Wykonując pomiary tych dwu wielkości x i y uzyskujemy pary liczb (xi, yi) i naszym zadaniem jest znaleźć równanie linii prostej (tzn. parametry a i b w równaniu prostej), najlepiej "pasującej" do nich. Niech równanie to będzie miało postać
a "dopasowanie" zgodnie z metodą najmniejszych kwadratów oznacza, że:
gdzie a i b są emiprycznymi współczynnikami regresji liniowej.
Jak łatwo zauważyć, wyrażenie w nawiasie w tym równaniu jest odchyleniem punktu eksperymentalnego (liczonym wzdłuż osi y) od odpowiadającej mu wartości wynikającej z równania prostej. Poszukując ekstremum związanego powyższego równania udowadnia się, że :
gdzie i = 1,2,3,...,n, czyli n jest ilością par punktów .
Na odchylenie standardowe Sa i Sb, będące miarą niepewności pomiarowych współczynników regresji a i b otrzymuje się następujące równania :
Kryterium tego, jak nasze punkty pomiarowe (xi,yi) potwierdzają liniową zależność pomiędzy wielkościami x i y, stanowi wartość tzw. współczynnika korelacji liniowej r. Jego wartość zmienia się w granicach od 1 do 0. Gdy |r| = 1, to dopasowanie jest idealne, wszystkie punkty pomiarowe leżą na prostej. Gdy r = 0, to zależność liniowa pomiędzy xi i yi nie istnieje. W pomiarach fizycznych wartość współczynnika korelacji r jest zwykle większa niż 0,98. Wzór na współczynnik korelacji przdstawia się następująco :
·
równanie prostej regresji y= 0.06433x + 6.822
odchylenie standardowe S(a)= 0.001667
odchylenie standardowe S(b)= 0.04243
wspolczynik korelacji linowej p= 0.9973
równanie prostej regresji y=0.00003548x -0.0001336
odchylenie standardowe S(a)= 1.159 *10-6
odchylenie standardowe S(b)= 0.0295 *10-3
wspolczynik korelacji linowej p= 0.9958
Beretek