wyklad7-1_ETI.pdf

RÓNICZKAFUNKCJI

f 0 ( x 0 ) · x

Ró»niczk¦oznaczamysymbolem df ( x 0 ),b¡d¹te»krótko df lub dy .

Przyrost x nazywamyró»niczk¡zmiennejniezale»nej x ioznaczamy

symbolem dx .

Mamyzatem

= f 0 ( x 0 ) · dx lubkrótko dy def

= f 0 ( x 0 ) · dx

Deﬁnicja ( ró»niczkifunkcji )

Ró»niczk¡funkcji f wpunkcie x 0 dlaprzyrostu x zmiennejniezale»nej

xnazywamyiloczyn

df ( x 0 ) def

Uwaga ( zast.ró»niczkidoobl.przybli»onychwarto±cifunkcji )

Niechfunkcja f mapochodn¡wła±ciw¡wpunkcie x 0 .Wówczas

f ( x 0 + x ) f ( x 0 ) + f 0 ( x 0 ) x

Deﬁnicja ( ró»niczkirz¦dunfunkcji )

Ró»niczk¡rz¦du n funkcji f wpunkcie x 0 dlaprzyrostu x zmiennej

niezale»nejxnazywamywyra»enie

= f ( n ) ( x 0 ) · dx n

przyczym dx n ( dx ) n .Zamiast d n f ( x 0 )piszemykrótko d n f .

Je»eli y = f ( x ),tozamiast d n f ( x )piszemytak»e d n y .St¡d

f ( n ) ( x ) d n f

dx n d n y

d n f ( x 0 ) def

dx n

Rozwini¦cieTayloraiMaclaurinafunkcji

Deﬁnicja ( wielomianTayloraiMaclaurina )

Niechfunkcja f mawpunkcie x 0 pochodn¡wła±ciw¡ k -tegorz¦du,

gdzie k 2 N [{ 0 } .Wielomian

k ! ( x − x 0 ) k

nazywamywielomianemTaylorarz¦du k funkcji f wpunkcie x 0 .Je»eli

x 0 = 0,towielomiantennazywamywielomianemMaclaurina.

1! ( x − x 0 ) +

2! ( x − x 0 ) 2

+...+

f ( k ) ( x 0 )

Uwaga

Wielomian P k jestjedynymwielomianemstopnia k ,któryspełniawa-

runki

P k ( x 0 ) = f ( x 0 ) , P 0 k ( x 0 ) = f 0 ( x 0 ) , P 00 k ( x 0 ) = f 00 ( x 0 ) ,..., P ( k )

k ( x 0 ) = f ( k ) ( x 0 )

P k ( x ) def

f 00 ( x 0 )

= f ( x 0 ) +

f 0 ( x 0 )

Twierdzenie ( wzórTaylorazreszta¸Lagrange’a )

Je»elifunkcja f spełniawarunki:

1.macia¸gła¸pochodn¡rz¦du n − 1naprzedziale[ x 0 , x ],

2.istniejewła±ciwapochodna f ( n ) naprzedziale( x 0 , x ),

toistniejepunkt c 2 ( x 0 , x )taki,»e

f ( x ) = P n − 1 ( x ) +

n ! ( x − x 0 ) n

Uwaga

Twierdzeniepowy»szejestprawdziwerównie»dlaprzedziału[ x , x 0 ],

wtedy c 2 ( x , x 0 ).

f ( n ) ( c )

Uwaga

Równo±¢wyst¦puj¡c¡wtezietwierdzenianazywamywzoremTaylora.

Wyra»enie

f ( n ) ( c )

R n ( x ) def

n ! ( x − x 0 ) n

nazywamy n -ta¸reszt¡Lagrange’a.

Reszt¦t¦mo»natak»ezapisa¢wpostaci

R n ( x ) =

f ( n ) ( x 0 + x )

n ! ( x ) n

gdzie0 << 1oraz x = x − x 0 .

Dla x 0 = 0wzórTayloraprzyjmujeposta¢

n ! x n

gdzie c 2 (0 , x )dla x > 0lub c 2 ( x , 0)dla x < 0.Równo±¢t¦nazywamy

wzoremMaclaurina.

1! x +

f 00 (0)

2! x 2

+...+

( n − 1)! x n − 1

f ( n ) ( c )

f ( n − 1) (0)

f ( x ) = f (0) +

f 0 (0)

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: