6plpr.pdf

Płaszczyznaiprostawprzestrzeni.

Zadanie1. Napisa¢równaniepłaszczyzny,przechodz¡cejprzezpunkt

P =(3 , − 4 , 5)irównoległejdowektorów u =[3 , 1 , 1], v = − 1 . 2 , 1] .

Zadanie2. Napisa¢równaniepłaszczyzny,przechodz¡cejprzeztrzypunkty

A =(0 , 0 , 0), B =(3 , 3 , 3), C =(4 , 5 , 6) .

Zadanie3. Dlajakiejwarto±ciparametru m płaszczyzny

1 :6 x + y + z +5=0 2 : mx +2 y − 5 z +1=0

saprostopadłe?

Zadanie4. Dlajakichwartosciparametrów m i k płaszczyzny

1 :2 mx + y − 4 z +5=0 2 :4 x − 3 y +6 kz +1=0

sarównoległe?

Zadanie5. Obliczy¢cosinusk¡ta,jakitworzypłaszczyznaprzechodz¡ca

przezpunkty A =(0 , 0 , 0), B =(1 , − 1 , 0), C =(1 , 1 , 1)zpłaszczyzn¡ XOY.

Zadanie6. Obliczy¢poletrójk¡ta,któregowierzchołkamis¡punktyprzeci¦cia

osiukładuwspółrz¦dnychzpłaszczyzn¡ : x +2 y +3 z =6 .

Zadanie7. Napisa¢równaniepłaszczyznyprzechodz¡cejprzezpunkty

A =(2 , − 1 , 3)i B =(3 , 1 , 2)orazrównoległejdowektora u =[ − 3 , 1 , 4] .

Zadanie8. Udowodni¢wzórnaodległo±¢mi¦dzypłaszczyznami

1 : Ax + By + Cz + D 1 =0i 2 : Ax + By + Cz + D 2 =0

d ( 1 , 2 )= | D 1 − D 2 |

p A 2 + B 2 + C 2 .

Zadanie9. Napisa¢równaniepłaszczy zn yrównoległejdopłaszczyzny :

x + y + z +7=0iodległejodniejo2

3 .

Zadanie10. Znale¹¢równanieprostejprzechodz¡cejprzezpunkt

A =(2 , 3 , 1)oraz

a)prostopadłejdopłaszczyzny5 x − 3 y +2 z − 1=0 ,

b)przechodz¡cejprzezpunktprzebiciaprostej x =1+ t,y = − 2 t,z =1+3 t

zpłaszczyzn¡4 x − y +3 z +1=0 ,

c)równoleglejdopłaszczyznorównaniach6 x − y + z − 2=0i

x +3 y − 2 z +1=0 ,

d)równoleglejdopłaszczyzny z − y +7 z − 1=0iprzecinaj¡cejprost¡

x − 1

2 = y +3

− 4 = z 2 ,

e)prostopadłejdoprostych

x − y + z =1 , x +2 y +3 z − 2=0

oraz

x =3 t, y = − 1+ t, z = − t.