Mat W-5.pdf

2008-11-03

NAGŁE PĘKANIE I WIĄZKOŚĆ

Niekiedy konstrukcje zaprojektowane poprawnie z punktu widzenia zarówno

odkształcenia sprężystego, jak i plastycznego ulegają katastroficznemu zniszczeniu w

wyniku nagłego pękania . Cechą wspólną tego typu sytuacji-pękania spawanych kadłubów

statków, spawanych mostów i rur gazociągów oraz zbiorników ciśnieniowych - jest obecność

pęknięć będących często efektem błędów spawania .

Nagłe pękanie jest spowodowane wzrostem - zachodzącym z szybkością propagacji

dźwięków w danym materiale - istniejących pęknięć , które nagle stają się niestabilne .

Energetyczne kryterium nagłego pękania

Nadmuchanie balonika prowadzi do zmagazynowania w nim pewnej energii . Energia ta

jest związana zarówno z ciśnieniem gazu wewnątrz balonu , jak i z napięciem gumowej

powłoki . Wzrasta ona w miarę wzrostu ciśnienia w baloniku.

Jeśli do rozważanego układu wprowadzimy defekt w postaci igły penetrującej powłokę

balonika , nadmuchany balonik pęknie, uwalniając zgromadzoną w nim energię .

Powłoka balonika nagle pęka , pomimo że napięcie nie przekracza jej wytrzymałości na

rozciąganie . Jeśli jednak taki sam defekt wprowadzimy do układu o mniejszej energii, np.

nakłuwając balonik nadmuchany częściowo, wykazuje on cechy stabilności i nagłe pękanie nie

ma miejsca. Z kolei, jeśli nadmuchujemy balonik uprzednio przedziurawiony, w pewnym

momencie osiągamy ciśnienie, przy którym balonik nagle pęka. Innymi słowy, podczas

nadmuchiwania osiągamy moment, w którym dziurka w baloniku staje się niestabilna i mamy

do czynienia z nagłym pękaniem.

2008-11-03

Wiele wypadków (niespodziewane zawalenie się mostu, pęknięcie kotła) miało miejsce i

nadal przytrafia się w związku z opisanym zjawiskiem .

We wszystkich przypadkach, przekroczone zostaje krytyczne naprężenie , przy którym

jest dostatecznie dużo energii na to , by wykonać pracę rozrywania materiału , co często

zaskakuje konstruktora danego elementu.

Na podstawie przeprowadzonych rozważań można zapisać równanie energii układu , jakie

musi być spełnione w momencie nagłego pękania w wyniku rozrostu pęknięcia . Załóżmy, że

pęknięcie o długości a w materiale o grubości t rośnie o S a . Wymaga to, aby praca wykonana

przez przyłożone obciążenie była większa od sumy zmiany energii sprężystej i energii

zgromadzonej w wierzchołku pęknięcia , co można zapisać w następujący sposób:

gdzie;

G c - energiawydatkowananajednostkę

polapowierzchnipęknięcia

(niejestonajednostkąpola

nowoutworzonejpowierzchni),

tda -przyrostpowierzchnipęknięcia.

Parametr G c jest stałą materiałową - jest to energia związana z utworzeniem jednostki

pola pęknięcia , nazywana wiązkością materiału (lub czasami krytyczną szybkością

uwalniania energii odkształcenia ). Mierzony jest on w jednostkach energii na jednostkę pola,

np. w J/m 2 .

Duża wiązkość materiału oznacza,, że propagacja pęknięć w danym materiale zachodzi

trudno (jak np. w miedzi, dla której G c >> 10 6 J/m 2 ). Z kolei szkło pęka bardzo łatwo; G c dla

szkła wynosi tylko ok. 10 J/m 2 .

2008-11-03

Ten sam parametr G c określa wytrzymałość klejów .

Można wyznaczyć jego wartość dla kleju nałożonego na taśmę klejącą poprzez zawieszenie

ciężarka na częściowo odwiniętej taśmie klejącej odwijanej z rolki zawieszonej (np. na ołówku),

w ten sposób, że może ona w miarę swobodnie się obracać, jak to pokazano na rys. 5.1.

Należy zwiększać masę ciężarka do wartości M , przy której zaczyna się nagłe odwijanie taśmy

(= nagłe pękanie).

Dla tego typu geometrii układu, człon dU el

jest mały w porównaniu z pracą wykonaną

przez ciężar M (taśma ma stosunkowo małą

podatność sprężystą) i może być pominięty.

Wówczas równanie równowagi dla nagłego

pękania przyjmie postać:

W tym przypadku

a zatem

Rysunek 5.1

Schemat wyznaczania wartości G c dla kleju

na taśmie (typu scotch).

Parametr t zwykle przyjmuje wartość 2 cm ,

M = 1 kg i g ok.. 10 m/s 2 , co daje:

Jest to rozsądna wartość dla klejów i charakterystyczna wartość dla wielu polimerów .

2008-11-03

Nagłe pękanie sztywno zamocowanej płyty

Płyta pokazana na rys. 5.2 jest rozciągana siłami przyłożonymi na dwóch jej

krawędziach , które nie przesuwają się względem siebie. Ponieważ krawędzie te się nie

przesuwają, więc przyłożone siły nie wykonują pracy i dW=0 . Odpowiednio, równanie

równowagi energii w momencie inicjacji nagłego pęknięcia przyjmuje postać:

Jednak w miarę jak rośnie pęknięcie płyty,

naprężenia w jej materiale ulegają relaksacji, co

oznacza, że płyta traci energię sprężystą. Zatem

dU el przyjmuje wartość ujemną, a -dU el wartość

dodatnią. Wartość dU el można oszacować w

sposób pokazany na rys. 5.3.

Rysunek 5.2

Nagłe pękanie w płycie o

zamocowanych brzegach.

Rysunek 5.3

Uwolnienie zmagazynowanej energii

odkształcenia podczas wzrostu pęknięcia.

2008-11-03

Przeanalizujmy mały sześcian materiału płyty o objętości jednostkowej. Pod działaniem

obciążenia F sześcian ten jest poddany naprężeniom s , które powodują odkształcenie e .

Każdy sześcian o objętości jednostkowej ma zatem energię sprężystą U el wynoszącą se/2 lub

s/2E . Jeśli teraz wprowadzimy parametr a określający długość pęknięcia, to zauważymy, że

materiał w obszarze zakropkowanym na rys. 5.3 ulega relaksacji ( naprężenie maleje do zera) i

traci energię sprężystą.

Zmiana energii jest określona wzorem:

W miarę jak pęknięcie rośnie o da , odpowiadająca mu wartość dU el jest dana jako:

Krytyczny warunek nagłego pękania przybierze wówczas postać:

Przyjęte założenie co do sposobu relaksowania naprężeń w materiale jest dość zgrubne .

Bardziej wyrafinowana analiza matematyczna prowadzi do wniosku, że wyprowadzone

oszacowanie dU el jest zaniżone o połowę . Bardziej precyzyjna zależność ma postać:

Co można uprościć do warunku w momencie uruchamiania

nagłego pękania

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: