cw012.pdf

Ćwiczenie 12

WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI

METODĄ DYNAMICZNĄ

Cel ćwiczenia: Wyznaczenie występującego w prawie Hooke'a modułu

sztywności przez pomiar sprężystych drgań obrotowych.

Zagadnienia: siły międzycząsteczkowe w ciałach stałych, sprężystość,

rodzaje odkształceń, prawo Hooke'a, moduły sprężystości, sprężyste

drgania obrotowe – związek kąta skręcenia z momentem siły; związek

modułu sztywności z momentem kierującym.

12.1. Wprowadzenie

Pojęcie sprężystości: siły międzycząsteczkowe; naprężenia,

odkształcenia; prawo Hooke'a – omówiono w ćwiczeniu 10.

12.1.1. Wyprowadzenie wzoru na kąt skręcenia

Rysunek10.9 (ćwiczenie 10) przedstawia cylindryczny pręt,

zamocowany sztywno na jednym końcu, skręcony o kąt ### przez moment

M pary sił F , –F , przyłożonych do jego drugiego końca. Wyobraźmy sobie

w tym pręcie cylindryczny, równoległy do osi element (rurkę) o promieniu

ρ i grubości d ρ (rys. 12.1). Siły d F , –d F działające stycznie na jego (dolną)

powierzchnię dS

= 2πρ ρ

wywołają naprężenie styczne

(12.1)

Rezultatem będzie odkształcenie ścinające, powodujące, że tworząca rurki

przejdzie w linię śrubową nachyloną do swojego poprzedniego położenia

pod kątem α. Zgodnie z prawem Hooke'a : α = / G . Dolna powierzchnia

rurki zostanie tym samym skręcona w stosunku do górnej o kąt .

(Powstanie tego skręcenia może nam ułatwić rysunek 10.7b. Ciało,

narysowane przed ścinaniem linią ciągłą a po – linią przerywaną,

wyobraźmy sobie jako cienką płytkę, powstałą z przecięcia rurki wzdłuż

two rząc ej i rozwiniętą na płaszczyznę. Zwińmy ją z pow-rotem w rurkę.)

s oznacza na rysunku 12.1 łuk odpowiadający skręceniu o i

równocześnie ścięciu o α. Dla małych wartości α i

B ′

ϕ mamy

α oraz

s /

ϕ /

s = skąd po wyeliminowaniu s otrzymujemy

ϕρ

α= .

Podstawiając (12.1) oraz (12.2) do

prawa Hooke'a (10.7) można

otrzymać wyrażenie na siłę dF

ρ 2

a stąd, po pomnożeniu przez ### ,

moment siły dM dF

z 2 ρ

dM z

2π

Rys. 12.1. Skręcenie jako skutek

odkształcenia ścinającego

Całkowity moment siły działający

na cały pręt otrzymamy całkując

(12.4) w granicach (0, r )

M z

(12.5)

Indeks z przypomina, że jest to moment sił zewnętrznych, przyłożonych do

pręta. Jemu przeciwdziała równy co do wartości i kierunku (wzdłuż osi

pręta) lecz przeciwny co zwrotu moment wewnętrznych sił sprężystości.

Tak więc dla momentu sił sprężystych, jako skutku skręcenia pręta o kąt

mamy ostatecznie

−

(12.6)

12.1.2. Harmoniczne drgania obrotowe

M −= , (12.7)

to, jak wiadomo z teorii drgań, ciało to będzie pod jego wpływem

wykonywało obrotowe drgania harmoniczne. Podstawiając bowiem –

zgodnie z drugą zasadą dynamiki ruchu obrotowego – ,

gdzie I jest momentem bezwładności ciała (względem osi obrotu),

otrzymujemy z (13.7) przy oznaczeniu

−

IM ϕ

/ dt

(12.8)

równanie różniczkowe

+ ϕ

(12.9)

Rozwiązaniem tego równania jest przedstawiająca zależność wychylenia

z położenia równowagi od czasu funkcja harmoniczna

sin(

(12.10)

D w powyższych wzorach nazywamy momentem kierującym, ω – pulsacją,

– amplitudą drgania, γ – stałą fazową. Okres drgania T jest z pulsacją

związany zależnością

2π

. Wobec (12.6) jest zatem:

T π

= 2

(12.11)

Jeżeli na ciało znajdujące się w położeniu równowagi trwałej i mogące

wykonywać względem tego położenia tylko ruchy obrotowe działa moment

siły wprost proporcjonalny do kąta wychylenia z tego położenia,

a zwrócony zawsze tak, aby temu wychyleniu przeciwdziałać,

ϕ 0

12.1.3. Stanowisko pomiarowe

Porównując wzory (12.6) i (12.7) widzimy, że moment sił sprężystych,

gdy przestaje być równoważony przez moment sił zewnętrznych

(przyłożonych do pręta), powoduje drgania harmoniczne obrotowe. Moment

kierujący tych drgań zależy od modułu sztywności, promienia i długości

pręta następująco:

= .

(12.12)

Znając moment bezwładności i mierząc okres drgań

można by z (12.11) wyliczyć D a następnie, mierząc

jeszcze r oraz l wyliczyć z (12.12) moduł

sztywności G , co jest celem ćwiczenia. W ćwiczeniu

mamy jednak do czynienia nie z prętem (okres drgań

pręta byłby bardzo mały a jego pomiar – trudny),

lecz zobciążonym metalową tarczą M drutem,

rysunek 12.2. Moment bezwładności takiego układu

nie jest znany ani też prosty do wyliczenia czy

pomiaru. Tę trudność można łatwo obejść. Po

zmierzeniu okresu drgań układu drut – tarcza M

dołączamy do niej dodatkową tarczę K i mierzymy

ponownie okres drgań – . Moment bezwładności układu wynosi teraz

T 1

T 2

I K

+ , a jego okres obrotu, analogicznie do (12.11)

= 2

(12.13)

Podnosząc (12.11) ( T

≡

) i (12.13) do kwadratu i odejmując stronami

otrzymuje się

Rys. 12.2.

Wahadło torsyjne

(12.14)

−

Moment bezwładności tarczy K o masie m i promieniu R wynosi jak

wiadomo

I K = .

1 mR

(11.15)

Uwzględniając to otrzymuje się z (12.12) i (12.14)

(12.16)

(

−

)

Amplituda początkowa drgań może być stosunkowo duża, np. ,

jeżeli drut jest cienki i długi. Wtedy bowiem kąt ścinania pozostanie mały

i prawo Hooke'a będzie spełnione.

ϕπ

= /

W rzeczywistości nie mierzymy promieni r i R , lecz średnice d

= 2

= 2 . Nie mierzymy też bezpośrednio okresów drgań i , lecz –

w celu zwiększenia dokładności – czasy t

T 1 T 2

= , w których

wahadło torsyjne wykona przed i po założeniu dodatkowej tarczy K n drgań.

Uwzględniając i to otrzymujemy ostatecznie wzór na moduł sztywności

= i t

2 n 2

mls

(12.17)

(

−

)

12.2. Zadania do wykonania

A) Pomiary

1. Obmyśleć i przygotować tabelki, do których będą wpisywane wszystkie

pomiary.

2. Odkręcić tarczę K i zważyć jej masę m na wadze laboratoryjnej.

3. Zmierzyć przy pomocy suwmiarki średnicę s tarczy K . Pomiar powtórzyć

kilkakrotnie w różnych kierunkach. Jeżeli wyniki trzech pomiarów będą

różnić się mniej niż błąd maksymalny suwmiarki (0,1 mm), zapisać tylko

jedną wartość pomiaru. W przeciwnym przypadku wykonać co najmniej

5 pomiarów, zapisać wszystkie i obliczyć ich wartość średnią.

i s

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: