od.pdf

(224 KB) Pobierz
- 1 -
Ocena dokładności - przykłady
Edward Preweda
Przykład 1.
Metodą biegunową wyznaczono współrzędne punku 2. Dany jest azymut boku 1-2 oraz długość
boku b. Współrzędna X punku 1 jest wyznaczona bezbłędnie (
m 1 X  ). Wyznaczyć odchylenie
0
2
standardowe (błąd średni – potocznie) współrzędnej X punktu 2.
b
g
c
cc
cc
b
100
.
125
m
5
mm,
40
20
30
20
1
Rozwiązanie:
Funkcja wyrażająca współrzędną X punktu 2 ma postać
X 1
b
cos(
)
2
Różniczkę tej funkcji wyraża wzór
   
 

Stosując zasadę wyznaczania wartości wariancji (narastania błędów) dla funkcji wielkości niezależnych otrzymamy
d
X
1 1
dX
cos
(
)
db+
-b
sin
(
)
d
2
)
2
2
2
V(X
)
1
V(X
)
cos
(
)
V(b)+
-b
sin
(
)
V(
2
1
lub
2
2
2
2
2
2
2
(X
)
1
(X
)
cos
(
)
(b)
+
-b
sin
(
)
(
)
2
1
lub
2
2
2
2
2
2
2
m
1 1
m
cos
(
)
m
+
-b
sin
(
)
m
X
X
b
2
2
20
2
2
2
2
2
2
m 2
1
0
cos
(
40
.
2030
)
0
..
005
+
-
100
.
125
sin
(
40
.
2030
)
X
636620
m 2 X
0
.
0044
[
m
]
Jeżeli obliczenia będziemy wykonywać w [mm]:
2
20
2
2
2
2
2
2
m 2
1
0
cos
(
40
.
2030
)
5
+
-
100125
sin
(
40
.
2030
)
X
636620
m 2 X
4
.
[
mm
]
W zapisie macierzowym:
T
 
1
V
X
0
0
1
1
 
V(X
)
cos(
)
0
V
b
0
cos(
)
2
 
b
sin(
)
0
0
V
b
sin(
)
0
0
0
1
2
V(X
)
1
cos(
40
.
2030
)
100
.
125
sin(
40
.
2030
)
0
0
005
0
cos(
40
.
2030
)
2
2
20
100
.
125
sin(
40
.
2030
)
0
0
636620
0
005
2
0
cos(
40
.
2030
)
2
V(X
)
cos(
40
.
2030
)
100
.
125
sin(
40
.
2030
)
20
2
0
100
.
125
sin(
40
.
2030
)
636620
2
cos(
40
.
2030
)
20
2
V(X
)
cos(
40
.
2030
)
0
005
100
.
125
sin(
40
.
2030
)
2
636620
100
.
125
sin(
40
.
2030
)
2
20
2
2
2
2
V(X
)
cos(
40
.
2030
)
0
005
100
.
125
sin(
40
.
2030
))
2
636620
V(X
)
1
63
E
5
3
45
E
6
1
975
E
5
(
X
)
4
4
mm
2
2
892219880.048.png 892219880.059.png 892219880.070.png 892219880.075.png 892219880.001.png 892219880.002.png 892219880.003.png 892219880.004.png 892219880.005.png 892219880.006.png 892219880.007.png 892219880.008.png 892219880.009.png 892219880.010.png 892219880.011.png
 
- 2 -
Ocena dokładności - przykłady
Edward Preweda
Zastosowania prawa narastania błędów średnich dla wielkości skorelowanych
Przykład 2. Punkt P jest wyznaczany metodą współrzędnych biegunowych. Na podstawie wyników pomiaru
m
g 20
c
b
200
i
50
określić macierz kowariancji dla współrzędnych x i y wyznaczanego punktu, zakładając
cc
b
2
cm
,
b
40
oraz, że azymut  jest równy kątowi .
Rozwiązanie:
Funkcje wyrażające współrzędne x , y za pomocą b i  są następujące
x
b
cos
dx
cos
db
b
sin
d
dβ

Współrzędne x i y są względem siebie zależne, zatem odpowiada im macierz kowariancji wyrażona zależnością
y
b
sin
dy
sin
db
b
cos
 
T
cos
sin
V
b
0
cos
sin
 
Cov
x
,
y
 
b
sin
b
cos
0
V
b
sin
b
cos
czyli
 
 
 
 
2
2
2
2
cos
V
b
b
sin
V
sin
cos
V
b
b
sin
cos
V
 
Cov
x
,
y
 
 
 
 
2
2
2
2
sin
cos
V
b
b
sin
cos
V
sin
V
b
b
cos
V
skąd
0
.
50
0
.
0004
20125
.
66
3
10
9
0
.
50
0
.
0004
19999
.
60
3
10
9
0
.
00026
0
.
00014
 
Cov
x
,
y
0
.
50
0
.
0004
19999
.
60
3
10
9
0
.
50
0
.
0004
19874
.
34
3
10
9
0
.
00014
0
.
00026
Przykład 3.
2
Obliczyć odchylenie standardowe odległości pomiędzy punktami 1 –2, jeżeli znana jest macierz
kowariancji Cov(X) dla współrzędnych tych punktów (wariancje podano w
2
mm ).
d
X
0
000
10
1
2
1
1
1
Y
0
000
1
12
3
2
1
Cov
(
X
)
Cov
(
X
,
Y
,
X
Y
)
1
1
2
2
X
300
.
000
2
3
15
1
2
Y
400
.
000
1
2
1
6
2
 
2
2
2
2
d
X
Y
X
X
Y
Y
2
1
2
1
T
V
(
d
)
F
Cov
(
X
)
F
1
dd
(
2
X
2
X
)
2
1
X
300
2
2
d
dX
1
d
500
1
0
.
6
dd
Y
400
(
2
Y
2
Y
)
2
1
2
0
.
dY
2
d
d
500
1
F
dd
1
300
0
.
6
(
2
X
2
X
)
2
1
dX
d
500
2
0
.
2
2
d
400
dd
1
(
2
Y
2
Y
)
d
500
2
1
dY
2
2
2
d
W tym miejscu warto spojrzeć na równania obserwacyjne dla długości !
10
1
2
1
1
12
3
2
0
0
6
0
8
0
6
0
7
6
7
2
2
3
15
1
1
2
1
6
892219880.012.png 892219880.013.png 892219880.014.png 892219880.015.png 892219880.016.png 892219880.017.png 892219880.018.png 892219880.019.png 892219880.020.png 892219880.021.png 892219880.022.png 892219880.023.png 892219880.024.png 892219880.025.png 892219880.026.png 892219880.027.png 892219880.028.png 892219880.029.png 892219880.030.png 892219880.031.png
 
- 3 -
Ocena dokładności - przykłady
Edward Preweda
0
0
7
2
6
8
7
0
2
0
4
68
0
0
Stąd
d( 
)
2
mm
Warto zwrócić uwagę, że gdybyśmy nie uwzględnili kowariancji pomiędzy współrzędnymi punktów, to
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
V
(
d
)
(
0
.
)
mX
(
0
.
8
mY
0
.
6
mX
0
.
mY
(
0
.
)
10
(
0
.
12
0
.
6
15
0
.
6
1
1
2
2
czyli
(V 
d
)
37
.
2
stąd
d( 
)
6
1
mm
Wniosek
Jeżeli uwzględniamy kowariancje, to nie oznacza, że otrzymamy większe odchylenia standardowe !
Przykład 4.
Obliczyć odchylenie standardowe kąta .Znana jest macierz kowariancji Cov(X) dla współrzędnych tych punktów
1,2,3 (wariancje podano w
2
mm ).
3
1
X
200
.
000
1
Y
0
000
1
X
0
000
2
2
Y
0
000
2
X
300
.
000
3
Y
400
.
000
3
25
5
2
1
2
7
5
40
3
2
1
2
2
3
35
1
3
1
Cov
(
X
)
Cov
(
X
,
Y
,
X
Y
,
X
Y
)
1
1
2
2
3
3
1
2
1
25
2
1
2
1
3
2
65
2
7
2
1
1
2
60
T

Wektor pochodnych cząstkowych możemy utworzyć na podstawie równania obserwacyjnego dla kąta
V
(
)
F
Cov
(
X
)
F
Y
X
Y
X
Y
Y
X
X
L
dx
L
dy
P
dx
P
dy
L
P
dx
L
P
dy
L
L
P
P
C
C
d
2
L
d
2
L
d
2
P
d
2
P
d
2
L
d
2
P
d
2
L
d
2
P
czyli
Y
X
Y
Y
X
X
Y
X
T
F
L
L
L
P
L
P
P
P
2
L
2
L
2
L
2
P
2
L
2
P
2
P
2
P
d
d
d
d
d
d
d
d
(Taka kolejność wynika z macierzy kowariancji dla współrzędnych punktów)
Stąd
892219880.032.png 892219880.033.png 892219880.034.png 892219880.035.png 892219880.036.png 892219880.037.png 892219880.038.png 892219880.039.png 892219880.040.png 892219880.041.png 892219880.042.png 892219880.043.png 892219880.044.png 892219880.045.png
 
- 4 -
Ocena dokładności - przykłady
Edward Preweda
0
0
2
200
200
3
1831
2
200
0
400
1
0186
2
2
200
500
0
001
200
300
2
4192
2
2
200
500
400
1
0186
2
500
300
0
7639
2
500
( razy 0.001, ponieważ macierz kowariancji podana jest w mm kwadrat ! )
25
5
2
1
2
7
5
40
3
2
1
2
2
3
35
1
3
1
0
3
.
1831
1
0186
2
.
4192
1
0186
0
7639
22
.
122
.
0
21
.
4
50
.
63
.
0
52
.
1
2
1
25
2
1
2
1
3
2
65
2
7
2
1
1
2
60
0
3
1831
1
0186
2
V
(
)
22
.
122
.
0
21
.
50
.
63
.
52
.
636
.
28
[
cc
]
2
4192
1
0186
0
7639
Czyli
(
)
m
25
.
[
cc
]
Sprawdzić, jaką wartość przyjmie odchylenie standardowe )
( jeżeli
a) wariancję )
(V 3 przyjmiemy za równą 100
Y
)( 
26
.
[
cc
]
b) wariancję )
(V 3 przyjmiemy za równą 0
Y
)( 
24
.
[
cc
]
c) wariancję
(V 1 przyjmiemy za równą 0
X
)
)( 
15
.
[
cc
]
??? sprawdzić!
d) kowariancje przyjmiemy za równe zeru (
 )
e) wariancje których współrzędnych nie mają wpływu na wartość odchylenia standardowego )
)( 
26
.
[
cc
]
( ???
892219880.046.png 892219880.047.png 892219880.049.png 892219880.050.png 892219880.051.png 892219880.052.png 892219880.053.png 892219880.054.png 892219880.055.png 892219880.056.png 892219880.057.png 892219880.058.png 892219880.060.png 892219880.061.png 892219880.062.png 892219880.063.png 892219880.064.png 892219880.065.png 892219880.066.png 892219880.067.png 892219880.068.png 892219880.069.png 892219880.071.png 892219880.072.png 892219880.073.png 892219880.074.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin