matdyskr1.pdf

1.Teoria mnogości, zbiory i operacje na zbiorach,

relacje i odwzorowania, moc zbiorów.

Teoria mnogości inaczej nazywana teorią zbiorów jest to

teoria matematyczna badająca własności zbiorów (mnogość

— dawna nazwa zbioru).

Teoria mnogości powstała w drugiej połowie XIX wieku,

głównie dzięki pracom Georga Cantora; na początku

XX wieku została przedstawiona w postaci aksjomatycznej

(E. Zermelo, A. Fraenkel, W. Sierpiński i in.).

Na gruncie teorii mnogości można zdefiniować wszystkie

podstawowe pojęcia matematyczne, jak liczby (całkowite,

wymierne, rzeczywiste) wraz z działaniami arytmetycznymi

i naturalnym uporządkowaniem, relacje, funkcje itp.;

dzięki temu każda teoria matematyczna może być

potraktowana jako fragment teorii mnogości.

Terminy pierwotne teorii mnogości

Zbiór (mnogość) – pojęcie pierwotne, jest jednoznacznie określany przez

swoje elementy (indywidua).

Stwierdzenie - „należy do” oznaczane jest symbolem „Î”;

wyrażenie „x jest elementem zbioru A” zapisujemy w skrócie „xÎA”.

Oznaczenia

A, B, C, … - zbiory; a, b, c, x, y, z,… - elementy zbioru;

Stałe logiczne :

- spójniki

~ Ø

nieprawda, że (negacja)

Þ ® jeśli … to … (implikacja)

Ù oraz (koniunkcja)

Ú lub (alternatywa)

Û º wtedy i tylko wtedy;

- kwantyfikatory ogólny: " „dla dowolnego”

egzystencjalny: $ „istnieje … takie, że”

- identyczność „=” „jest identyczne” („jest równe”)

Wyrażenie, że „~ (xÎA)” „nieprawda, że x należy do A”, zapisujemy

„xÏA”, symbol Ï oznacza „nie należy”.

Wyrażenie, że „~ (x = y)” „nieprawda, że x jest równe y” zapisujemy

„x¹y”, symbol ¹ oznacza „jest różne”.

Dwa sposoby określania zbioru

1. Przez wyliczenie wszystkich elementów zbioru, elementy te zapisujemy

w nawiasie klamrowym:

A={x ,y, z} A={1,2,…,10} zbiory skończone lub

A={1,3,5,…} zbiór nieskończony.

2. Przez podanie własności jaką posiadają wyłącznie elementy zbioru,

inaczej przez wyróżnienie :

A={x| x jest liczbą nieparzystą}.

Zbiory liczbowe

N ={0,1,2,…} zbiór liczb naturalnych;

N + ={1,2,3,…} zbiór liczb naturalnych dodatnich;

Z ={0,1,-1,2,-2,…}

zbiór liczb całkowitych;

Q ={ q

| p,qÎ Z Ù q¹0} zbiór liczb wymiernych;

R zbiór liczb rzeczywistych;

C zbiór liczb zespolonych.

Zasada ekstensjonalności

Dwa zbiory A i B są równe (uważamy je za identyczne) wtedy i tylko

wtedy, gdy zawierają te same elementy, tzn.

A=B Û "x (xÎA Û xÎB).

Zasada dystrybutywności

Żaden zbiór nie jest identyczny z żadnym ze swych elementów, tzn.

~ ( $A $x (xÎA Ù x=A) ),

oznacza to, że {a}¹a.

Zbiór pusty

Celowe i użyteczne jest wprowadzenie pojęcia zbioru pustego, który

oznaczamy przez symbol

Æ.

Zbiór pusty jest to zbiór, który nie posiada żadnego elementu.

Symbolicznie:

$A "x (xÏA).

Z zasady ekstensjonalności wynika, że istnieje tylko jeden taki zbiór.

Z zasady dystrybutywności wynika, że {Æ}≠Æ, czyli zbiór {Æ} nie jest

zbiorem pustym.

Podzbiór

Jeśli A i B są zbiorami oraz każdy element zbioru A jest też elementem

zbioru B to zbiór A nazywamy podzbiorem zbioru B i oznaczamy AÌB.

Mówimy wtedy, że A „zawiera się” w B.

Symbolicznie:

AÌB Û "x (xÎA Þ xÎB).

Zawieranie się zbiorów nazywane jest również inkluzją.

Własności inkluzji:

1."A AÌA (każdy zbiór jest swoim podzbiorem),

2."A ÆÌA (zbiór pusty jest podzbiorem dowolnego zbioru),

3. AÌB Ù BÌC Þ AÌC (przechodniość),

4. AÌB Ù BÌA Û A=B.

Jeżeli AÌB Ù A¹B Ù A¹Æ, to A nazywamy podzbiorem właściwym

zbioru B.

Zbiór pusty Æ i zbiór A są podzbiorami niewłaściwymi zbioru A.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: