zadwyznaczniki.pdf

(49 KB) Pobierz
449449756 UNPDF
Obliczaniewyznacznik´ow
Zadanie1.Stosuj , ac rozwini , ecie Laplace’a wzgl , edem trzeciego wiersza oblicz wyznacznik:
2−3 4 1
4−2 3 2
a bcd
3−1 4 3
.
Rozwi , azanie.Mamy, ze
2−3 4 1
4−2 3 2
a bcd
3−1 4 3
W=
= (−1) 3+1 a
−3 4 1
−2 3 2
−1 4 3
+ (−1) 3+2 b
2 4 1
4 3 2
3 4 3
+ (−1) 3+3 c
2−3 1
4−2 2
3−1 3
+
(−1) 3+4 d
2−3 4
4−2 3
3−1 4
.
Cztery wyznaczniki stopnia trzy obliczymy stosuj , ac regul , e Sarrusa:
−3 4 1
−2 3 2
−1 4 3
−3 4
−2 3
−1 4
=−27−8−8−(−3−24−24) =−43 + 51 = 8,
2 4 1
4 3 2
3 4 3
2 4
4 3
3 4
= 18 + 24 + 16−(9 + 16 + 48) = 58−73 =−15,
2−3 1
4−2 2
3−1 3
2−3
4−2
3−1
=−12−18−4−(−6−4−36) =−34 + 46 = 12,
2−3 4
4−2 3
3−1 4
2−3
4−2
3−1
=−16−27−16−(−24−6−48) =−59 + 78 = 19.
St , adW= 8a−(−15)b+ 12c−19d= 8a+ 15b+ 12c−19d.
Odp.Szukany wyznacznik jest rowny 8a−(−15)b+ 12c−19d= 8a+ 15b+ 12c−19d.
Zadanie2.Obliczyc nast , epuj , ace wyznaczniki:
1 2 3 4
−3 2−5 13
1−2 10 4
−2
1−1
1 −2
4−2
0
5
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
a)
, b)
1
3−1
3
, c)
3
2−2
1
, d)
.
−1−1
4
3
−2
1
3−1
9−8 25
−3
0−8−13
2
3−6−3
Rozwi , azanie.a) Po zastosowaniu operacjiw 2 +3w 1 ,w 3 −w 1 ,w 4 +2w 1 uzyskamy, ze nasz wyznacznik
jest rowny
W=
1 2 3 4
0 8 4 25
0−4 7 0
0 13−2 33
. Po zastosowaniu rozwini , ecia Laplace’a wzgl , edem pierwszej kolumny uzy-
skamy, zeW= (−1) 1+1 ·1·
#
25
−4 7 0
13−2 33
4
= (−1) 1+3 ·25·
−4 7
13−2
+ (−1) 3+3 ·33·
8 4
−4 7
=
25·(8−91) + 33·(56 + 16) =−2075 + 2376 = 301. ZatemW= 301.
b) Po zastosowaniu operacjiw 2 + 3w 1 iw 3 −w 1 uzyskamy, ze nasz wyznacznik jest rowny
1
8
1
#
−1
1 −2
4 2 −3
−2 3 5
−3−8−13
4 2 −3
−2 3 5
−3−8−13
4 2
−2 3
−3−8
W=
4
0
2 −3
= (−1) 1+2 ·(−1)·
=
=
−2
0
3
5
−3
0−8−13
−156−30−48−(27−160 + 52) =−234 + 81 =−153, czyliW=−153.
c) Po zastosowaniu operacjiw 1 + 2w 3 uzyskamy, ze nasz wyznacznik jest rowny:
0 0 6 3
3 2−2 1
−2 1 3−1
2 3−6−3
0 0
0
#
3
3 2−4
−2 1
3 2−4
−2 1
3 2
−2 1
2 3
W=
k 3 −2k 4
=
3 2−4
1
= (−1) 1+4 ·3·
5
= (−3)·
5
=
−2 1
5−1
2 3
0
2 3
0
2 3
0−3
(−3)·[0 + 20 + 24−(−8 + 45 + 0)] = (−3)·[44−37] =−21, czyliW=−21.
d) Po dodaniu do pierwszej kolumny wszystkich pozostalych kolumn uzyskamy, ze nasz wyznacznik
jest rowny
3 1 1 1
3 0 1 1
3 1 0 1
3 1 1 0
1 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
1
1
1
1
W=
= 3·
w 2 −w 1 ,w 3 −w 1 ,w 4 −w 1
=
3·
0−1
0
0
= 3·1·(−1) 3 =−3,
0
0−1
0
0
0
0−1
czyliW=−3.
Zadanie3.Obliczyc nast , epuj , ace wyznaczniki:
3 6 5 6 4
5 9 7 8 6
6 12 13 9 7
4 6 6 5 4
2 5 4 5 3
7 6 9 4−4
1 0−2 6 6
7 8 9−1−6
1−1−2
1
1
1
1
0 5 2 0
8 3 5 4
7 2 4 1
0 4 1 0
a)
1−1
1
1
, b)
. c)
, d)
.
1
1−1
1
4
5
1
1
1−1
−7
0−9
2−2
Rozwi , azanie.a) Po wykonaniu operacjiw 2 −w 1 ,w 3 −w 1 iw 4 −w 1 uzyskamy, ze nasz wyznacznik
jest rowny
1
1
1
1
W=
0−2
0
0
= 1·(−2) 3 =−8, czyliW=−8.
0
0−2
0
0
0
0−2
b) Po wykonaniu operacjik 2 −4k 3 uzyskamy, ze nasz wyznacznik jest rownyW=
0 −3 2 0
8−17 5 4
7−14 4 1
0
.
0 1 0
Teraz stosujemy rozwini , ecie Laplace’a wzgl , edem czwartej kolumny:
= (−3)·(8−28) = 60, czyliW= 60.
0 −3 0
8−17 4
7−14 1
W= (−1) 4+3 ·1·
= (−1)·(−1) 1+2 ·(−3)·
8 4
7 1
c) Po wykonaniu operacjiw 4 −w 1 uzyskamy, ze nasz wyznacznik jest rowny
W=
3 6 5 6 4
5 9 7 8 6
6 12 13 9 7
1 0 1−1 0
2 5 4
k 3 −k 1 ,k 4 +k 1
=
3 6 2 9 4
5 9 2 13 6
6 12 7 15 7
1 0 0 0 0
2 5 2 7 3
= (−1) 4+1 ·1·
6 2 9 4
9 2 13 6
12 7 15 7
5 2 7 3
k 3 −2k 4
=
5 3
2
6 2 1 4
9 2 1 6
12 7 1 7
5 2 1 3
#
0 1
4 0 0 3
7 5 0 4
5 2 1 3
#
0 1
4 0 3
7 5 4
w 1 −w 4 ,w 2 −w 4 ,w 3 −w 4
=
(−1)·
(−1)·
= (−1)·(−1) 4+3 ·1·
=
= (−5)·(3−4) = 5, czyliW= 5.
d) Po wykonaniu operacjiw 1 + 6w 4 iw 3 + 8w 4 uzyskamy, ze nasz wyznacznik jest rowny
(−1) 3+2 ·5·
1 1
4 3
#
0 −3 28 26
1 0−2 6 6
15 0−7 31 34
1−1−2 4
13
13−3 28 26
1−2 6 6
15−7 31 34
−7−9 2−2
#
26
1−2 6 6
2−4 3 8
−7−9 2−2
13
#
−3 28
W=
= (−1) 4+2 ·(−1)·
w 3 −w = (−1)·
=
5
−7
0−9 2−2
13 3 28 13
1 2 6 3
2 4 3 4
−7 9 2−1
13−23 28 13
1
#
0 30 12
1 0 6 3
2 0 3 4
−7 23 2−1
(−1)·(−1)·2·
k 2 −2k = 2·
0 6
3
w 1 +w = 2·
2
0 3
4
−7
23 2−1
= 2·(−1) 4+2 ·23·
6 30 12
1 6 3
2 3 4
= 46·6·
1 5 2
1 6 3
2 3 4
w 2 −w 1 ,w 3 −2w 1
=
276·
#
1 5 2
0 1 1
0−7 0
=
= 276·7 = 1932, czyliW= 1932.
276·(−1) 1+1 ·1·
1 1
−7 0
3
1 0
1
6

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin