rozd4.pdf

(324 KB) Pobierz
QPrint
4. CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE
ZMIENNYCH LOSOWYCH
WartoĻę oczekiwana ZL jest to wielkoĻę, do ktrej zbliŇa siħ (w pewnym sensie)
Ļrednia arytmetyczna wartoĻci, co przyjmuje ZL w poszczeglnych niezaleŇnych do-
Ļwiadczeniach, gdy liczba tych doĻwiadczeı dĢŇy do nieskoıczonoĻci. My wpro-
wadŅmy okreĻlenia wartoĻci oczekiwanej dla ZL typu dyskretnego i ZL typu absolut-
nie ciĢgþego.
s s s
...
s ...
1
, 2
,
1
,
=
1
=
=
{
}
s
|| s
W tym przypadku, gdy
|
|
=
, czyli szereg
|| jest rozbieŇny, ZL
nie ma wartoĻci oczekiwanej.
s
s )
(
=
(
)
−
|
|
(
)
s
−
W tym przypadku, gdy
|
)
|
(
=
, czyli caþka
|
|
(
)
jest rozbieŇ-
−
−
na, ZL
nie ma wartoĻci oczekiwanej.
W sposb analogiczny okreĻlamy WO ZL
=
, gdzie jest pewna funkcja:
)
31
s
, 2
(
=
(
)
=
=
(
)
=
(
)
{
}
w przypadku dyskretnym, oraz
=
(
)
=
(
)
(
)
w przypadku ciĢgþym (z uwzglħdnieniem oczywistych
−
warunkw zbieŇnoĻci odpowiednich szeregu i caþki).
Podamy podstawowe intuicyjnie oczywiste wþasnoĻci wartoĻci oczekiwanej
(kaŇdĢ z tych wþasnoĻci moŇna þatwo udowodnię dla ZL obu typw):
ss
(
)
+
=
+
(
1 )
+
2
=
1
+
2
ss
s
|
|
ss
)
0
0
=
=
s1
{
=
0
=
1
=
{
}
(
)
ss 1
(
( =
)
0
( =
)
przybiera dwie war-
toĻci: 0 z prawdopodobieıstwem i 1 z prawdopodobieıstwem , gdzie
Obliczmy WO dla niektrych ZL.
Niech ZL
ma rozkþad Bernoulliego
, tj.
.
+
=
1
Wwczas
=
0
{
=
0
+
1
{
=
1
=
.
Niech ZL
ma rozkþad normalny 2
,
. Oznaczmy przez
,
2
(
)
għstoĻę ZL
. Wwczas
1
(
−
)
2
=
(
)
=
exp
−
=
,
2
2
2
2
−
−
1
(
−
)
2
1
(
−
)
2
=
(
−
)
exp
−
+
exp
−
=
2
2
2
2
2
2
−
−
=
1
2
exp
−
+
=
.
2
2
2
−
A zatem parametr rozkþadu normalnego jest rwny jego WO.
JeŇeli ZL
ma rozkþad Poissona µ
, to
. Istotnie,
=
µ
32
0
169132190.008.png 169132190.009.png 169132190.010.png
=
µ
−
µ
−
µ
µ
−
1
=
=
µ
=
µ
.
!
(
−
1
!
=
0
1
JeŇeli ZL
ma rozkþad jednostajny 1
, to
0
,
1
1
=
=
.
2
0
Jak wynika z wþasnoĻci WO, dla ZL majĢcej rozkþad
mamy
,
=
+
−
=
+
.
2
2
JeŇeli ZL
ma rozkþad CauchyÓego 1
, to
0
,
nie istnieje, co wynika z tego,
Ňe caþka
− + 2
1
jest rozbieŇna.
WprowadŅmy jeszcze jednĢ charakterystykħ liczbowĢ ZL.
2
=
(
−
)
Wariancja ZL jest miarĢ rozproszenia jej wartoĻci wokþ WO. Znajdujemy, Ňe
2
=
2
−
2
+
(
)
2
=
2
−
(
)
. (1)
ss
Jest jasne, Ňe w przypadku ZL
o rozkþadzie dyskretnym, przyjmujĢcej warto-
Ļci ...
, 2
,
z prawdopodobieıstwami
1
, 2
,
...
odpowiednio, wzr na wariancjħ
przyjmuje postaę
=
(
−
)
2
=
2
−
(
)
2
.
Natomiast w przypadku gdy ZL
ma rozkþad absolutnie ciĢgþy o għstoĻci )
,
mamy
=
(
−
)
2
(
)
=
2
(
)
−
(
)
2
.
−
−
33
1
(
169132190.011.png 169132190.001.png
Niech ZL
ma rozkþad normalny 2
. W przykþadzie 2 wyja-
,
ĻniliĻmy, Ňe
, mamy, wiħc,
=
=
(
−
)
2
=
(
−
)
2
(
)
=
2
,
−
(
−
)
2
2
1
−
2
−
2
2
2
2
2
−
2
=
(
−
)
2
=
2
=
−
.
2
2
2
−
−
−
=
− . CaþkujĢc przez czħĻci dosta-
Ostatnia rwnoĻę wynika z zamiany zmiennej
jemy
=
−
2
−
2
2
+
2
−
2
2
=
2
.
2
2
−
−
Niech ZL
ma rozkþad Poissona
. W przykþadzie 3 obliczyli-
µ
Ļmy, Ňe
. Dlatego
=
µ
µ
−
µ
µ
−
µ
2
2
2
2
2
=
−
(
)
=
−
µ
=
[
(
−
1
+
]
−
µ
=
!
!
=
0
=
0
=
(
−
1
µ
−
µ
+
µ
−
µ
2
=
µ
2
+
µ
−
µ
2
=
µ
.
!
!
=
2
=
1
Niech ZL
ma rozkþad jednostajny 1
. Wiemy, Ňe
0
,
.
=
1
2
1
Mamy
2 =
=
2
1
3
, skĢd na mocy (1) otrzymujemy
=
1
3
−
1
4
=
1
12
. W
0
(
−
)
2
przypadku oglnym, gdy ZL
ma rozkþad
, mamy
=
.
,
12
JeŇeli ZL
ma rozkþad Bernoulliego (dwumianowy przy 1
)
=
to oczywiĻcie ZL
2
i
majĢ ten sam rozkþad, wiħc
2
=
=
,
=
−
2
=
(
−
)
=
.
Przytoczymy teraz kilka wþasnoĻci wariancji.
0
. 0
=
ss
{
=
}
=
1
34
,
169132190.002.png 169132190.003.png 169132190.004.png 169132190.005.png 169132190.006.png
NierwnoĻę jest oczywista, gdyŇ
=
(
−
)
2
0
. Niech teraz
,
{
=
}
=
1
wwczas z wþasnoĻci WO wynika
(
)
2
=
2
=
2
, a wiħc
=
2 =
−
0
. JeŇeli
=
(
−
)
2 =
0
, to, poniewaŇ
(
−
, mamy na mocy wþasnoĻci :
)
2
0
{
−
=
0
=
1
, czyli
{
=
}
=
1
.
.
WþasnoĻę ta wynika bezpoĻrednio z okreĻlenia wariancji.
(
+
)
=
2
(
±
)
=
(
±
)
2
−
(
±
)
2
=
(
2
±
2
+
2
)
−
(
)
2
m
2
−
−
(
)
2
=
2
±
2
(
)
+
2
−
(
)
2
m
2
−
(
)
2
=
=
+
±
2
(
)
−
)
.
(
W szczeglnoĻci (jak pŅniej zobaczymy), ostatni wzr jest speþniony, gdy ZL
)
(
=
)
±
=
+
i sĢ niezaleŇne.
Niech ZL
moŇna
przedstawię w postaci sumy niezaleŇnych ZL, majĢcych rozkþad , to na mocy
wyniku otrzymanego w przykþadzie 8 dostajemy
ma rozkþad dwumianowy
. PoniewaŇ
.
=
s
Twierdzenie 1.
{|
−
|
}
, (2)
2
s
NierwnoĻę ta znana pod nazwĢ nierwnoĻci Czebyszewa.
podamy dla ZL absolutnie ciĢgþej
o għstoĻci )
( i dystrybuancie
( .
)
{|
−
|
}
=
1
−
{|
−
|
<
}
=
1
−
{
−
<
−
<
}
=
+
−
=
1
−
{
−
<
<
+
}
=
1
−
(
)
=
(
)
+
(
)
.
−
−
+
Tutaj obszar caþkowania jest taki, Ňe w nim wartoĻci ZL
sĢ takie, Ňe
al-
−
bo
, czyli
+
−
albo
−
−
. MnoŇĢc pierwszĢ z dwch ostat-
nich nierwnoĻci obustronnie przez 1
− , otrzymujemy
35
ss
s
169132190.007.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin