Mechanika płynów

Wprowadzenie

Z makroskopowego punktu widzenia (czyli przy założeniu ciągłości ośrodków materialnych z pominięciem ich budowy atomowej lub cząsteczkowej) powszechnie przyjmuje się podział materii na ciała stałe i płyny. Płynem nazywamy substancję, która może płynąć, a zatem pojęcie to obejmuje zarówno ciecze, jak i gazy. Klasyfikacja ta nie jest do końca precyzyjna i kompletna – nie obejmuje np. substancji zwanych szkłami (np. smoła, szkło), które w niskich temperaturach zachowują się podobnie jak izotropowe ciała stałe, lecz w miarę wzrostu temperatury płynnie przechodzą w stan ciekły, bez wyraźnej temperatury topnienia. Nie daje się tu też sklasyfikować plazma (silnie zjonizowany gaz), dlatego nazywa się ją często czwartym stanem skupienia. Również ciekłe kryształy są formą pośrednią pomiędzy stanem krystalicznym a cieczą. Na dzisiejszym wykładzie nie będziemy się zajmować przypadkami nietypowymi, tylko „zwykłymi, przyzwoitymi” płynami. Skupimy się więc przede wszystkim na podstawowych prawach rządzących statycznym i dynamicznym zachowaniem zarówno cieczy jak i gazów. Na początku ograniczymy naszą dyskusję do płynów pozostających w spoczynku, a więc zajmiemy się zagadnieniami statyki płynów.

Statyka płynów

Ciśnienie i gęstość

Na wstępie warto zauważyć istnienie zasadniczej różnicy w działaniu sił na powierzchnię płynu i ciała stałego. Siła działająca na powierzchnię ciała stałego może mieć dowolny kierunek, natomiast dla nieruchomego płynu siła powierzchniowa musi być zawsze prostopadła do jego powierzchni. Jakakolwiek nie znikająca składowa styczna siły przyłożonej do powierzchni płynu powodowałaby  ślizganie się warstw płynu po sobie, a w konsekwencji zmianę kształtu lub płynięcie.

Siły działające na płyn wygodnie jest opisywać za pomocą ciśnienia, zdefiniowanego jako wartość siły prostopadłej działającej na element powierzchni płynu:

                                                                                    (1)

Ciśnienie jest wielkością skalarną. W układzie SI jednostka ciśnienia jest paskal (Pa) – jest to ciśnienie wywierane przez siłę 1 N działającą prostopadle na powierzchnię 1 m2 (1Pa=1N/m2). Innymi jednostkami będącymi w użyciu są:

·         bar   1bar=105 Pa=0,1MPa

·         atmosfera   1 atm=101325 Pa

·         mm słupa rtęci (zwany inaczej torem)  1Tr = 1 mmHg = 1/760 atm = 133,3 Pa

Inną wielkością fizyczną charakteryzującą własności płynów jest ich gęstość. Dla płynów jednorodnych gęstość zdefiniowana jest jako masa płynu podzielona przez objętość (jednostką jest kg/m3 lub g/cm3). Gęstość płynu może zależeć od szeregu czynników takich jak temperatura czy ciśnienie. Dla cieczy, nawet przy stosunkowo dużych zmianach ciśnienia i temperatury, gęstość zmienia się nieznacznie, dlatego określamy je mianem płynów nieściśliwych. Gęstość gazów, natomiast, jest bardzo czuła na zmiany ciśnienia i temperatury (tabela).

Obliczymy teraz ciśnienie panujące wewnątrz płynu. Rozważmy ciecz nieściśliwą znajdującą się w naczyniu, którego dno ma powierzchnię S, na górną powierzchnie cieczy działa ciśnienie zewnętrzne p0, gęstość cieczy wynosi r, zaś h jest wysokością słupa cieczy (rys.). Na dno naczynia działa siła p0S (spowodowana przez ciśnienie zewnętrzne) oraz ciężar słupa cieczy. Całkowita siła wynosi zatem: ,

zaś po podzieleniu obu stron równania przez S otrzymujemy całkowite ciśnienie przy dnie:

                                                                                    (2)

Ciśnienie na głębokości h jest więc równe ciśnieniu wywieranemu na powierzchnie cieczy powiększonemu o ciśnienie słupa cieczy, zwane ciśnieniem hydrostatycznym. Można wykazać, że ciśnienie wywierane na dno naczynia z płynem nie zależy od kształtu naczynia, a jedynie od wysokości słupa cieczy.

Płyny w naczyniach połączonych znajdują się w równowadze, gdy ciśnienia na wspólnym poziomie tego samego płynu w różnych naczyniach są jednakowe (jest to prawo równowagi cieczy w naczyniach połączonych).

Prawo Pascala

Z równania (2) wynika ważny wniosek. Jeśli ciśnienie zewnętrzne p0 wywierane na powierzchnie cieczy nieściśliwej zmieni się o , wówczas ciśnienie w dowolnym punkcie również ulegnie takiej samej zmianie. Wynik ten został ustalony przez Blaise Pascala (XVII w.) i nazywa się prawem Pascala. Prawo to formułuje się zwykle następująco: Ciśnienie zewnętrzne wywierane na zamkniętą ciecz jest przekazywane niezmienione na każdą część płynu oraz na ścianki naczynia.

Prawo to jest słuszne również dla cieczy ściśliwych oraz gazów (w stanie równowagi)

Na prawie Pascala opiera się m.in. działanie pras i podnośników hydraulicznych.

Przykład 1 – Podnośnik hydrauliczny

Samochód unoszony jest za pomocą podnośnika hydraulicznego, składającego się z dwóch tłoków połączonych rurą. Duży tłok ma średnice 1m, a mały ma średnicę 10cm. Jaką siłę F1 należy przyłożyć do małego tłoka, aby podnieść samochód o ciężarze F2. Wykonać obliczenia dla samochodu o masie 1t

Ciśnienie atmosferyczne

Ziemia otoczona jest warstwą atmosfery o grubości ok. 200km. Ciśnienie atmosferyczne w dowolnym punkcie jest  równe ciężarowi słupa powietrza o przekroju jednostkowym, rozciągającego się od tego punktu do najwyższych warstw atmosfery. Z definicji tej wynika wprost, że ciśnienie atmosferyczne maleje więc wraz z wysokością. W ciągu dnia mogą również występować wahania ciśnienia spowodowane dynamicznymi procesami zachodzącymi w atmosferze, związanymi ze stanem pogody.

Metodę pomiaru ciśnienia atmosferycznego, a zarazem pierwszy barometr rtęciowy wynalazł 1643 r. Evangelista Toricelli. Barometr rtęciowy jest przyrządem służącym do pomiaru ciśnienia atmosferycznego. Składa się z długiej szklanej rurki wypełnionej rtęcią, odwróconej do góry dnem nad naczyniem z rtęcią (rys.). Przestrzeń ponad słupem rtęci wypełniona jest parą rtęci, której ciśnienie jest tak małe, że może być pominięte. Ciśnienia w punktach A i B muszą być takie same, ponieważ oba te punkty są na tym samym poziomie. Zgodnie z równaniem (2)

,                                                                                    (3)

natomiast jest równe ciśnieniu atmosferycznemu, a więc

kg/m3Pa

Na poziomie morza słup rtęci w barometrze ma wysokość około 76 cm,  zatem ciśnienie atmosferyczne wynosi około Pa. Ta wartość ciśnienia nosi też nazwę 1 atmosfery fizycznej (atm).

              Gdybyśmy zamiast rtęci wypełnili barometr wodą, której gęstość jest 13,6 razy mniejsza , wysokość słupa wody w rurce wyniosłaby:

m

Jest to zarazem największa wysokość na jaką może być wypompowana woda ze studni za pomocą pompy próżniowej znajdującej się na powierzchni ziemi. Wiele studzien jest jednak znacznie głębszych niż 10m. Jak więc można z nich wydobywać wodę? W takich wypadkach używa się pompy zanurzonej w wodzie na dnie studni. 

Pomiar ciśnienia

Pomiarów ciśnienia dokonuje się przy pomocy przyrządów zwanych manometrami. Najprostszym takim przyrządem jest manometr otwarty. Składa się on z rurki w kształcie litery U zawierającej ciecz, przy czym jedno z ramion jest otwarte (a więc na ciecz działa ciśnienie atmosferyczne p0), podczas gdy drugie połączone jest z układem (zbiornikiem), którego ciśnienie p chcemy zmierzyć (rys.). Z równania (2) otrzymujemy:

.

Jak widać, ciśnienie względne, jest więc proporcjonalne do różnicy wysokości cieczy w obu ramionach manometru.

Prawo Archimedesa

Przypuśćmy, że blok o wysokości d i polu podstawy S zanurzony jest w cieczy o gęstości rc  na głębokości h (rys.). Na górną powierzchnię bloku działa siła skierowana w dół o wartości: , natomiast na dolną powierzchnię bloku działa siła skierowana w górę. Wypadkowa siła działająca na blok ze strony cieczy jest zatem skierowana do góry i ma wartość:

, gdzie jest masą cieczy wypartej przez blok. Wniosek ten stanowi  treść prawa Archimedesa: Na każde ciało w całości lub częściowo zanurzone w płynie działa skierowana pionowo ku górze siła wyporu o wartości równej ciężarowi płynu wypartego przez to ciało.

Siła wyporu przyłożona jest w środku ciężkości płynu przed jego wyparciem (Sw).

Zastanówmy się teraz nad możliwym zachowaniem się ciał zanurzonych w płynie. Na każde takie ciało działa w dół siła ciężkości oraz siła wyporu skierowana do góry. Wartość wypadkowej tych sił wyraża się wzorem:

.                                                                      (4)

Jak widać ze wzoru (4), mogą zachodzić trzy przypadki (rys.):

1. , wówczas ciało tonie
2. , wówczas ciało pływa zanurzone na pewnej głębokości (Siły i się równoważą)
3. , wówczas ciało pływa częściowo zanurzone.

Siły i nie muszą być przyłożone do ciała w tym samym punkcie, ponieważ środek ciężkości ciała (S) pokrywa się z punktem Sw tylko w przypadku jednorodnych ciał całkowicie zanurzonych w płynie. W takim przypadku ciało pozostaje w równowadze w dowolnym położeniu. Jeśli natomiast ciało jest niejednorodne lub tylko częściowo zanurzone, wówczas punkty S i Sw nie pokrywają się. Ciało jest wówczas w stanie równowagi trwałej jedynie w przypadku, gdy punkt S znajduje się dokładnie pod punktem Sw. Wychylenie ciała z położenia równowagi powoduje wtedy powstanie momentu  i przywracającego ciało do położenia początkowego, co ma decydujące znaczenie dla stabilności pływającego ciała. Warto o tym pamiętać podczas rozmieszczania ładunku na statkach.

Podstawy dynamiki płynów

Pojęcia postawowe

Zajmiemy się teraz badaniem ruchu płynów w różnych warunkach zewnętrznych. Będziemy przy tym traktować płyny jako ośrodki ciągłe (podejście makroskopowe). Istnieją dwa sposoby matematycznego opisu takiego zagadnienia:

1. Podejście zaproponowane przez Josepha Louisa Lagrange’a (1736-1813), w którym dzieli się płyn na nieskończenie małe elementy objętości, które można nazwać cząstkami płynu, a następnie „śledzi” się ruch każdej z tych cząstek. Położenie każdej cząstki płynu jednoznacznie określają jej współrzędne x, y  i  z, które są zależne od czasu t oraz położenia tej cząstki w chwili początkowej t0.             

                                                                              (5)

Funkcje takie jak w równaniach (5) służą do opisu ruchu płynu. Podejście Lagrange’a jest prostym uogólnieniem mechaniki punktów materialnych. Stosuje się je głównie przy rozpatrywaniu drgań i fal występujących w płynie.

2. Podejście rozwinięte przez Leonharda Eulera (1707-1783), które w większości przypadków jest bardziej wygodne. Zamiast opisywać ruch każdego elementu płynu, wprowadzamy wielkości takie jak gęstość, prędkość, ciśnienie, będące funkcjami położenia i czasu.

                                                                                   (6)

W ten sposób skupiam...