zadania1.pdf

(411 KB) Pobierz
Microsoft Word - zadania1
ZADANIA Z METOD PROBABILISTYCZNYCH
I STATYSTYKI I do rozwiązania samodzielnego
1. Niech przestrzeń zdarzeń elementarnych składa się z pięciu zdarzeń
elementarnych
:
i
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
}
. Określamy zdarzenia 
A
{
1
,
3
,
5
}
,
B
{
2
,
3
,
4
}
. Znaleźć zdarzenia B
A , AB , B
A \ ,
B \ .
A
2. Osoba X wykonuje pewną pracę w ciągu 4, 5 albo 6 godzin i może popeł-
nić przy tym 0, 1 albo 2 błędy. Zakładając jednakowe prawdopodobień-
stwo dla każdego z 9 zdarzeń elementarnych, znaleźć prawdopodobień-
stwa następujących zdarzeń: a) praca zostanie wykonana w ciągu 4 godzin
(zdarzenie A ); b) praca zostanie wykonana bezbłędnie w ciągu 6 godzin
(zdarzenie B ); c) praca zostanie wykonana w ciągu 5 godzin, z co najwy-
żej jednym błędem (zdarzenie C ); d) praca zostanie wykonana, z co naj-
wyżej jednym błędem (zdarzenie D ).
3. Rozpatrujemy ilość (dm 3 ) wody, jaką może mieć do przeprowadzenia w
ciągu sekundy betonowy przepust. Dotychczasowe obserwacje pozwalają
przyjąć, że: maksymalna możliwa ilość wody wynosi 300 dm 3 /s; }
{ A
P – prawdopodobieństwo, że ilość
wody (na sekundę) przyjmuje wartość z przedziału (200; 300] w ynosi 0 ,7
oraz
{ B
P . Obliczyć prawdopodobieństwa: a) }
{ 
A
B
}
0
P , }
{ A
P ,
b) }
P , c) }
{ AB
P , d) }
{ B
A
P , e)
{ A
P .
A
}
4. Ze zbioru n elementów, wśród których jest n elementów mających cechę
C i
n
2 n
n
1
n . Zbadać
przypadki losowania ze zwrotem i bez zwrotu wylosowanego elementu po
pierwszym losowaniu.
n , 7
1
5. W pierwszej urnie było 10 kul w tym 8 białych; w drugiej urnie było 20
kul w tym 4 białych. Z każdej urny wylosowano po jednej kuli. Później z
1
P –
prawdopodobieństwo, że ilość wody (na sekundę) przyjmuje wartość z
przedziału (125; 250] wynosi 0,6; }
{ B
{ B
 elementów nie mających tej cechy, losujemy dwukrotnie
po jednym elemencie. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że obydwa
wylosowane elementy mają cechę C . Przyjąć 10
169132193.002.png
wylosowanych dwóch kul wylosowano jedną kulę. Jakie jest prawdopo-
dobieństwo tego, że wylosowana kula okaże się kulą białą.
5 )
F ( x ) 0 0,4 0,5 1
Jakie wartości przybiera zmienna losowa ? Jakie są prawdopodobień-
stwa tych wartości?
 3
;
2
( (3; 5] ( 
2
7. W wielu sytuacjach można przyjąć, że czas  bezawaryjnej pracy bada-
nego urządzenia jest zmienna losowa absolutnie ciągła o gęstości
1
exp
x
dla
x
0
f
(
x
)
0
dla
x
0
a) Obliczyć prawdopodobieństwo
10
P .
b) Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej .
c) Zinterpretować obliczone prawdopodobieństwo za pomocą wykresu
gęstości i dystrybuanty.
{ 
10
}
8. Rzucamy n kostek. Obliczyć prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych
oczek będzie nie mniejsza niż 6 n – 1.
9. Rzucamy n kostek do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia A po-
legającego na tym, że przynajmniej na jednej z nich wypadnie 6 oczek?
10. Według spisu powszechnego w Anglii i Walii w 1891 r. stwierdzono: oj-
cowie z ciemnymi oczami i synowie z ciemnymi oczami stanowili 5%
badanych osób, ojcowie z ciemnymi oczami i synowie z jasnymi oczami –
7,9%, ojcowie z jasnymi oczami i synowie z jasnymi oczami – 78,2%, oj-
cowie z jasnymi oczami i synowie z ciemnymi oczami – 8,9%. Znaleźć
prawdopodobieństwo dziedziczenia każdego z kolorów oczu przez syna
po ojcu.
2
( 
6. Dystrybuan ta F zmiennej losowej  jest określona nastę pującą tabelką:
x
Niech .
169132193.003.png 169132193.004.png
xe
x
,
x
0
,
11. ZL  ma rozkład o gęstości
f
(
x
)
Wyznaczyć jej dystry-
0
,
x
0
.
buantę oraz 2
P .
Cx
3
2
,
x
1
12. Gęstość ZL ma postać
f
(
x
)
Znaleźć a) stałą C ; b) gę-
0
,
x
1
stość ZL 
 1 ; c) 9
P .
4 
13. Niech  i 2
 są niezależnymi ZL mającymi rozkład geometryczny
P
 
i
k
p
i
q
i
k
; i = 1, 2; k = 0, 1,...; p i + q i = 1. Udowodnić, że ZL
min(
1
,
2
)
ma także rozkład geometryczny. Znaleźć parametr tego
rozkładu.
14. Znaleźć gęstość ZL
, gdzie jest ZL o dystrybuancie )
2
F i gę-
( x
stości )
f .
( x
15. Znaleźć gęstość ZL będącej polem kwadratu, którego długość boku jest
ZL o rozkładzie jednostajnym w [0; a ].
16. Niech będzie nieujemną ZL typu absolutnie ciągłego o gęstości )
f .
Znaleźć gęstość ZL 
 .
17. Zl  ma rozkład gamma, jeżeli jej gęstość ma postać
1
x
x
e
,
x
0
f
(
x
)
(
)
0
x
0
gdzie 0
 , 0
, )
 jest gamma-funkcja:
(
(
)
e x
x
dx
. Zna-
0
leźć WO i wariancję ZL .
18. Znaleźć WO ZL mającej rozkład logarytmicznie normalny z gęstością
3
( x
1
169132193.005.png
1
(ln
x
)
2
exp
,
x
0
f
(
x
)
x
2
2
2
0
x
0
.
19. Znaleźć WO i wariancję ZL , spełniającej rozkład Pareta o gęstości
x
1
0
,
x
x
,
f
(
x
)
x
x
0
0
0
x
x
0
,
 , 0
x .
20. Niech  i  będą niezależnymi ZL o identycznym rozkładzie jednostaj-
nym na odcinku 0
[ . Znaleźć WO i wariancję ZL
.
4
gdzie 0
0
169132193.001.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin