mat.pdf

I. Pochodne cząstkowe

1. Definicja pochodnej ∂ z

∂ x  P 0  .

Jeżeli P 0  x 0 ,y 0 ∈ D

P 0  x 0  x,y 0 ∈ D oraz funkcja z = f  x,y  jest określona w S  P,  to

f  x 0  x,y 0 − f  x 0, y 0 

 x

∂ z

∂ x  P 0 =lim

 x 0

2. Definicja pochodnej ∂ z

∂ y  P 0  .

Jeżeli P 0  x 0 ,y 0 ∈ D

P 0  x 0, y 0  y ∈ D oraz funkcja z = f  x,y  jest określona w S  P,  to

f  x 0, y 0  y − f  x 0, y 0 

 y

∂ z

∂ y  P 0 =lim

 y 0

3. Definicja ekstremum funkcji dwóch zmiennych (maksimum, minimum); co to jest punkt stacjonarny.

Mówimy że funkcja f  x,y  ma w punkcje P 0 maksimum [minimum] lokalne, jeżeli P ∈ S  P 0 , 

oraz f  P  f  P 0  [ f  P  f  P 0  ] .

Punkt stacjonarny – punkt, w którym pochodne cząstkowe pierwszego rzędu przyjmują wartość zero.

4. Sformułować warunek konieczny i warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji dwóch

zmiennych.

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji dwóch zmiennych w punkcie P 0 jest istnienie

∂ f  x,y 

∂ x  P 0 =0

∂ f  x,y 

∂ x  P 0 =0

pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu oraz

Warunkiem wystarczającym istnienia ekstremum funkcji dwóch zmiennych w punkcie P 0 jest istnienie

∣

∣ 0 to w

∂ 2 f  x,y 

∂ x 2  P 0  ∂ 2 f  x,y 

∂ x ∂ y  P 0 

pochodnych cząstkowych drugiego rzędu oraz W  P 0 =

∂ 2 f  x,y 

∂ x ∂ y  P 0  ∂ 2 f  x,y 

∂ y 2  P 0 

punkcie P 0 istnieje:

∂ 2 f  x,y 

∂ x 2  P 0 0[>0]∧ ∂ 2 f  x,y 

∂ y 2  P 0 0[>0] maksimum [minimum].

II. Liczby zespolone

1. Postać algebraiczna i postać trygonometryczna liczby zespolonej (objaśnić wszystkie części w tych

postaciach).

Postać algebraiczna z = a  b ⋅ i , gdzie a – część rzeczywista (Re z), b – część urojona (Im z),

i – jednostka urojona

Postać trygonometryczna z =∣ z ∣⋅cos i ⋅sin , gdzie |z| - moduł liczby zespolonej

∣ z ∣=  a 2  b 2

, ϕ – argument główny (Arg z),

2. Interpretacja geometryczna liczby zespolonej.

3. Działania na liczbach zespolonych w postaci algebraicznej.

Dodawanie/odejmowanie z 1  z 2 = a 1  b 1 ⋅ i  a 2  b 2 ⋅ i = a 1  a 2  b 1  b 2 ⋅ i

Mnożenie z 1 ⋅ z 2 = a 1  b 1 ⋅ i ⋅ a 2  b 2 ⋅ i = a 1 a 2 − b 1 b 2  b 1 a 1  a 1 b 2 ⋅ i

z 1

z 2 =  a 1  b 1 ⋅ i 

 a 2  b 2 ⋅ i  ⋅  a 2 − b 2 ⋅ i 

 a 2 − b 2 ⋅ i  = a 1 a 2  b 1 b 2  b 1 a 2 − a 1 b 2 ⋅ i

Dzielenie

a 2  b 2

4. Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej.

Mnożenie z 1 ⋅ z 2 =∣ z 1 ∣⋅∣ z 2 ∣⋅cos i ⋅sin

Dzielenie z 1

z 2 = ∣ z 1 ∣

∣ z 2 ∣ ⋅cos− i ⋅sin−

5. Potęgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej; interpretacja

geometryczna pierwiastków.

Potęgowanie z n =∣ z ∣ n ⋅cos n  i ⋅sin n 

Pierwiastkowanie z k = n

n  , gdzie k =0,1 n −1

Wszystkie pierwiastki leżą na okręgu S(0,0), gdzie r = n

 cos 2k

n  i ⋅sin 2k

 ∣ z ∣

 ∣ z ∣ i są wierzchołkami n-kąta foremnego

wpisanego w ten okrąg.

III.Równania różniczkowe

1. Definicja równania o zmiennych rozdzielonych i metoda jego rozwiązywania.

Równaniem różniczkowych o zmiennych rozdzielonych nazywamy równanie w postaci

gdzie f, g są danymi funkcjami ciągłymi, odpowiednio w pewnych przedziałach X,Y.

Wiedząc że równanie o zmiennych rozdzielonych możemy zapisać w postaci

Ostatecznie równanie rozwiązujemy rozdzielając zmienne, tzn. umieszczając zmienne x i y wraz z

różniczkami dx i dy po różnych stronach znaku równości. Zakładając że

Otrzymujemy równanie w postaci

Ostatnie równanie przedstawia nam całkę ogólna równania wyjściowego w postaci uwikłanej,

rozwiązując je otrzymujemy całkę ogólna równania wyjściowego w postaci jawnej.

2. Definicja równania jednorodnego i metoda jego rozwiązywania.

Równaniem różniczkowym jednorodnym nazywamy równanie typu

, gdzie funkcja f jest

funkcją ciągłą w pewnym przedziale i zależną tylko od stosunku przy czym

Równanie jednorodne rozwiązujemy sprowadzając je do równania o zmiennych rozdzielonych. W tym

celu stosujemy podstawienie

lub krótko

, gdzie u jest nowo szukana funkcją.

Różniczkując drugi ze związków względem x, mamy

, a to oznacza że równanie wyjściowe

sprowadza się do postaci

Stąd otrzymujemy

W ostatnim równaniu, zmienne są już rozdzielone. Całkując je stronami a następnie podstawiając

otrzymamy całkę ogólną równania jednorodnego w postaci uwikłanej.

3. Definicja równania liniowego i metoda jego rozwiązywania.

Równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu nazywamy równanie w postaci

gdzie p(x) i q(x) są funkcjami ciągłymi w pewnym współdzielonym przedziale X.

W przypadku, gdy q(x)=0 równanie nazywamy równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym

(uproszczonym). Ma ono postać

Po scałkowaniu otrzymujemy

, gdzie C≠0, a P(x) jest pewną funkcją pierwotną funkcji

p(x) dla

stąd

czyli

Biorąc pod uwagę, że funkcja y = 0 jest rozwiązaniem równania oraz uwzględniając

uzyskany poprzednio wynik, każda całka równania różniczkowego liniowego jednorodnego ma postać

gdzie A oznacza dowolną liczbę rzeczywistą.

Ostatni wzór wyraża całkę ogólną równania różniczkowego liniowo jednorodnego.

Równanie rozwiązujemy wyznaczając wpierw całkę ogólną odpowiadającą mu równania

liniowego jednorodnego, a następnie stosując metodę uzmienniania stałej otrzymujemy całkę ogólną

rozważanego równania.

Przewidujemy, że funkcja w postaci

, gdzie A(x) jest funkcją klasy C1 na przedziale X, jest

rozwiązaniem równania

W celu znalezienia funkcji A(x) w miejsce y i y’ w powyższym równaniu wstawiamy

Mamy wiec

Po przekształceniach otrzymujemy

skąd

Podstawiając otrzymamy funkcję A(x) do wyrażenia

uzyskamy szukane rozwiązanie ogólne

równania liniowego niejednorodnego

w postaci

4. Definicja równania Bernoulliego i metoda jego rozwiązywania.

Niech

(

)

pqCab

, Î r Î R .

dx pxyqxy r

(

)

(

)

Wtedy równanie

nazywamy równaniem różniczkowym Bernoulliego.

Jeśli r = 0, to równanie różniczkowe Bernoulliego jest RN.

Jeśli r = 1, to równanie różniczkowe Bernoulliego jest RJ.

