04 - Astronomiczne układy odniesienia.pdf - Astronomia sferyczna dla drugiego roku - PDF - qazwsxedcrfv998

Rozdział 4

Astronomiczne układy odniesienia

Streszczenie

Jednym z waznych zada n astronomii pozycyjnej jest denicja i realizacja inercjalnego układu

odniesienia. Nie jest to trywialne zagadnienie gdyz usiłujemy osi agn ac cel dokonuj ac obserwacji

w układach poruszaj acych sie w skomplikowany sposób. Ruch ten obejmuje zarówno rotacje osi

jak i przemieszczenie pocz atku układu obserwatora.

Zmiana orientacji osi wi aze sie ze zjawiskami precesji i nutacji. Z powodu precesji luni-solarnej

punkty równonocy przemieszczaj a sie po nieruchomej ekliptyce w tempie około l 50 rocznie. Pre-

cesja planetarna zmienia w ci agu roku o 05

połozenia tych punktów wzgledem nieruchomego

równika. Nutacja wywołuje skomplikowane okresowe ruchy bieguna swiata o amplitudzue do-

chodz acej do 15 .

Ruch srodka układu odniesienia objawia sie paralaktycznym przemieszczeniem połoze n ciał na

sferze niebieskiej. Dodatkowo, połozenia ciał ulegaj a zmianom wynikaj acym ze zjawiska aber-

racji oraz ruchów własnych.

Realizacja układu inercjalnego moze byc dokonana na dwa sposoby. Pierwszy to podejscie dy-

namiczne, w którym układ realizowany jest za posrednictwem teorii ruchu ciał Układu Plane-

tarnego. Sposób drugi polega na podejsciu kinematycznym, w którym układ realizowany jest za

posrednictwem obserwacji dalekich obiektów pozagalaktycznych.

Obecnie jako najlepsze przyblizenie układu inercjalnego stosowany jest układ równikowy o

płaszczyznie równika i punkcie równonocy odpowiadaj acym epoce J2000. Srodek tego układu

odniesienia znajduje sie w barycentrum mas Układu Planetarnego. Realizacja takiego układu od-

niesienia mozliwa jest za posrednictwem absolutnych obserwacji połoze n gwiazd lub radiowych

obserwacji pozagalaktycznych radiozródeł.

Z oczywistych powodów obserwacje ciał niebieskich nie mog a byc wykonane w tym układzie.

Dlatego rezultaty obserwacji np. planet, przed wykorzystaniem ich w teoriach ruchu, musz a byc

skorygowane — zredukowane — do układu inercjalnego. Taka redukcja polega na usunieciu z

tzw. połoze n obserwowanych wpływów: refrakcji atmosferycznej, paralaksy dobowej i rocznej,

aberracji dobowej i rocznej, precesji i nutacji, tak by otrzymac tzw.

połozenia geometryczne,

odniesione do standardowego inercjalnego układu odniesienia.

Słowa kluczowe: Układ inercjalny, układ równikowy sredni i prawdziwy, barycentryczny układ

odniesienia, precesja luni-solarna, precesja planetarna, paralaksa, aberracja, połozenia geome-

tryczne, astrometryczne, widome.

Astronomiczne układy odniesienia

4.1

Układ inercjalny

Astrometria dostarcza innym działom astronomii podstawowych danych obserwacyjnych, które

wykorzystywane s a np. w mechanice nieba do werykacji teorii ruchu ciał Układu Słonecznego.

W dynamice newtonowskiej podstawow a role pełni a trzy prawa Newton’a:

1. Ciało nie poddane działaniu zadnej siły zewnetrznej porusza sie ze stał a szybkosci a po linii

prostej.

2. Szybkosc zmiany pedu ciała jest równa zewnetrznej sile przyłozonej do tego ciała.

3. Akcja i reakcja s a równe i przeciwnie skierowane, co odnosi sie np.

do sił działaj acych

miedzy dwoma ciałami.

Prawa te s a jednak stosowalne do rezultatów obserwacji połoze n ciał wykonanych w układzie

współrzednych sferycznych, o którym wiedzielibysmy, ze jest inercjalnym układem odniesienia. A

co to tak naprawde oznacza? Jaka jest denicja układu inercjalnego? W jaki sposób ma astronom

taki układ realizowac? Nie s a to proste pytania, niew atpliwie jest jedynie to, ze układ inercjalny

mozna zdeniowac jako taki, do którego stosuj a sie prawa Newtona.

Na pierwszy rzut oka mozna by s adzic, ze układem inercjalnym jest układ równikowy, a przy-

najmniej, ze jest jego dobrym przyblizeniem, na pewno lepszym niz układ godzinny obracaj acy

sie raz na 24 godziny wzgledem tła gwiazdowego. Tego rodzaju os ad to jednak zbyt mało by

uwazac problem za rozwi azany, 1 bowiem nie wydaje sie by istniały same z siebie powody, dla

których układ inercjalny nie moze rotowac wzgledem gwiazd stałych. Chociaz byłoby to bardzo

dziwne gdyby okazało sie, ze układ godzinny jest inercjalny a równikowy nie. W samej rzeczy

istnieje prosty sposób by pokazac, ze układ godzinny realizowany na powierzchni Ziemi nie jest

inercjalnym układem odniesienia. Wahadło Foucault’a zmienia w takim układzie płaszczyzne wa-

ha n. Ale taki przyrz ad nie wykaze, ze układ odniesienia wyznaczony za pomoc a tła gwiazdowego

jest rzeczywiscie inercjalny, co najwyzej pokaze, ze jest tak w przyblizeniu.

W ubiegłym stuleciu lozof Ernst Mach sformułował teze, któr a Einstein nazwał zasad a

Macha 2 . Mach twierdził, ze bezwładnosc danego ciała (masa — miara bezwładnosci) nie jest

jego ”wewnetrzn a” własnosci a, lecz wynikiem oddziaływa n miedzy tym ciałem a wszystkimi in-

nymi wypełniaj acymi Wszechswiat. Jesli ta zasada jest poprawna, inercjalny układ odniesienia nie

moze obracac sie wzgledem Wszechswiata jako całosci. Mimo ci agłych wokół niej kontrowersji,

przyjmiemy tu zasade Macha jako poprawn a.

Zatem mozemy deniowac inercjalny układ odniesienia na dwa sposoby, mianowicie:

układ inercjalny to taki układ, w którym mozna stosowac prawa Newtona, (podejscie dy-

namiczne),

układ odniesienia inercjalny to taki układ, który jest nieruchomy wzgledem Wszechswiata

jako całosci, (podejscie kinematyczne).

Podstawowym układem współrzednych stosowanym w astrometrii jest układ równikowy, ”oczyszc-

zony” z niedoskonałosci do takiego poziomu, aby zastepował inercjalny układ odniesienia tak

dokładnie jak to jest tylko mozliwe. Nakłada to na układ równikowy dwa warunki:

1. układ odniesienia nie moze obracac sie wzgledem Wszechswiata jako całosci,

2. pocz atek układu odniesienia nie moze poruszac sie ruchem przyspieszonym.

W dalszej czesci wykładu rozwazymy w jaki sposób mozna tym warunkom zadoscuczynic.

1 Oczywiscie astronomowie tez mog a posłuzyc sie, jakze czesto stosowan a w problemach natury politycznej, metod a

demokratycznego głosowania. Niestety, jak dot ad nie wpadli na ten uwalniaj acy od myslenia i odpowiedzialnosci spoób

rozwi azywania problemów.

2 Nieco wiecej na temat zasady Macha mozna znalezc w [10], [11].

4.2 Dygresja: układ inercjalny w wielkim swiecie

4.2

Dygresja: układ inercjalny w wielkim swiecie

Oto co na temat układu inercjalnego mozna odnalezc w Wielkiej Internetowej Encyklopedii Mul-

timedialnej.

Układ odniesienia, układ współrzednych uzupełniony o pomiar czasu. Dobór tego pier-

wszego zalezy od rodzaju opisywanego zagadnienia: na płaszczyznie i w przestrzeni trójwymi-

arowej stosuje sie np. zwykle odpowiedni typ układu współrzednych kartezja nskich, a w

zagadnieniach, w których mamy do czynienia z symetri a sferyczn a, układ współrzednych

sferycznych.

W mechanice klasycznej przejscie od opisu zjawiska w jednym układzie odniesienia do

jego opisu w drugim okreslone jest przez przekształcenie Galileusza, w zyce współczesnej

analogiczn a role pełni transformacja Lorentza.

Opis zjawisk zycznych w ogólnosci zalezy od wyboru układu odniesienia (niezmiennic-

zosc). Wyróznia sie inercjalne układy odniesienia, w których spełnione s a wszystkie zasady

dynamiki Newtona, oraz nie spełniaj ace I i II zasady tejze dynamiki, układy odniesienia

nieinercjalne, gdzie działaj a pozorne siły bezwładnosci.

Inercjalny układ odniesienia, układ odniesienia nalez acy do wyróznionej klasy układów, w

których spełniona jest pierwsza zasada dynamiki Newtona.

Istnienie inercjalnego układu odniesienia jest postulatem mechaniki klasycznej. Wszys-

tkie prawa zyki maj a tak a sam a postac w kazdym inercjalnym układzie odniesienia, co

osi agamy stosuj ac przekształcenie Galileusza czy transformacje Lorentza.

zasada wzglednosci Galileusza to zasada głosz aca, ze prawa ruchu s a identyczne we wszys-

tkich inercjalnych układach odniesienia, tj. ze nie istnieje wyrózniony inercjalny układ

odniesienia. Zasada ta obowi azuje w mechanice klasycznej.

transformacja Lorentza to przekształcenie matematyczne opisuj ace transformacje wielkosci

zycznych w czasoprzestrzeni czterowymiarowej przy przechodzeniu od jednego inercjal-

nego układu odniesienia, okreslonego przez współrzedne przestrzenne i współrzedn a

czasow a , do drugiego, okreslonego przez współrzedne oraz .

W najprostszym przypadku, jesli układ

porusza sie jednostajnie w kierunku

osi z predkosci a , to transformacja Lorentza ma postac:

gdzie = , a jest predkosci a swiatła w prózni.

Z transformacji Lorentza wynikaj a wszystkie efekty kinematyczne szczególnej teorii wzgled-

nosci, takie jak:

– reguła sumowania sie predkosci prowadz aca do niemoznosci uzyskania predkosci wiek-

szej od predkosci swiatła,

– wzglednosc pojecia równoczesnosci,

– skrócenie Lorentza-Fitzgeralda,

– spowolnienie biegu poruszaj acych sie zegarów.

Równania transformacji Lorentza zostały opracowane ponad 10 lat przed sformułowaniem

przez A. Einsteina szczególnej teorii wzglednosci (zostały wywnioskowane z równa n Maxwella),

były jednak wówczas traktowane jako formalne równania matematyczne, bez konsekwencji

zycznych. Transformacja Lorentza uzupełniona obrotami w przestrzeni trójwymiarowej

stanowi tzw. grupe przekształce n Poincarego.

Astronomiczne układy odniesienia

Dla małych predkosci , rozwijaj ac w szeregi potegowe wzory opisuj ace transformacje

Lorentza, przy zaniedbaniu wyzszych wyrazów, otrzymuje sie klasyczne przekształcenie

Galileusza. Transformacja Lorentza równowazna jest geometrycznie obrotowi w czterowymi-

arowej, zespolonej przestrzeni Minkowskiego o rzeczywistych osiach , oraz urojonej

osi czasowej (zmienna czasowa ma wówczas postac , gdzie — jednostka urojona, —

predkosc swiatła w prózni).

W transformacji Lorentza niezmienn a wielkosci a jest tzw. interwał czasoprzestrzenny okreslony

jako: 2

. Transformacji Lorentza podlegaj a inne wiel-

kosci czterowektorowe, takie jak np. czterowektor energii-pedu. Wówczas do powyzszych

wzorów podstawia sie zamiast czasu energie relatywistyczn a cz astki podzielon a przez , a

składowe wektora połozenia zastepuje sie składowymi pedu. Wielkosci tensorowe, spinorowe,

itp. podlegaj a ogólnemu przekształceniu Lorentza, wyrazonemu bardziej złozonym ukła-

dem równa n.

tymczasem w ogólnej teoria wzglednosci nie ma powodów by mówic o szczególnej roli

inercjalnego układu odniesienia.

4.3

Układ inercjalny a precesja, nutacja iruch własny gwiazd

Precesja i nutacja

Rozwazmy rysunek 4.1, przedstawiaj acy ekliptyke, równik oraz punkt równonocy wiosennej .

Układ współrzednych równikowych jest w pełni zdeniowany jesli ktos dysponuje tymi dwoma

kołami wielkimi, lub co jest równowazne, północnym biegunem swiata , oraz północnym biegunem

ekliptyki . To samo odnosi sie do układu współrzednych ekliptycznych. Wybierzmy gwiazde

o współrzednych równikowych (Æ) i ekliptycznych () . Wóczas bokami trójk ata sferycznego

s a

(4.1)

Poniewaz i s a k atami prostymi, dwa k aty sferyczne trójk ata wynosz a

(4.2)

Zaz adajmy teraz by srodek sfery C z rysunku 11.1 był pocz atkiem inercjalnego układu odniesienia.

Wzgledem tego układu bedziemy badali czy ma miejsce ruch punktów . W wykładzie

poprzednim milcz aco zakładalismy o tych punktach, ze s a nieruchome, co jest dobrym pierwszym

przyblizeniem ale niczym wiecej. Bowiem kazdy z tych punktów przemieszcza sie na sferze w

rezultacie róznych przyczyn.

Przemieszczenia punktu s a najwieksze, odbywaj a sie w efekcie tzw. luni-solarnej precesji

i nutacji. Przemieszczenia punktu okreslane s a mianem precesji planetarnej , natomiast prze-

suniecia na sferze samej gwiazdy nazywamy ruchem własnym . Zmiana połozenia kazdego

z tych punktów powoduje zmiane współrzednych gwiazdy, zarówno równikowych jak i eklipty-

cznych.

