Matematyjka-Dzialania na macierzach.pdf

(144 KB) Pobierz
667602799 UNPDF
1 Elementy algebry liniowej
1.1 Dzialania na macierzach
Denicja: Macierz o wymiarach mn to prostok atna tablica liczb
2
4 a 11 ::: a 1n
3
A =
::: ::: :::
a m1 ::: a mn
5
zlozona z m wierszy i n kolumn. Mowimy, ze dwie macierze
2
4 a 11 ::: a 1n
3
2
4 b 11 ::: b 1n
3
A =
::: ::: :::
a m1 ::: a mn
5
i B =
::: ::: :::
b m1 ::: b mn
5
s a rowne, jesli a ij = b ij dla wszystkich i = 1; 2;:::;m i j = 1; 2;:::;n
Przyklad:
"
1 2 3
4 5 6
#
"
1 5 0
0 2 4
#
A =
; B =
;
2
4 1 4
3
2
4 1 0
3
C =
2 5
3 6
5
; D =
5 2
0 4
5
2
4 0 0
3
5
"
0 0 0
0 0 0
#
=
0 0
0 0
; =
macierze zerowe;
"
1 0
0 1
#
2
4 1 0 0
3
5
I =
; I =
0 1 0
0 0 1
macierze jednostkowe:
"
#
2
4 a 0 0
3
a 0
0 d
;
0 b 0
0 0 c
5
macierze diagonalne;
"
#
"
#
2
4 a 0 0
3
2
4 a b c
3
a b
0 d
a 0
c d
;
;
b c 0
d e f
5
0 d e
0 0 f
5
- macierze trojk atne:
Macierze ktore maj a tylko jedn a kolumn e i m wierszy nazywamy wektorami (kolum-
nowymi).
1
Przyklad:
2
4 1
3
5
"
1
2
#
2
4 0
3
5
x =
2
3
; y =
; 0 =
0
0
wektory kolumnowe
Macierze ktore maj a tylko jeden wiersz i n kolumn nazywamy wektorami (wierszo-
wymi).
Przyklad:
h
i
h
i
; 0 =
h
i
x =
1 2 3
; y =
1 2
0 0 0
wektory wierszowe
Liczby b edziemy rowniez nazywac skalarami.
Dodawanie i odejmowanie macierzy
Dwie macierze dodajemy (odejmujemy) dodaj ac (odejmuj ac) odpowiadaj ace sobie
wyrazy. Stad wynika, ze dodawanie jest wykonalne wtedy i tylko wtedy, gdy macie-
rze maj a te same wymiary.
Przyklad:
"
#
"
#
"
#
1 2 3
4 5 6
1 5 0
0 2 4
0 7 3
4 3 2
A + B =
+
=
;
C D =
2
4 1 4
2 5
3 6
3
5
2
4 1 0
5 2
0 4
3
5
=
2
4
2 4
3 7
3 10
3
5
:
2
4 1 4
3
2
4 0 0
3
2
4 1 4
3
C + =
2 5
3 6
5
+
0 0
0 0
5
=
2 5
3 6
5
:
Dzialanie
"
#
2
4 1 0
3
1 2 3
4 5 6
A + D =
+
5 2
0 4
5
nie jest wykonalne, bo macierze A i D maj a rozne wymiary.
Ogolnie
2
4 a 11 ::: a 1k
3
2
4 b 11 ::: b 1n
3
2
a 11 b 11 ::: a 1n b 1n
::: ::: :::
a m1 b m1 ::: a mn b mn
3
::: ::: :::
a m1 ::: a mk
5
::: ::: :::
b k1 ::: b kn
5
=
4
5
:
2
Mnozenie przez skalar
Aby pomnozyc macierz przez skalar, trzeba pomnozyc kazdy wyraz macierzy przez
ten skalar.
Przyklad:
"
1 2 3
4 5 6
#
"
3 6 9
12 15 18
#
3A = 3
=
2
4 1 4
3
2
4 2 8
3
2C = 2
2 5
3 6
5
=
4 10
6 12
5
:
Ogolnie
2
4 a 11 ::: a 1k
3
2
4 ca 11 ::: ca 1n
3
c
::: ::: :::
a m1 ::: a mk
5
=
::: ::: :::
ca m1 ::: ca mn
5
Transpozycja
Denicja: Macierz a transponowan a macierzy M jest macierz M T otrzymana z M
przez utworzenie wierszy z kolumn (co jest rownowazne z przeksztalceniem wierszy
w kolumny). Macierz, ktora jest rowna swojej macierzy transponowanej, nazywamy
macierz a symetryczn a.