Jeśli r r

1 , to stosujemy podstawienie (

)

zx y r

, gdzie zakładamy, że y r

jest określone

(

)

w ab , .

zx ry dy

(

)

(

)

Wtedy

Mnożąc równanie Bennoullego przez (1-r)y-r , 1− r  y − r dy

dx =1− r  p  x  y 1− r 1− r  q  x 

dx rpxz rqx

(

)

(

)

(

) (

)

otrzymujemy i uwzględniając podstawienie mamy

- RN funkcji z zależnej

od zmiennej x.

5. Definicja równania zupełnego i metoda jego rozwiązywania.

Jeżeli w równaniu postaci P  x,y  dx  Q  x,y  dy =0 zachodzi równość ∂ P

∂ y = ∂ Q

∂ x to można mówić

o równaniu różniczkowym zupełnym.

Przy tak spełnionym warunku rozwiązaniem tego równania jest funkcja n(x,y), którą wyznaczamy z

∂ u

∂ x = P  x,y 

∂ u

układu równań

, a całka ogólna u  x,y = C .

∂ y = Q  x,y 

6. Definicja równania liniowego II-go rzędu o stałych współczynnikach, równanie charakterystyczne i

postać rozwiązania w zależności od Δ.

Równanie przyjmujące postać y''  py'  qy = f  x  gdzie p,q ∈ℝ. Z równaniem tym związane jest

równanie y''  py'  qy =0

7. Metoda uzmienniania stałych dla równania II-go rzędu

IV.Całki podwójne i potrójne

1. Definicja obszaru normalnego względem osi OX i osi OY.

Obszar D ∈ℝ 2 nazywamy obszarem normalnym względem:

- osi OX, jeżeli jest określona nierównościami a  x  b

f 1  x  y  f 2  x  ;

- osi OY, jeżeli jest określona nierównościami a  y  b

f 1  y  x  f 2  y  ;

2. Całka podwójna po prostokącie – jej zapis (dwa przypadki) jako całki iteracyjnej

Jeżeli D jest obszarem normalnym względem:

- osi OX D= a  x  b

[ ∫ c d dy ] dx ;

c  y  d to ∬ D f  x  dxdy = ∫ a

[ ∫ a b dx ] dy ;

- osi OY D= a  x  b

c  y  d to ∬ D f  x  dxdy = ∫ c

3. Równania sfery, stożka, paraboloidy, walca kołowego wraz z rysunkami tych powierzchni.

Sfera

x 2  y 2  z 2 = R 2

Stożek

 rz h 

x 2  y 2 =

Paraboloida

(obrotowa)

x 2  y 2 − z = a 2

Walec kołowy

x 2  y 2 = r 2

4. Zastosowanie całki podwójnej w geometrii – wzory na |D|, |S|, |V|.

∣ V ∣= ∬ D f  x  dxdy , ∣ D ∣= ∬ D dxdy , ∣ S ∣= ∬ D

 1  ∂ z

∂ x 

 ∂ z

∂ y 



dxdy

5. Współrzędne biegunowe i zamiana zmiennych w całce podwójnej.

Dla danego wektora wodzącego r 0 i amplitudy∈< 0,2) punktu P, jego współrzędne

kartezjańskie określa x = r cos , y = r sin , J = r .

6. Obszar przestrzenny uwarunkowany względem płaszczyzny XOY; interpretacje geometryczne całki

potrójnej.

7. Współrzędne walcowe i sferyczne. Zamiana zmiennych w całce potrójnej.

Punktowi P przypisujemy współrzędne sferyczne:

1. promień wodzący r 0 czyli odległość punktu P od początku układu O

2. długość geograficzną ∈< 0,2)

czyli miarę kąta między rzutem prostokątnym wektora

płaszczyznę XOY, a osią OX

3. szerokość geograficzną ∈<− 1

2  , 1

2 ) czyli miarę kąta między wektorem a osią OZ.

Przejście do układu kartezjańskiego

x = r coscos , y = r cossin , z = r sin

Współrzędne walcowe – tak jak współrzędne biegunowe.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: