Kręt względem osi równy jest rzutowi na tę oś krętu Ko względem dowolnego punktu O leżącego na tej osi.
Rysunek!!!
Z powyższych wzorów wynika, że określają one nie tylko rzuty krętu na osie x, y, z, ale równocześnie kręty punktu względem osi x, y ,z .
Obliczanie pochodnej krętu względem czasu:
dK®o/dt = d/dt(r® x mV®) = dr/dt x mV® + r® x d/dt(mV®) = V® x mV® + r® x SPi® = S(r® x Pi®)=SMio®
Zachowanie krętu:
dKo®/dt = SMio® np. dKz/dt = SMz
jeżeli:
SMio® = 0 à Ko® = const lub SMz = 0 à Kz® = const --- Zasada zachowania krętu
Zad!!!
Zasada równoważności energii kinetycznej i pracy:
ma® = P®
mat = m(dv/dt) = Pt / *dt
mdv = Pt dt = Pcosa dt / *v
mvdv = Pcosa vdt vdt = ds.
mvdv = Pcosa ds.
Iz = òm h2 dm = òm (x2+y2)dm = òm x2dm + òm y2dm ; r®(x, y, z), r2 = x2 + y2 + z2 , h2 = x2 + y2
Iz = IPzx + IPzy , Ix = IPxy + IPxz , Iy = IPyz + IPyx
Io = òm r2 dm= òm (x2 + y2 + z2) dm = òm x2 dm + òm y2 dm + òm z2 dm
Io = IPxy + IPyz + IPzx ; Io = ½ (Ix + Iy + Iz)
4. Momenty bezwładności względem osi przecinajacych się w jednym punkcie. Elipsoida bezwładności.
r® (x, y, z); |e®| = e = 1; e® (cosa, cosb, cosg)
IL= òm h2 dm ; h = r sinj = r2 – r2 cos2j ; r2 = x2 + y2 + z2 ; rcosj = recosj = r® * e® = xocsa + ycosb +zcosg
IL= Ixcos2a + Iycos2b + Izcos2g - 2Ixycosacosb - 2Iyzcosbcosg - 2Izxcosgcosa
W przypadku gdy na poruszający się punkt materialny o sił o potencjale V(x,y,z) działają inne siły (tarcia, oporu powietrza), to należy w równaniu (1) uwzględnić pracę tych sił. Oznaczając Lstr pracę sił nie mających potencjału równanie (1) przyjmie postać.
T1 + V1 + Lstr = T2 + V2 Lstr < 0 T1 + V1 > T2 + V2
Mamy do czynienia ze stratą (dysypacją) energii mechanicznej tj. część energii mechanicznej zamienia się w inną formę np. w energię cieplną.
GEOMETRIA MAS:
1.Środek masy.
Środkiem masy układu punktów materialnych nazywamy taki punkt S, którego promień i wektor rc® spełniają zależność:
rc® = S1nmi ri®/ S1n mi rc® = (xc, yc, zc) r®i = (xi, yi, zi)
Korzystając z powyższej zależności wyliczamy xc, yc, zc wstawiając za rc xc a za ri xi i tak samo z y i z.
Sumy występujące w licznikach powyższych wzorów noszą nazwę momentów statycznych
Popędem lub impulsem siły P w przedziale czasu od t0 do t nazywamy wyrażenie:
S®=òt0t P®dt gdy p®= const à S®=P®(t-t0)
dB®/dt=P® /*dt
dB=P®*dt
mV®-mV0®=òt0t P®dt
Przyrost geometryczny pędu punktu materialnego w skończonym przedziale czasu równy jest impulsowi sił działających na ten punkt w tym samym czasie.
2. Zasada zachowania krętu.
Krętem (lub momentem pędu) punktu materialnego względem dowolnego nieruchomego punktu O nazywamy iloczyn wektorowy promienia wektora r® poprowadzonego z nieruchomego punktu O do rozpatrywanego punktu i momentu pędu.
i® j® k®
Ko= x y z
mVx mVy mVz
K®ox= m(yVz – zVy)
K®oy= m(zVx – xVz)
K®oz= m(xVy – yVx)
Gdy znane są momenty bezwładności i momenty odśrodkowe względem osi układu współrzędnych, to możemy znaleźć moment bezwładności względem dowolnej osi tworzącej kąty a, b, g z osiami x, y, z.
Jak zmienia się moment bezwładności względem osi L gdy oś ta zmienia swój kierunek stale przechodząc przez punkt C.
X/CD = cosa = x/ k/ ÖIl
cosa = xÖIl / k
Y/OD = cosb i przekształcenia takie same jak powyżej. To samo jeszcze dla z z kątem g
Ix x2 + Iy y2 + Iz z2 – 2 Ixy xy – 2Iyz yz – 2Izx zx = k2 (a)
Równanie (a) jest równaniem elipsoidy obrotowej. Punkt D porusza się więc po powierzchni tej elipsoidy.
Jeżeli dokonamy transformacji tego układu na układ: Oxyz à Oxhz , którego osie pokrywają się z osiami symetrii elipsoidy, to równanie powierzchni takiej ma postać:
Ix x2 + Ih h2 + Iz z2 = 0 ; Ixh = Ihz = Izx = 0
Takie trzy wzajemnie prostopadłe osie x, h, z poprowadzone z punktu O względem których momenty odśrodkowe są równe zero nazywamy głównymi osiami bezwładności.
Jeśli punkt C jest dodatkowo środkiem masy ciała, to osie te nazywamy głównymi, centralnymi osiami bezwładności.
materialne.
Io = limn®0 S1n Dmi * roi2 = òm ro2 dm i analogicznie jeżeli chodzi o prostą i płaszczyznę wstawiamy za o L i pi
Dmi®0
Są to masowe momenty bezwładności.
Wyróżniamy również geometryczne momenty bezwładności.
Jeżeli ciało jest jednorodne tzn. ma stałą gęstość m=const
...
mechanicus