Kijowski - czarne dziury.pdf - CZARNE DZIURY - karonet22

Osi¹gniêcia Nauki i Techniki

Kierunki Rozwoju i Metody

KONWERSATORIUM POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ

Wk³adka nr 12 do Miesiêcznika Politechniki Warszawskiej nr 3/2008

Redaktor merytoryczny — Stanis³aw Janeczko

Czarne dziury:

obiekty odkryte w przyrodzie

czy wymyœlone

przez cz³owieka?

Na podstawie odczytu wygłoszonego w dniu 24 maja 2007 roku

Jerzy Kijowski

Centrum Fizyki Teoretycznej PAN

Aleja Lotników 32/46, 02-668 Warszawa

kijowski@uw.edu.pl

1. Rola spekulacji teoretycznych w fizyce

Fizyka jest nauką empiryczną. Tę prawdę wbijano mi do

głowy przez całe dzieciństwo i młodość, ostro przeciw-

stawiając „postępowe” nauki doświadczalne „scholas-

tycznym spekulacjom”, które jedynie hamowały rozwój

cywilizacji. Taka postawa filozoficzna nie jest nowa.

Wyraziście była eksponowana np. w dziele Sykstusa

Empiryka napisanym około 200 r.n.e., a zatytułowa-

nym bardzo wymownie Przeciw Matematykom ( Προζ

µαθηµατικουζ ).

Tymczasem u podstaw nowożytnej fizyki leżą moc-

no spekulatywne zasady dynamiki Galileusza-Newtona!

Rzeczywiście — czy ktoś z nas miał kiedykolwiek do

czynienia w potocznym doświadczeniu z pojazdem, któ-

ry porusza się ruchem jednostajnym, mimo że nie dzia-

ła nań żadna siła (bo np. wyczerpała się benzyna)?

Nieraz wiec bywało tak, że nauka rozwijała się

właśnie dzięki czysto teoretycznym „spekulacjom” ,

a przewidywane w ten sposób obiekty czy zjawiska fi-

zyczne musiały potem długo jeszcze czekać na „praw-

dziwe” — to znaczy eksperymentalne — odkrycie,

stanowiące ostateczne potwierdzenie słuszności rozu-

mowania, które doprowadziło do ich pierwszego — te-

oretycznego — odkrycia.

Tak się zdarzyło np. przewidzianym przez Maxwel-

la falom elektromagnetycznym. Pojawiły się one jako

matematycznie konieczne rozwiązania równań elektro-

dynamiki, gdy ich twórca poprawił równanie Ampere’a

z czysto „spekulatywnych” powodów, wprowadzając

doń tzw. prąd przesunięcia , by stało się zadość pra-

wu zachowania ładunku. Podnosząc to prawo do rangi

podstawowej zasady uniwersalnej Maxwell odkrył „po

raz pierwszy” fale radiowe, bez których trudno sobie wy-

obrazić nasze współczesne życie. A przecież na drugie

— doświadczalne — odkrycie musiały potem czekać

jeszcze prawie 40 lat, kiedy to zostały „wprzęgnięte

w służbę ludzkości” przez Heinricha Hertza, Guglielmo

Marconiego lub Aleksandra Popowa (to, którego z nich

uznajemy za twórcę radia zależy od tego w jakim kraju,

czy nawet ustroju politycznym, kończyliśmy szkoły).

Tak zwane „czarne dziury”, podobnie zresztą jak fa-

le grawitacyjne, są matematycznie konsekwencją no-

woczesnej teorii grawitacji sformułowanej w 1915 roku

przez Alberta Einsteina. Nie dysponujemy do tej pory

wynikami obserwacji, które w sposób niewątpliwy do-

wodziłyby ich istnienia w Kosmosie, choć mamy wiele

pośrednich argumentów za tym, by pewne obiekty astro-

nomiczne interpretować właśnie jako czarne dziury. Sta-

tus epistemiologiczny „czarnych dziur” jest więc obecnie

analogiczny do statusu fal radiowych w roku — powiedz-

my — 1870.

2. Czy grawitacja da się sprowadzić

do czystej geometrii?

Historia einsteinowskiej teorii grawitacji, popularnie

zwanej „ogólną teorią względności”, też zaczęła się od

czystej spekulacji. Wspaniale rozwinięta w XIX wieku

mechanika nieba, oparta na teorii newtonowskiej, zna-

komicie tłumaczyła obserwowane zjawiska astrono-

miczne i z czysto eksperymentalnego punktu widzenia

nie było żadnych powodów, by tę teorię zmieniać. Tym-

czasem jednak w 1905 roku Einstein zaproponował

nową teorię ruchu i nowy opis pola elektromagnetycz-

nego. Chodziło m.in. o to, by wytłumaczyć zaobserwo-

wany fakt niezależności prędkości światła od prędko-

ści mierzącego ją obserwatora. Ta nowa teoria, zwana

„szczególną teorią względności”, odniosła ogromny

sukces, dostarczając znakomitego narzędzia do opisu

zjawisk fizycznych polegających na oddziaływaniu elek-

tromagnetycznym — i to opisu zgodnego z doświad-

czeniem Michelsona-Morleya. Ponieważ miała ona cha-

rakter uniwersalnej teorii czasu i przestrzeni, wielki

myśliciel, jakim był Einstein, spróbował opisać siły gra-

witacyjne w swoim nowym, czterowymiarowym, „relaty-

wistycznym formalizmie”. Okazało się to niemożliwe,

a w każdym razie nie było na to żadnej prostej i natural-

nej recepty. Po kilku latach rozmyślań Einstein doszedł

do wniosku, że trajektorie swobodnie spadających ciał

(to znaczy ciał poddanych jedynie działaniu sił grawita-

cyjnych) są po prostu „najbardziej prostymi ze wszyst-

kich możliwych” liniami w (prawdopodobnie) krzywej

czasoprzestrzeni. Punktem wyjścia do tej hipotezy była

powszechnie obserwowana równość masy inercjalnej

i masy grawitacyjnej różnych ciał — począwszy od ska-

li słynnego newtonowskiego jabłka, do skali obserwo-

wanych ciał niebieskich. Łatwo zrozumieć o co chodzi,

przyglądając się np. równaniu Newtona opisującemu

ruch ciała o masie m i ładunku elektrycznym e , poru-

szającego się pod wpływem pola elektrycznego →

gdzie → oznacza „pole sił grawitacyjnych” (równe np.

gradientowi potencjału grawitacyjnego z ujemnym zna-

kiem). Występujący po lewej stronie czynnik m określa

bezwładność ciała — podobnie jak to miało miejsce

w przypadku równania (1). Natomiast występująca po

prawej stronie wielkość m odgrywa rolę „ładunku gra-

witacyjnego” i mierzy „wrażliwość ciała” na oddziaływa-

nie pola grawitacyjnego. Z punktu widzenia teorii New-

tona to m po prawej stronie mogłoby być różne od tego

m po lewej stronie i nie prowadziłoby to do żadnych

komplikacji filozoficznych. Tymczasem jednak wszelkie

pomiary (począwszy od Galileusza, rzucającego ponoć

różne przedmioty z Krzywej Wieży w Pizie) pokazują,

że obie masy są sobie zawsze równe . Oznacza to, że

równanie (2) można podzielić przez m . Wobec tego tra-

jektorie ciał spadających swobodnie są takie same dla

różnych ciał. Jabłko powinno poruszać się po takiej sa-

mej orbicie okołosłonecznej jak planeta. Powinniśmy

zatem traktować tę orbitę jako jakąś uniwersalną wła-

sność geometryczną czasoprzestrzeni, w której „żyje”

pole grawitacyjne → , niezależną od tego, jakim ciałem

(jabłkiem czy planetą) posługujemy się w celu jej zba-

dania. O jaką własność może tutaj chodzić?

Einstein znalazł odpowiedź w powstałej wcześniej

geometrii nieeuklidesowej i zaproponował, by odejść od

obrazu czasoprzestrzeni jako obiektu „idealnie płaskie-

go”, do którego stosują się pojęcia geometrii euklideso-

wej, znane nam z kursu szkolnego, na przykład możli-

wość absolutnego, niezależnego od drogi, transportu

równoległego na dowolne odległości. To, co w małej ska-

li jest banalnie proste, np. przyłożenie ekierki do linijki

i przesunięcie jej do żądanego punktu, w wielkiej skali

jest — być może — niewykonalne. Czasoprzestrzeń,

w której żyjemy, jest prawdopodobnie zakrzywiona,

a ciała spadające swobodnie poruszają się po liniach

„najbardziej prostych z możliwych”. Do linii tych nie sto-

sują się twierdzenia geometrii euklidesowej, jak np.

aksjomat Euklidesa o prostych równoległych czy też

twierdzenie o sumie kątów w trójkącie. Grawitacja to po

prostu odstępstwo geometrii czasoprzestrzennej od

„płaskości”. W dalszym ciągu tego wykładu pokażę, jak

najprościej można opisać taką strukturę.

m → = e →

(1)

Ciała o równych masach, ale różnych ładunkach

poruszają się zupełnie inaczej! Tymczasem dla sił gra-

witacyjnych analogiczne równanie Newtona wygląda

następująco

m → = m →

(2)

3. Co to są linie „proste” w krzywej przestrzeni?

Najwcześniej, bo już w dobie wielkich odkrywców geo-

graficznych, poznaną „krzywą przestrzenią”, dla której

opis oparty na geometrii euklidesowej przestał wystar-

czać, była powierzchnia globu ziemskiego. Żeglując po

oceanie najłatwiej jest trzymać się tzw. loksodromy, czy-

li linii przecinającej siatkę geograficzną, złożoną z połud-

ników i równoleżników, pod stałym kątem. W takiej że-

gludze sternik musi po prostu trzymać ciągle ten sam

kurs kompasowy. We współrzędnych geograficznych

( θ , ϕ ) równanie takiej trajektorii ruchu wygląda rzeczywi-

ście tak, jak równanie linii prostej na płaszczyźnie wyra-

żone we współrzędnych kartezjańskich

θ 0

θ ( t ) = θ 0 + at ϕ ( t ) = ϕ 0 + bt

(3)

gdzie t jest dowolnym parametrem afinicznym (na przy-

kład czasem, gdy statek płynie ze stała prędkością).

Równania te można zapisać równoważnie w postaci

warunku na znikanie drugich pochodnych obu funkcji

θ .. ( t ) = 0 ϕ .. ( t ) = 0

ϕ 0

Rysunek 2. Współrzędne geograficzne a lokalne współrzęd-

ne „prostoliniowe”

(4)

jemy instynktownie, że wyznacza najkrótszą drogę mię-

dzy punktem startu a punktem docelowym.

Wyznaczanie ortodromy to najbardziej typowe za-

danie, jakie rozwiązują studenci wydziału nawigacji

w szkole morskiej. Trzeba się tu wyzbyć przywiązania

do funkcji liniowych typu (3), bowiem równanie różnicz-

kowe opisujące ortodromę we współrzędnych geogra-

ficznych ( θ , ϕ ) jest dużo bardziej skomplikowane niż

warunek (4) na znikanie „przyspieszenia”, czyli drugich

pochodnych. Aby je tutaj wyprowadzić zauważmy, że

w każdym punkcie globu ( θ 0 , ϕ 0 ) można wybrać takie

lokalne współrzędne ( x , y ), żeby przynajmniej w tym

jednym punkcie równanie ortodromy wyglądało tak

jak (4)

co gwarantuje liniową zależność obu funkcji od para-

metru.

Nazwa loksodroma pochodzi od greckich słów

„loksos” (ukośny, krzywa) oraz „dromós” (bieg, linia).

Ale cóż to za linia „skośna”? W żegludze po morzu Bał-

tyckim moze być nawet przydatna, ale wystarczy popa-

trzeć na globus by zauwazyć, że żegluga po loksodro-

mie z Plymouth do Nowego Yorku to ogromna strata

czasu! A w pobliżu biegunów loksodroma coraz bar-

dziej zbliża się do spirali Archimedesa i poruszanie się

po niej przypominałoby raczej taniec św. Wita niż jakie-

kolwiek sensowne zmierzanie do celu.

Gdyby na globusie naciągnąć gumkę umocowaną

na końcach w dwóch miastach leżących po różnych

stronach oceanu, to wyznaczyłaby ona zupełnie inną

trasę, zwaną „ortodromą” (gr. orto, orthós — prosty),

czyli linią prostą. Jest to łuk wielkiego koła na kuli i czu-

.. ( t ) = 0 .. ( t ) = 0

(5)

W tym celu rozważymy płaszczyznę styczną do globu-

sa w naszym „miejscu postoju” ( θ 0 , ϕ 0 ) — niech będzie

to na przykład kartka papieru. Jak to widać na rysun-

ku 1, rzut siatki geograficznej z globusa na naszą kart-

kę daje wysoce nieprostoliniowy układ współrzędnych.

Gdyby nasze miejsce postoju znajdowało się na lądzie,

to siatka ta zupełnie nie nadawałaby się jako lokalna

mapa do celów geodezyjnych, takich jak wytyczanie

sieci równoległych ulic czy obrysów działek w naszej

miejscowości.

Do tych celów najlepiej używać siatki współrzęd-

nych kartezjańskich na kartce. Gdy zrzutujemy je (za

pomocą rzutu prostopadłego) z naszej kartki papieru na

globus, otrzymamy właśnie lokalnie najlepsze, „wypro-

stowane” współrzędne. Wybierzmy na przykład oś X

w kierunku wschodnim, zaś oś Y — prostopadle (w kie-

runku północnym), przy czym, dla uproszczenia rachun-

ków, niech obie będą zaczepione właśnie w naszym

„miejscu postoju” ( θ 0 , ϕ 0 ) (zob. rys. 2). Odrobina znajo-

mości trygonometrii pozwoli nam stwierdzić, że zależ-

ność między współrzędnymi geograficznymi a naszymi

Rysunek 1. Rzut siatki geograficznej na płaszczyznę stycz-

ną do kuli

„lokalnie prostoliniowymi” współrzędnymi ( x , y ), skopio-

wanymi z płaskiej kartki, wyraża się następującymi wzo-

rami

θ .. = 2 Ax . . = 2 A ϕ . 2

.. = 2 Bx . y . = –2 B ϕ . θ .

(uwzględniono związki θ . = – y . oraz ϕ . = x . , wynikające

z (9) i (11)). Po wstawieniu wartości stałych (8) otrzymu-

jemy następujące równanie ortodromy

θ ..

θ = θ 0 – y + Ax 2 + człony wyższego rzędu (6)

ϕ = ϕ 0 + x (1 + By ) + człony wyższego rzędu (7)

Pozwoliłem sobie na pewną nonszalancję w zapisie po-

wyższych wzorów, bowiem chcę zwrócić uwagę na jego

strukturę, a do tego ani wartość stałych A i B , ani szcze-

gółowa informacja o członach rzędu wyższego niż kwa-

dratowy, nie jest potrzebna. Otóż człony rzędu zerowe-

go zostały wprowadzone tylko po to, by odpowiednio

„scentrować” nasze współrzędne, czyli by zero układu

( x , y ) przypadało właśnie w punkcie ( θ 0 , ϕ 0 ). Wybór ten

jest nieistotny z punktu widzenia naszego celu, jakim

jest „wyprostowanie” równania ortodromy do najprost-

szej postaci (5). Człony rzędu pierwszego zostały wy-

brane tak, by osie X i Y były odpowiednio skierowane.

Znak „minus” przed zmienną y w pierwszym równaniu

pochodzi stąd, że jako matematyk liczę „szerokość

geograficzną” θ od bieguna północnego w dół (na po-

łudnie). Tymczasem jako nawigator wolę liczyć współ-

rzędną y na mapie w górę (na północ). Ale to również

jest nieistotne z punktu widzenia naszego celu i dowol-

na transformacja liniowa współrzędnych ( x , y ) będzie

równie dobra. Także człony wyższego rzędu są nieistot-

ne, bowiem w punkcie ( x , y ) = (0, 0) nie dają wkładu do

równania (5). To co istotne, to człony kwadratowe, re-

prezentowane tutaj przez dwie stałe A i B . Odrobina

znajomości trygonometrii wystarczy, by się przekonać,

że ich wartości wynoszą

A = 1

= ϕ . 2 sin θ cos θ

(13)

= –2 ϕ . θ . ctg θ

(14)

obowiązujące już uniwersalnie, w każdym punkcie ( θ , ϕ ),

czyli na całym globie.

sin θ 0 cos θ 0

B = ctg θ 0

(8)

Powyższe, prościutkie opowiadanie można teraz

sformalizować w postaci następującej „wyliczanki” istot-

nych z naszego punktu widzenia własności, jakie wyko-

rzystaliśmy do stworzenia wygodnego modelu matema-

tycznego powierzchni globu ziemskiego M jako tzw.

przestrzeni ze strukturą powiązania . Przestrzeń ta

może być krzywa, ale lokalnie przypomina przestrzeń

afiniczną, w której jest dobrze określone pojęcie linii

prostej. Oto te własności:

¾ Przestrzeń M jest rozmaitością różniczkowalną.

Oznacza to, że lokalnie można parametryzować

punkty zbioru M układem współrzędnych ( x k ) =

= ( x 1 , x 2 , …, x n ), gdzie liczba naturalna n nazywa

się wymiarem przestrzeni (dla powierzchni globu

ziemskiego n = 2, ale to nie ma żadnego znacze-

nia). Jeśli ( y a ), a = 1, ..., n , jest innym układem

współrzędnych (mapą), to (tam gdzie to możliwe)

transformacja y a = y a ( x k ) jest odpowiednio gładka

(np. różniczkowalna klasy C ∞ ).

¾ W każdym punkcie m ∈ M można wprowadzić rela-

cję równoważności ~ m między układami współrzęd-

nych wokół m . Powiemy, że układy ( x k ) oraz ( y a )

są równoważne w m , jeśli ich wzajemne drugie po-

chodne znikają w tym punkcie

( ( x k ) ~ m ( y a ) ) ⇔ ( ——

Gdybyśmy mieli osiąść na stałe w miejscowości ( θ 0 , ϕ 0 ),

to już nigdy inna mapa nie byłaby nam potrzebna — ta

jest najlepsza ze wszystkich możliwych. Jeśli jednak

punkt ( θ 0 , ϕ 0 ) znajduje się na oceanie, a my jesteśmy

nawigatorami w podróży, to niestety nasza doskonała

(w otoczeniu punktu ( θ 0 , ϕ 0 )) mapa wkrótce się zdezak-

tualizuje i trzeba będzie ją szybko wymienić na inną, do-

stosowaną do innego punktu. Nie możemy jednak wo-

zić ze sobą tak ogromnej, po jednej dla każdego małego

otoczenia kolejno mijanych punktów globu, liczby map!

Przeprośmy się zatem z „bardziej globalnymi” współ-

rzędnymi geograficznymi i przeliczmy równanie ortodro-

my (5) (oznaczonej kolorem niebieskim na rys. 2) do

tych współrzędnych. Różniczkując stronami wzory (6)

i (7) otrzymujemy

—— ( m ) = 0 )

Łatwo sprawdzić, że jest to relacja równoważności

(zwrotna, symetryczna, przechodnia). Zatem zbiór

wszystkich map wokół m rozpada się na wzajemnie

rozłączne klasy równoważności.

¾ W każdym punkcie m wyróżniona jest pewna klasa

równoważności I m , którą nazwiemy „lokalnym ukła-

dem prostoliniowym” lub też — żeby podkreślić in-

spirację fizyczną — „lokalnym układem inercjalnym”.

Współrzędne odpowiadające mapie należącej do tej

klasy będziemy nazywali „lokalnie prostoliniowymi”

albo „lokalnie inercjalnymi” w punkcie m . Zakłada-

my, że I m zależy gładko (różniczkowalnie) od punk-

tu m . Na razie nie będę precyzował, co to oznacza,

ale w dalszym ciągu wykładu stanie się to jasne.

¾ Sparametryzowaną linię w M będziemy nazywali

ortodromą (czy może nawet — nadużywając nieco

terminologii — linią „prostą”, a w każdym razie „naj-

prostszą z możliwych”), jeśli w każdym punkcie M

spełnia ona warunek

∂ 2 y a

∂ x l

θ .

= – y . + 2 Ax .

(9)

θ ..

= – ..

+ 2 A . x .

+ 2 Ax ..

(10)

ϕ .

= x . + Bxy . + B . y

(11)

= .. + 2Bx . y . + Bx .. + B .. y

(12)

Ale w zmiennych „wyprostowanych” równanie ortodro-

my to znikanie drugich pochodnych (5). Zatem w na-

szym punkcie postoju ( x , y ) = (0, 0) równanie ortodromy

wygląda następująco

∂ x k

.. a ( m ) = 0

(15)

Powyższy układ n równań można zapisać w równoważ-

nej postaci, jeśli podziałamy na obie strony macierzą

( ∂ x n / ∂ y a ) , odwrotną do macierzy ( ∂ y a / ∂ x k ) (ich ilo-

czyn daje macierz jednostkową ( δ k )) . W rezultacie

otrzymamy następujące, uniwersalne równanie orto-

dromy, będące naturalnym uogólnieniem równań na-

wigatora (13) oraz (14)

.. n + Γ kl x . k x . l = 0

gdy jako współrzędne weźmiemy dowolne współ-

rzędne lokalnie inercjalne w m , czyli należące do

klasy I m .

¾ Współrzędne inercjalne w jednym punkcie wcale nie

muszą być inercjalne w punktach sąsiednich. Gdy-

by jednak istniał układ współrzędnych globalnie in-

ercjalny , to taką przestrzeń nazwalibyśmy płaską .

(18)

Gdybyśmy mieli zamieszkać na stałe w miejscowo-

ści m i badać jedynie ruchy przejeżdżających przez nią

pojazdów, to nie warto byłoby używać innych układów

współrzędnych, niż tylko inercjalne w punkcie m . Tak

postępowali fizycy przez ostatnich kilka tysięcy lat. Je-

śli jednak interesują nas zjawiska zachodzące daleko

od nas, jeśli chcemy badać ruchy odległych planet, ko-

met czy może nawet gwiazd albo galaktyk, to — po-

dobnie jak to miało miejsce w przypadku nawigacji po

ziemskim globie — zmuszeni będziemy używać ukła-

dów nieinercjalnych, ale za to opisujących dużo więk-

sze obszary. Przeliczmy zatem równania ortodromy

z układu inercjalnego ( y a ) do jakiegokolwiek układu

( x k ). Prawo transformacji prędkości z jednego układu

do drugiego jest oczywiste

Symbolem Γ kl oznaczyliśmy tutaj następującą kombi-

nację pochodnych

Γ kl ( m ) : = ——

( m ) . ——

∂ x k

(19)

∂ y a

We wzorze tym ( y a ) są dowolnymi współrzędnymi

inercjalnymi w punkcie m , w którym liczymy wartość

współczynników Γ . Łatwo zauważyć, że wynik nie zale-

ży od wyboru układu współrzędnych ( y a ), byle tylko

należały do klasy I m . Wielkości te charakteryzują jedno-

znacznie układ inercjalny I m względem naszych (dowol-

nych), „roboczych” współrzędnych ( x k ). Można zatem

powiedzieć, że cała informacja o polu lokalnych układów

inercjalnych jest zawarta we „współczynnikach powiąza-

nia” Γ kl . W szczególności układ jest inercjalny w punk-

cie m jeśli, współczynniki te znikają w tym punkcie

y . a ( m ) = k =1

∑ n ——

∂ x k

∂ y a

x . k = ——

∂ x k

∂ y a

x . k

(16)

( ( x k ) ∈ I m ) ⇔ ( Γ kl ( m ) = 0 )

W ostatnim wyrażeniu opuściliśmy znak sumy, korzy-

stając z tak zwanej konwencji sumacyjnej Einsteina ,

która bardzo ułatwia pisanie formuł opisujących struk-

tury geometrii różniczkowej. Głosi ona, że powtórzony

wskaźnik — w naszym przypadku „ k ” — raz na dole, raz

na górze oznacza sumowanie po wszystkich jego moż-

liwych wartościach. Różniczkując jeszcze raz po para-

metrze, otrzymujemy następujące równanie ortodromy

wyrażone w nieinercjalnym układzie współrzędnych ( x k )

(pamiętamy o konwencji sumacyjnej!)

Założenie o „gładkiej zależności” klasy I m od punktu m

oznacza teraz, że elementy tablicy Γ kl ( m ) są odpowied-

nio gładkimi funkcjami na przestrzeni M .

To opowiadanie można ciągnąć dalej — np. łatwo

wyprowadzić wzory na transformację obiektu Γ między

dwoma dowolnymi (na ogół nieinercjalnymi ) układami

współrzędnych. Zainteresowanych odsyłam do bogatej

literatury z geometrii różniczkowej. Jednak główną wła-

snością przestrzeni z powiązaniem jest istnienie pola

lokalnych układów inercjalnych, co pozwala na wyróż-

nienie szczególnych linii „prostych”, dla których „przy-

spieszenie” (liczone w układzie inercjalnym) znika.

0 = .. a

= ——

∂ x k

.. k + ——

∂ x k

∂ 2 y a

∂ x l

—— x . k x . l

(17)

4. Grawitacja jako pole lokalnych układów inercjalnych

Właśnie taka struktura geometryczna czasoprzestrzeni

odpowiada polu grawitacyjnemu według Einsteina. Rów-

nania ruchu ciała spadającego swobodnie, to równania

ortodromy (18) w czterowymiarowej czasoprzestrzeni,

które można przepisać jako

sienia, który nie jest inercjalny! Siły grawitacyjne dadzą

się (lokalnie, w punkcie m ) wyeliminować, jeśli tylko

przejdziemy do układu inercjalnego w punkcie m . I nie

jest to żadna science fiction , lecz realna możliwość. Sto

lat temu uważano, że polega ona na zamknięciu się

w swobodnie spadającej windzie, gdzie (zanim nastąpi

katastrofa) znajdziemy się w stanie całkowitej nieważ-

kości. W takiej sytuacji będziemy mogli uważać, że sił

grawitacyjnych nie ma! W dzisiejszych czasach stan nie-

ważkości stał się powszechnym doświadczeniem wielu

ludzi — astronautów i pracowników stacji kosmicznych.

Siły grawitacyjne uzyskały zatem status „sił pozor-

nych” z mechaniki klasycznej, takich jak siła odśrodkowa

m .. n = – m Γ kl x . k x . l

(20)

Interpretację tradycyjną, w której prawa strona jest

siłą grawitacyjną działająca na ciało o masie m , zgodnie

z drugą zasadą Newtona, Einstein proponuje zastąpić

interpretacją geometryczną — prawa strona tylko dlate-

go nie znika, że do opisu ruchu użyliśmy układu odnie-

∂ x n

∂ 2 y a

∂ x l

—— ( m )

∂ y a

Kijowski - czarne dziury.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: