWE W ZBIORZE X JEST TO ODWZOROWANIE
PRZYKŁAD 1. DZIAŁANIAMI WEWNĘTRZNYMI SĄ DODAWANIE I MNOŻENIE W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH, WYMIERNYCH, CAŁKOWITYCH, CZY NATURALNYCH. ODEJMOWANIE W ZBIORZE LICZB NATURALNYCH NIE JEST DZIAŁANIEM WEWNETRZNYM, PONIEWAŻ RÓŻNICA DWÓCH LICZB NATURALNYCH NIE MUSI BYĆ LICZBĄ NATURALNĄ.
ZBIÓR, W KTÓRYM SĄ OKREŚLONE JAKIEKOLWIEK DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE (TZN. MNOŻENIE, DODAWANIE, SKŁADANIE, ITP.) NAZYWA SIĘ STRUKTURĄ ALGEBRAICZNĄ. STRUKTURA ALGEBRAICZNA OZNACZA WIĘC ZBIÓR WRAZ Z DZIAŁANIAMI OKREŚLONYMI W TYM ZBIORZE, NP. ZAPISUJEMY „CIAŁO LICZB RZECZYWISTYCH ”. CZĘSTO JEDNAK STOSUJE SIĘ SKRÓCONY ZAPIS TYPU „CIAŁO LICZB RZECZYWISTYCH R”.
DEFINICJA 2. GRUPA JEST TO STRUKTURA ALGEBRAICZNA , gdzie G JEST DOWOLNYM ZBIOREM, – DZIAŁANIEM WEWNĘTRZNYM ORAZ SĄ SPEŁNIONE NASTĘPUJĄCE WŁASNOŚCI:
GRUPA JEST PRZEMIENNA, GDY DODATKOWO SPEŁNIA WARUNEK
PRZYKŁAD 2. GRUPAMI PRZEMIENNYMI SĄ: , , , ,
. GRUPAMI NIE SĄ: , (PONIEWAŻ DLA ZERA NIE ISTNIEJE ELEMENT ODWROTNY) ORAZ (PONIEWAŻ ELEMENT PRZECIWNY DO LICZBY NATURALNEJ NIE JEST LICZBĄ NATURALNĄ).
UWAGA 1. ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH, WYMIERNYCH, NATURALNYCH, CAŁKOWITYCH OZNACZA SIĘ LITERAMI ODPOWIEDNIO: R, Q, N, Z. TAKIE OZNACZENIA ZASTOSOWANO W PRZYKŁADZIE 2. JEŻELI DZIAŁANIEM JEST DODAWANIE, TO ELEMENT b WYSTĘPUJĄCY W WARUNKU 3. DEFINICJI 2, NAZYWA SIĘ PRZECIWNY (A NIE ODWROTNY).
PRZYKŁAD 3. ROZWAŻMY ZBIÓR SKŁADAJĄCY SIĘ Z SZEŚCIU PRZEKSZTAŁCEŃ WIERZCHOŁKÓW TRÓJKĄTA RÓWNOBOCZNEGO ABC: OBROTY O KĄT ORAZ SYMETRIE OSIOWE WZGLĘDEM OSI SYMETRI PRZECHODZĄCEJ PRZEZ WIERZCHOŁEK A, B, C. TE PRZEKSZTAŁCENIA OZNACZYMY SYMBOLAMI ODPOWIEDNIO: . ICH DZIAŁANIA NA WIERZCHOŁKACH TRÓJKĄTA ABC SĄ PRZEDSTAWIONE W PONIŻSZEJ TABELI
A
B
C
NASTĘPUJĄCA TABELA PRZEDSTAWIA DZIAŁANIE, KTÓRYM JEST SKŁADANIE PRZEKSZTAŁCEŃ ZE ZBIORU . ZAKŁADAMY, ŻE JAKO PIERWSZY DZIAŁA ELEMENT STOJACY W KOLUMNIE NAGŁÓWKOWEJ; DRUGI – W WIERSZU NAGŁÓWKOWYM.
Sc
Sa
Sb
O240
O120
...
plejusiek