Os swiata (odcinek ) z denicji jest zawsze równoległa do ziemskiej osi rotacji, okresla

zatem kierunek wektora wirowego momentu pedu Ziemi. Na Ziemie oddziaływuj a grawitacyjnie

Sło nce, Ksiezyc i planety. Oddziaływanie grawitacyjne pomiedzy idealnymi kulami nie powoduje

powstania pary sił. Dlatego w pierwszym przyblizeniu, wektor momentu pedu Ziemi jest stały co

poci aga brak zmian kierunku osi swiata, a wiec w takim przypadku punkt na sferze niebieskiej

nie zmienia swego połozenia.

Jednak w rezultacie ruchu wirowego bryła ziemska uległa niewielkiemu spłaszczeniu, co ob-

jawia sie wybrzuszeniami w okolicach równikowych. W konsekwencji, Sło nce i Ksiezyc swym

4.3 Układ inercjalny a precesja, nutacja iruch własny gwiazd

a 1

K 1

ekliptyki

rownik

g 1

E 1

Rysunek 4.1: Precesja luni-solarna powoduje zmiane połozenia bieguna swiata z miejsca do

niejsca 1 , biegun ekliptyki nieruchomy.

oddziaływaniem na zdeformowan a Ziemie indukuj a niezrównowazon a siłe, która przedstawiona

w formie pary sił skrecaj acych oddziaływuje na ziemski wektor momentu pedu; w konsekwancji

dochodzi do powolnego przemieszczania sie punktu na sferze niebieskiej. Moment pary sił

skrecaj acych jest wprost proporcjonalna do masy przyci agaj acego ciała a odwrotnie proporcjon-

alna do trzeciej potegi odległosci (nie kwadratu). Dlatego wpływ Ksiezyca jest dwa razy silniejsze

od oddziaływania słonecznego. Natomiast najwieksze pary sił od planet, od Jowisza i Wenus s a

o czynnik 10 5

słabsze i w przypadku osi obrotu Ziemi najczesciej bywaj a pomijane. Wypadkowa

para sił skrecaj acych od Ksiezyca i Sło nca nie jest stała, zmienia sie wraz ze zmianami w kon-

guracji i wzajemnej odległosci tych ciał.

I własnie dlatego ruch bieguna na sferze jest tak

bardzo skomplikowany. Dla wygody rozdzielono go na dwie czesci: czesc usrednion a na długim

interwale czasu, inaczej czesc wiekow a zwan a precesj a luni-solarn a, oraz na okresowe oscylacje

wokół pozycji sredniej zwane nutacj a . Na rysunku 4.1, ruch precesyjny bieguna wykreslono lini a

przerywan a 1 , natomiast linia falista reprezentuje faktyczny ruch bieguna uwzgledniaj acy nu-

tacje.

Przemieszczenie nutacyjne bieguna jest rzedu 15 i zostało odkryte w ubiegłym stuleciu przez

Anglika Bradley’a, który poprawnie zinterpretował drobne okresowe zmiany deklinacji gwiazd

jakie zauwazył podczas obserwacji południkowych.

Efekt precesji luni-solarnej jest wiekszy od nutacyjnego, a co wazniejsze kumuluje sie w mi-

are upływu czasu. Precesje znali juz starozytni Grecy. Dwa wieki przed narodzinami Chrystusa

Hiparchus z Rodos porównywał swoje obserwacje gwiazd z wykonanymi 150 lat wczesniej. Za-

uwazył, ze szerokosci ekliptyczne gwiazd nie zmieniły sie podczas gdy w ich długosciach była

wyrazna róznica, odpowiadaj aca przyrostowi około 50 rocznie.

Niech oznacza roczne tempo precesji luni-solarnej. Zatem jesli punkt na rysunku 11.1

odpowiada połozeniu bieguna swiata w epoce pocz atkowej, a 1 połozeniu bieguna lat pózniej,

to k at sferyczny 1

, to nachylenie ekliptyki do równika

nie nie uległo w tym czasie zadnym zmianom. Jesli teraz ( 1 1 ) bed a współrzednymi gwiazdy

. Dalej, skoro 1

w epoce pózniejszej, to z równa n 4.1 i 4.2 mamy

A poniewaz 1 = 1 , mozemy napisac

(4.3)

Skoro w omawianym zjawisku punkty s a nieruchome to odległosc nie zmieniła sie,

a wiec nie zmieniła sie szerokosc ekliptyczna gwiazdy. Odpowiednie zmiany we współrzednych

04 - Astronomiczne układy odniesienia.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: