Zadania ze statystyki
Lista 3.
Wyznaczanie rozkładów statystyk z próby statystycznej prostej.
Zad. 1. Z populacji o rozkładzie wykładniczym określonym funkcją gęstości
f(x) = a * e-a*x, x ³ 0,
wylosowano próbę prostą o liczebności n–elementów. Wyznaczyć rozkład średniej arytmetycznej z tej próby, tj. statystyki , a następnie obliczyć wartość wyrażenia e P(> 1), przyjmując a = , n = 2, e – podstawa logarytmu naturalnego.
Zad. 2. Zasady pewnej losowej gry określają, że za przystąpienie do gry gracz płaci raz określoną sumę A złotych, po czym może on rozegrać dowolną liczbę naturalną n partii tej gry otrzymując łączną wygraną (w zł.) w wysokości Z = n X, gdzie X jest zmienną losową o standardowym rozkładzie beta z parametrami p = 1, q = n.
Na jakim poziomie powinna być ustalona liczba A, czyli opłata za przystąpienie do gry, aby grę tę można było uważać za sprawiedliwą, tzn. by opłata ta była równa średniej (wartości oczekiwanej) wygranej gracza przy nieskończonej liczbie n rozegranych partii.
Zad. 3. Populacja generalna ma rozkład określony funkcją gęstości postaci
f(x) = x e-x, dla x > 0.
Z populacji tej wylosowano próbę prostą o liczebności n = 16. Obliczyć różnicę wartości drugich momentów zwykłych w dokładnym i granicznym rozkładzie średniej arytmetycznej z tej próby.
Zad. 4. Populacja generalna ma rozkład normalny N (5, s). Z populacji tej wylosowano próbę prostą o liczebności n = 10 elementów i wyznaczono z niej wartość statystyki S2; wyniosła ona s2 = 4. Obliczyć P( > 4).
Zad. 5. Dane są dwie niezależne populacje generalne o rozkładach normalnych N (10, 8) oraz N (6, 4). Z populacji tych wylosowano próby proste o liczebnościach odpowiednio n1 = 20 i n2 = 10, z których wyznacza się średnią arytmetyczną odpowiednio i Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia | - | < 3.
Zad. 6. Z dwóch niezależnych populacji o rozkładach normalnych N(20,3) oraz N(15, 4) wylosowano próby proste odpowiednio o liczebnościach n1 = n2 = 4. Dla pierwszej próby otrzymano wyniki 18 22 18 22, natomiast dla drugiej 20 16 22 18. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia > + 6.
Zad. 7. W fabryce produkującej precyzyjne przyrządy pomiarowe stwierdzono, że w ustabilizowanym procesie produkcji otrzymuje się przyrządy (danego typu), których czas życia (nadających się do poprawnego wykonywania pomiarów) jest zmienną losową o rozkładzie normalnym ze znaną wartością m. Z każdej nowo wyprodukowanej partii przyrządów losuje się próbę prostą n = 9 sztuk i bada się wartości statystyk i , gdzie = . Partię przyrządów przyjmuje się do sprzedaży się, jeżeli zachodzi nierówność | - m| < e dla pewnej stałej e > 0. Z pewnej próby otrzymano = 60 jednostek czasowych.
Na jakim poziomie należy ustalić stałą kontrolę e, aby prawdopodobieństwo przyjęcia partii wynosiło 0,90?
Zad. 8. Z populacji X o nieznanym (dowolnym) rozkładzie, wylosowano n–elementową próbę prostą. Znaleźć wartość oczekiwaną statystyk:
S2 =
2 =
wiedząc, że E(X) = m oraz D2(X) = s2.
Zad. 9. Pokazać, że dla populacji X o rozkładzie normalnym N ( m, s), z której pobrano próbę prostą n–elementową, liniowe przekształcenie postaci statystyki S = ma rozkład gamma (c2 o n stopniach swobody oraz p=, b=).
Zad. 10. Populacja generalna ma rokad normalny N (40, 2). Losujemy z niej próbę prostą o liczebności n = 20 elementów. Obliczyć P (S2 < 5) – P (S < 5)
Zad. 11. Populacja generalna ma rozkład normalny N (m, s). Losujemy z niej próbę prostą o liczebności n = 11 elementów. Obliczyć wartość odchylenia standardowego tej populacji, jeżeli wiemy, że
P{ > 54,12} = 0,05
Zad. 12. Populacja generalna ma rozkład normalny N (m, 3). Losujemy z niej próbę prostą o liczebności n = 56 elementów. Obliczyć moduł różnicy z dokładnością do trzech miejsc po przecinku wartości wyznaczonego dwoma sposobami prawdopodobieństwa P (S > 3).
Wskazówka. Dla dużego n, S z próby w rozkładzie N (m, s) ma rozkład asymptotycznie normalny N (/), czyli N (3, 3). Jeżeli n > 30, to statystyka dąży do rozkładu normalnego N(, 1), gdzie k – liczba stopni swobody rozkładu c2(czytaj: chi-kwadrat).
Zad. 13. W pewnym zakładzie toczy się na automatach tokarskich wałki o średnicy będącej zmienną losową mającą rozkład normalny N (50mm, 2mm). Co pewien czas sprawdza się stabilność procesu produkcyjnego pobierając z aktualnie wyprodukowanej partii próbę prostą 9 wałków i dokonując obliczeń średniej średnicy wałków oraz wariancji S2. Za sygnał świadczący o rozregulowaniu się automatu tokarskiego uważa się zaistnienie jednego z dwóch zdarzeń:
A = {| - 50| > 1} lub B = {S2 > 4}.
Jak często będzie występował sygnał świadczący o konieczności regulacji automatu tokarskiego?
Wskazówka. Jeżeli badana populacja ma rozkład N (m, δ), to średnia z próby i wariancja S2 z tej próby są od siebie niezależne, czyli h (, S2) = h1() h2(S2).
uczelnia.zarzadzanie