5.6. Równania Eulera.
Moment sił działających na bryłę względem środka układu inercjalnego
XYZ jest:
Wygodniej jest prowadzić obliczenia względem układu sztywno związanego z ciałem – układu nieinercjalnego X’Y’Z’. Transformacja wektora przy przejściu z układu inercjalnego do układu obracającego się z prędkością kątową w:
gdzie
Wektor jest więc rozpatrywany w układzie wirującym.
Zatem równanie wektorowe na moment siły możemy zapisać dla trzech składowych:
Gdy Mx= My= Mz= 0 , to ciało wykonuje swobodny ruch obrotowy (precesja swobodna).
Kula.
Ixx= Iyy= Izz wówczas równania Eulera są następujące:
Skoro więc to
czyli np. Ixxwx= const a zatem wx= const czyli ogólnie
Obręcz.
Cienka obręcz o promieniu R.
Ixx= Iyy
Izz=mR2
równania Eulera
dla osi X :
dla osi Y :
dla osi Z :
co możemy odpowiednio zapisać:
Þ wz = const; Lz = const
podstawiając otrzymujemy: (1)
oraz (2)
różniczkując te równania po czasie dostajemy:
skoro z (1) wynika, że to ostatecznie:
Jest to równanie analogiczne do równania ruchu harmonicznego:
m×a = - k×x czyli gdzie
rozwiązaniem tego równania jest: x =Asin(wt + j)
W przypadku obręczy: rozwiązaniem jest:
oraz
Jeżeli więc to wektor jest stały w przestrzeni, natomiast składowe x i y wektora są prostopadłe do osi symetrii obręczy i wektor obraca się wokół osi Z ze stałą prędkością kątową gdzie jest tzw. częstością precesji obręczy.
5.7. Precesja – przykłady: bąk i spin elektronu.
Bąk symetryczny.
gdzie jest momentem pędu w układzie własnym
czyli:
skoro M = mgRsina to
mgRsina = w’Lsina
stąd
oznacza to, że prędkość kątowa precesji jest stała !!
czyli
prędkość kątowa precesji:
Precesja spinu.
Elektron krążący po orbicie.
Moment pędu (orbitalnego):
L = ×r×m×V =r2m×w
Moment magnetyczny elektronu o wartości:
ponieważ więc
ostatecznie:
współczynnik giromagnetyczny czyli
Jeżeli teraz przyłożymy zewnętrzne pole magnetyczne B (0, 0, Bz)
Działa wówczas moment siły:
czyli jest precesja spinu !!
a więc Mx= gLyBz; My= -gLxBz; Mz= 0 czyli rzut na oś Z jest zachowany.
Częstość precesji spinu W = g × B
Lx(t) = A sinWt; Ly(t) = A cosWt; Lz = const
Rezonans spinowy Þ elektronowy paramagnetyczny
jądrowy ferromagnetyczny
NMR
Pole magnetyczne o o zmiennej z częstością w składowej w kierunku X:
Równania ruchu obliczamy na podstawie działającego momentu siły:
skąd Mx = gLyBz;
My = -gLxBz + LzgB1sinwt czyli My = -WLx + gLzB1sint
Mz = -gLyB1sinwt
Założenie: Lz >> Ly to kąt precesji Q jest mały
Bz >> Bx = B1sinwt
Szukamy rozwiązań Lx(t) i Ly(t)
Lx= Asinwt; Ly= C coswt gdzie w jest takie samo jak w zmiennego pola w kierunku X !
Warunek rezonansu: A i C maja wartość maksymalną !
...
GTAWLK