Lab61.rtf

Cel ćwiczenia:

Obserwacja drgań tłumionych i przebiegów aperiodycznych w obwodzie LCR. Pomiar i interpretacja parametrów opisujących obserwowane przebiegi napięcia U(t). Badanie obwodu LCR jako modelowej realizacji fizycznej liniowego równania różniczkowego drugiego stopnia.

Wprowadzenie:

              Częstość drgań elektromagnetycznych w obwodzie złożonym z idealnej indukcyjności L i pojemności C dana jest wzorem:

Rzeczywisty obwód posiada niezerową rezystancję R, na który składa się rezystancja cewki i dodatkowej opornicy. Zachowanie obwodu, nazwanego obwodem LCR, opisuje równanie różniczkowe:

wynikające z II prawa Kirchoffa. Trzy składniki równania określają wartości napięć na indukcyjności L, rezystancji R i pojemności C. Symbol q oznacza zależny od czasu t ładunek kondensatora.

Równanie to można dla funkcji U(t) zapisać w postaci:

Ogólne rozwiązanie takiego równania jest postaci:

W szczególności obserwujemy tylko jedną funkcję U(t), którą uzyskujemy przez taki dobór stałych C1 i C2, by spełnione były warunki początkowe postaci:

Pierwszy warunek to początkowa wartość napięcia kondensatora U0 (w chwili załączenia wyłącznika). Drugi warunek dotyczy początkowej wartości prądu w obwodzie.

Podstawienie całki ogólnej do równania różniczkowego pozwala stwierdzić, że współczynniki a1 i a2 są pierwiastkami równania charakterystycznego

które jest równaniem algebraicznym stopnia drugiego. .W zależności od wartości wyróżnika D=R2–4L/C – ujemnej, dodatniej lub równej zeru – wyróżnić można trzy jakościowo różne rozwiązania równania różniczkowego. Wygodnie jest wprowadzić krytyczny opór

wtedy te przypadki odpowiadają rezystancji obwodu mniejszej, równej i większej od Rc.

R<Rc –> drgania tłumione

Ujemna wartość wyróżnika (D<0) równania charakterystycznego oznacza, że jego pierwiastki są parą liczb zespolonych sprzężonych. Podstawiając a1= –b+iw i a2= –b–iw otrzymujemy:

Stałą b nazywamy współczynnikiem tłumienia, jaj odwrotność oznacza czas, w którym amplituda maleje o czynnik 1/e.

Wartości stałych b i w są zależne od parametrów L, C i R obwodu:

R<Rc –>przebieg aperiodyczny krytyczny

Równanie charakterystyczne ma tu pierwiastek podwójny –a1,2 = b = R/(2L). Całką szczególną jest tu funkcja:

R>Rc –>przebieg aperiodyczny krytyczny

W tym przypadku równanie charakterystyczne ma dwa pierwiastki rzeczywiste, Całka szczególna ma więc postać:

Stałe b1 i b2 oznaczają dwie różne stałe tłumienia

Literatura:

1.      Resnick R., Halliday D.:  Fizyka

2.      Szczeniowski S.: Fizyka Doświadczalna t.3