PDF.pdf

1. Obliczanie transmitancji zastępczej

układu

Zadanie 1.1

Oblicz transmitancję zastępczą układu z rysunku.

G1 = s 2

2 s 2 8 s 6

G2 = 4

s 2 4s

G3 = s 2 3s2

s 3

Obliczanie transmitancji zastępczej polega na kolejnym upraszczaniu schematu stosując

odpowiednie wzory. W tym przykładzie jedyną możliwością jest policzenie transmitancji zastępczej

sprzężenia zwrotnego obejmującego transmitancję G2. Nowy obiekt (zaznaczony na rysunku)

nazwany zostanie G4.

Wówczas schemat można przerysować w postaci:

a transmitancja G4 jest dana wzorem:

G4 = G2

G2 1

podstawiając wartości otrzymuje się:

s 2 4s

1 4

s 2 4s

1 4

s 2 4s

s 2 4s ⋅ s 2 4s

 1 4

G4 =

s 2 4s =

s 2 4s  ⋅ s 2 4s = 4

 s 2 4s4 = 4

s 2 4s4 = 4

 s 2 2

Po obliczeniu transmitancji G4 można jedynie obliczyć połączenie szeregowe transmitancji G1, G4

i G3. Co oznaczono na rysunku.

⋅ s 2 4s

Wówczas schemat można przerysować w postaci:

Transmitancję G5 oblicza się ze wzoru:

G5 = G1 ⋅ G4 ⋅ G3

i po podstawieniu wartości otrzymuje się:

G5 = s 2

2 s 2 8 s 6 ⋅ 4

 s 2 2 ⋅ s 2 3s2

s 3 = s 2

2 s 2 4 s 3 ⋅ 4

 s 2 2 ⋅  s  1  s  2 

s 3 =

2 s 1 s 3 ⋅ 4

 s 2 2 ⋅  s 1 s 2

s 3 = 1

2 s 1 s 3 ⋅ 4

 s 2 ⋅  s 1 s 2

s 3 =

= 1

2 s 3 ⋅ 4

 s 2 ⋅  s 2

s 3 = 1

2 s 3 ⋅4⋅ 1

s 3 = 1

 s 3 ⋅2⋅ 1

s 3 = 2

 s 3 2

Pozostało policzyć transmitancję zastępczą dodatniego sprzężenia zwrotnego co zobrazowano na

rysunku.

Wówczas schemat można narysować jako pojedynczą transmitancję, co pokazano na poniższym

rysunku.

Transmitancję G6 oblicza się ze wzoru:

G6 = G5

1− G5

Po podstawieniu wartości otrzymuje się:

 s 3 2

1− 2

 s 3 2

1− 2

 s 3 2

 s 3 2 ⋅ s 3 2

 1− 2

G6 =

⋅  s 3 2

 s 3 2 =

 ⋅ s 3 2 = 2

 s 3 2 − 2

 s 3 2 ⋅ s 3 2 =

 s 3 2

 s 2 6s9−2 = 2

s 2 6s7

i otrzymano transmitancję zastępczą całego układu.

= s 2

= 2

Zadanie 1.2

Oblicz transmitancję zastępczą układu z rysunku.

G1 = s 2  s

s 2 5s6

G2 = 9

 s 3 2

G3 = s 2 8s12

3s3

W tym przykładzie (podobnie jak w zadaniu 1) jedyną możliwością jest policzenie transmitancji

zastępczej dodatniego sprzężenia zwrotnego obejmującego transmitancję G2. Nowy obiekt

(zaznaczony na rysunku) nazwany zostanie G4.

Wówczas schemat można przerysować w postaci:

a transmitancja G4 jest dana wzorem:

G4 = G2

1− G2

podstawiając wartości otrzymuje się:

 s 3 2

1− 9

 s 3 2

1− 9

 s 3 2

 s 3 2 ⋅ s 3 2

 1− 9

G4 =

 s 3 2 =

 ⋅ s 3 2 = 9

  s 3 2 −9  =

 s 3 2

 s 2 6s9−9  = 9

s 2 6s

Po obliczeniu transmitancji G4 można jedynie obliczyć połączenie szeregowe transmitancji G1, G4

i G3. Co oznaczono na rysunku.

⋅  s 3 2

= 9

Wówczas schemat można przerysować w postaci:

Transmitancję G5 oblicza się ze wzoru:

G5 = G1 ⋅ G4 ⋅ G3

i po podstawieniu wartości otrzymuje się:

G5 = s 2  s

s 2 5s6 ⋅ 9

s 2 6s ⋅ s 2 8s12

3s3 = s  s 1

 s 2 s 3 ⋅ 9

s  s 6 ⋅  s 2 s 6

3 s 1 =

 s 2 s 3 ⋅ 9

s  s 6 ⋅  s 2 s 6

3 = s

 s 3 ⋅ 9

s  s 6 ⋅  s 6

3 = s

 s 3 ⋅ 9

s ⋅ 1

3 = 1

 s 3 ⋅9⋅ 1

3 =

= 3

 s 3

Pozostało policzyć transmitancję zastępczą ujemnego sprzężenia zwrotnego co zobrazowano na

rysunku.

Wówczas schemat można narysować jako pojedynczą transmitancję, co pokazano na poniższym

rysunku.

Transmitancję G6 oblicza się ze wzoru:

G6 = G5

G5 1

Po podstawieniu wartości otrzymuje się:

s 3

s 3 ⋅ s 3

 3

G6 =

 ⋅ s 3 = 3

 3



3 s 3 = 3

s 6

s 3 1

s 3 ⋅ s 3 s 3

i otrzymano transmitancję zastępczą całego układu.

= s

= 3

2. Obliczanie odpowiedzi impulsowych i

skokowych transmitancji

Zadanie 2.1

Oblicz i narysuj odpowiedź impulsową obiektu o transmitancji

G  s = 2

s 2

Zadanie polega na obliczeniu wzoru w postaci rzeczywistej (gdzie dziedziną jest czas) sygnału

wyjściowego y(t) gdy na wejście podano sygnał wejściowy w postaci delty Dirac'a (impuls). Czyli

u  t = t  . Obliczenia są wykonywane w dziedzinie liczb zespolonych (po transformacji

Laplace'a). Sygnał wejściowy u(t) należy przetransformować do postaci zespolonej, czyli:

u  t = t  → U  s =1

Badany układ można przedstawić graficznie:

Z definicji transmitancji wiemy, że:

G  s = Y  s 

U  s 

Przekształcając powyższy wzór otrzymuje się wzór na sygnał wyjściowy Y(s) w postaci zespolonej.

Y  s = G  s ⋅ U  s 

By obliczyć sygnał Y(s) potrzeba:

–wartości transmitancji (dane w zadaniu)

–wartości sygnału sterującego U(s) w postaci zespolonej (obliczone wcześniej)

Podstawiając do wzoru te wartości otrzymuje się:

Y  s = 2

s  a  e − a t

Przekształcając wzór na Y(s) otrzymano (liczbę stałą można wyłączyć przed transformatę –

analogicznie jak przy liczeniu np. pochodnej):

Y  s =2⋅ 1

s 2

Korzystając ze wzoru

s  a  e − a t

otrzymuje się ostatecznie:

y  t =2 e −2 t

By naszkicować wykres funkcji y(t) zastosowano pakiet Matlab/Simulink. Przebieg sygnału

wyjściowego przedstawiono na poniższym rysunku.

s 2 ⋅1= 2

s 2

Wyrażenie powyższe to wzór SYGNAŁU WYJŚCIOWEGO (który jest taki sam jak dana

transmitancja) w postaci zespolonej. Sygnał ten należy przetransformować do postaci rzeczywistej,

korzystając z tabeli z wykładu. Najbardziej podobnym wzorem jakiego należy użyć jest wzór:

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: