Oznaczenia
R(t) - funkcja niezawodności,
F(t) - funkcja zawodności,
ET - oczekiwany czas zdatności,
r(t) - pozostały oczekiwany czas zdatności,
f(t) - gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia,
l(t) - intensywność uszkodzeń,
m - intensywność odnowy.
Wzory ogólne
, ,
Rozkład wykładniczy czasu zdatności elementu
l - intensywność uszkodzeń elementu
Dla elementu: , , ,
- dla rozkładu wykładniczego intensywność uszkodzeń elementu jest stała
- oczekiwany czas zdatności elementu,
- oczekiwany czas zdatności urządzenia,
- pozostały oczekiwany czas zdatności urządzenia,
Rozkład jednostajny czasu zdatności elementu
k - kres górny czasu zdatności elementu
dla rozkładu jednostajnego gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia elementu jest stała
Dla elementu: ,
-
,
- szeregowa
Funkcja niezawodności takiej struktury jest iloczynem funkcji niezawodności poszczególnych elementów:
Intensywność uszkodzeń takiej struktury jest równa sumie intensywności uszkodzeń poszczególnych elementów:
- równoległa
Funkcja zawodności takiej struktury jest iloczynem funkcji zawodności poszczególnych elementów:
Oczekiwany czas zdatności takiego układu jest równy sumie oczekiwanych czasów zdatności poszczególnych elementów:
Tu oczekiwany czas zdatności urządzenia liczymy wg wzoru całkowego. Pozostałe parametry [fu(t), lu(t)] liczymy z podstawowych wzorów.
Używane w zadaniach całki i pochodne
, , ,
Zadanie 1
Urządzenia składa się z dwóch elementów. Uszkodzenie jednego z elementów powoduje uszkodzenie urządzenia. Intensywności uszkodzeń elementów nie zależą od czasu, a ich wartości nie są znane. Intensywność uszkodzeń pierwszego elementu jest dwa razy większa od intensywności uszkodzeń elementu drugiego. Oczekiwany czas zdatności urządzenia jest znany, a jego wartość jest równa 66 [h] 40 [min]. Obliczyć oczekiwane czasy zdatności elementów.
Rozkład czasu zdatności elementu - wykładniczy
Dane: l1 = 2l2, ETu = 66 [h] 40 [min.]
Szukane: ET1 = ?, ET2 = ?
lu = l1 + l2, l1 = 2l2 → lu = 3l2
→ → → ,
l1 = 2l2 → ,
Odp. ET1 = 100 [h], ET2 = 200 [h].
Zadanie 2
Urządzenia składa się z trzech elementów. Uszkodzenie jednego z elementów powoduje uszkodzenie urządzenia. Intensywności uszkodzeń elementów nie zależą od czasu. Intensywność uszkodzeń drugiego elementu jest trzy razy większa od intensywności uszkodzeń elementu pierwszego, a intensywność uszkodzeń elementu trzeciego jest dwa razy większa od intensywności uszkodzeń elementu drugiego. Oczekiwany czas zdatności urządzenia jest równy 10 [h]. Obliczyć oczekiwane czasy zdatności elementów.
Dane: l2 = 3l1, l3 = 2l2, ETu = 10 [h]
Szukane: ET1 = ?, ET2 = ?, ET3 = ?
lu = l1 + l2 + l3, l2 = 3l1, l3 = 2l2 → l3 = 6l1 → lu = l1 + 3l1 + 6l1 = 10l1
l2 = 3l1 → ,
l3 = 6l1 → ,
Odp. ET1 = 100 [h], ET2 = 33 [h] 20 [min.], ET3 = 16 [h] 40 [min.].
Urządzenie o strukturze szeregowej składa się z jednakowych elementów, których intensywności uszkodzeń nie zależą od czasu. Z ilu elementów składa się to urządzenie, jeżeli oczekiwany czas zdatności elementu jest równy 500 [h], a intensywność uszkodzeń urządzenia jest równa 0,02 [1/h].
Dane: lu = 0,02 [1/h], ETe = 500 [h]
Szukane: n = ? (ilość elementów, z których składa się dana struktura niezawodnościowa)
lu = le + le + … + le = n×le
→ → → n = lu×ETe = 10
Odp. Urządzenie składa się z 10 elementów.
Zadanie 4
Urządzenie składa się z dwóch jednakowych elementów, elementu podstawowego i elementu rezerwowego będącego rezerwą obciążoną. Czas zdatności elementu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równym 0. Oczekiwany czas zdatności elementu jest równy120 [h]. Wyznaczyć przedział czasu, w którym gęstość prawdopodobieństwa uszkodzeń urządzenia jest większa od gęstości prawdopodobieństwa uszkodzeń elementu.
Rezerwa obciążona
Rozkład czasu zdatności elementu - jednostajny
Dane: ETe = 120 [h]
Szukane: przedział czasu, dla którego fu(t) > fe(t)
, , k = ?, Ru(t) = ?
→ → k = 240 [h]
, , →
, →
→ →
Odp. t Î (120h, 240h>
Zadanie 5
Urządzenie składa się z trzech jednakowych elementów, elementu podstawowego i dwóch elementów rezerwowych będących rezerwą obciążoną. Czas zdatności elementu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równym 0. Oczekiwany czas zdatności elementu jest równy 100 [h]. Wyznaczyć gęstość prawdopodobieństwa uszkodzeń tego urządzenia.
Dane: ETe = 100 [h]
Szukane: fu(t) = ?
...
Rzedzian8