Przyklad:
"
#
2
4 1 4
3
T
1 2 3
4 5 6
5
A T =
=
2 5
3 6
= C;
2
4 1 0
3
T
"
#
1 5 0
0 2 4
D T =
5 2
0 4
5
=
= B:
"
#
"
#
2
1 2 5
2 3 0
5 0 5
3
T
2
1 2 5
2 3 0
5 0 5
3
T
1 2
2 1
1 2
2 1
4
5
4
5
=
;
=
macierze symetryczne:
Wynikiem transponowania macierzy transponowanej jest macierz wyjsciowa, tzn.:
(M T ) T = M:
3
Mnozenie macierzy
Jezeli R jest macierz a o wymiarach mn , a S jest macierz a o wymiarach np, to
iloczyn RS jest macierz a o wymiarach mp. Mnozenie jest wykonalne tylko wtedy,
gdy liczba kolumn pierwszej macierzy jest rowna liczbie wierszy drugiej macierzy. Me-
tod e obliczania iloczynu macierzy najpierw pokazemy na przykladach.
Przyklad:
"
4 1 0
3
5
1 2 3
4 5 6
AD =
5 2
0 4
=
"
1 (1) + 2 5 + 3 0 1 0 + 2 (2) + 3 (4)
4 (1) + 5 5 + 6 0 4 0 + 5 (2) + 6 (4)
#
"
9 16
21 34
#
=
;
"
1 5 0
0 2 4
4 1 4
3
5
"
9 21
16 34
#
BC =
2 5
3 6
=
:
Zauwazmy, ze (AD) T = BC = D T A T .
2
4 1 4
3
"
#
2
4 1 3 16
3
1 5 0
0 2 4
CB =
2 5
3 6
5
=
2 0 20
3 3 24
5
;
"
4 1 0 0
3
"
#
1 2 3
4 5 6
1 2 3
4 5 6
AI =
0 1 0
0 0 1
5
=
= A;
"
1 0
0 1
#"
1 2 3
4 5 6
#
"
1 2 3
4 5 6
#
IA =
=
:
Ogolnie, jesli
2
4 a 11 ::: a 1k
3
2
4 b 11 ::: b 1n
3
2
4 c 11 ::: c 1n
3
::: ::: :::
a m1 ::: a mk
5
::: ::: :::
b k1 ::: b kn
5
=
::: ::: :::
c m1 ::: c mn
5
to
c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ik b kj :
Twierdzenie: (Wlasnosci dzialan na macierzach)
Jesli P; R; S s a macierzami i dzialania s a wykonalne, to zachodz a nast epuj ace
rownosci:
4
# 2
# 2
# 2
667602799.001.png
1. P + (R + S) = (P + R) + S 5. IR = R oraz RI = R
2. P + R = R + P: 6. R = oraz R =
3. P(RS) = (PR)S 7. (R + S) T = R T + S T
4. + R = R i R + = R 8. (RS) T = S T R T
Uwaga: Mnozenie macierzy nie jest przemienne. Na przyklad
"
2 7
3 4
#"
0 1
1 0
#
"
7 2
4 3
# "
0 1
1 0
#"
2 7
3 4
#
"
3 4
2 7
#
=
=
:
1.2 Wyznacznik macierzy
Denicja: Wyznacznikiem macierzy A = [a] o wymiarach 1 1 jest liczba a.
"
#
a b
c d
Denicja: Wyznacznikiem macierzy A =
o wymiarach 2 2 nazywamy
a b
.
wyrazenie adbc. Wyznacznik macierzy A oznaczamy rowniez
c d
Wyznacznik macierzy A oznaczamy det A lub jAj.
Niech A ij oznacza macierz, ktora powstaje z macierzy A przez skreslenie i-tego
wiersza i j-tej kolumny.
2
4 a 11 a 12 a 13
3
Wyznacznikiem macierzy A =
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
5
o wymiarach 3 3 jest
det(A) = a 11
a 22 a 23
a 32 a 33
a 12
a 21 a 23
a 31 a 33
+ a 13
a 21 a 22
a 31 a 32
=
a 11 det(A 11 ) a 12 det(A 12 ) + a 13 det(A 13 ):
Ogolnie wyznacznikiem macierzy nn jest
det(A) = a 11 det(A 11 ) a 12 det(A 12 ) + + (1) n+1 a 1n det(A 1n ):
Przyklad:
2
4 1 2 3
3
5 6
2
4 6
+ 3
4 5
=
det(
4 5 6
7 8 9
5
) = 1
8 9
7 9
7 8
(45 48) 2(36 42) + 3(32 35) = 3 + 12 9 = 0
Schemat Sarrusa
(Mozna stosowac tylko do macierzy 3 3)
5
667602799.002.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin