Przykłady rachunkowe do wykładu RPiSM.doc

Przykłady rachunkowe do wykładu

z „RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ”

część II

Przykład 36

Obliczyć wartość średnią i wariancję ciągłej zmiennej losowej X posiadającej równomierną gęstość prawdopodobieństwa w przedziale .

Rozwiązanie

Przykład 37

Zmienna losowa posiada quasinormalną gęstość prawdopodobieństwa

Należy obliczyć: dystrybuantę , wartość oczekiwaną, wariancję oraz współczynnik asymetrii A i spłaszczenia S.

Rozwiązanie

(po wprowadzeniu zmiennej pomocniczej t związanej z x zależnością  ).

.

Dalej obliczamy wartości momentów centralnych:

,

,

,

.

Przykład 38

Funkcja charakterystyczna zmiennej losowej X typu ciągłego jest następująca

Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa  i obliczyć odchylenie standardowe  zmiennej X.

Rozwiązanie

Wariancja zmiennej losowej X wynosi:

;

;

.

Przykład 39

Zmienna losowa ciągła X posiada normalny rozkład prawdopodobieństwa. Wartość średnia  a odchylenie standardowe . Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że X przyjmie wartość z przedziału (10, 50).

Rozwiązanie

;   ;  

Z tablic otrzymuje się:

Przykład 40

Dla doświadczenia z rzutem dwoma monetami, podać w tablicy wartości zmiennych i prawdopodobieństwa łączne oraz obliczyć dystrybuantę dwuwymiarową.

Rozwiązanie:

Dla rzutu dwoma monetami mamy następujące wartości zmiennych i prawdopodobieństwa:

Dla zmiennych losowych niezależnych zestawimy w tablicy wartości prawdopodobieństwa łącznego.

Obliczyć wartość dystrybuanty łącznej:

Dla

Dla

Dla

Dla

Dla

Przykład 41

Dana jest dwuwymiarowa gęstość prawdopodobieństwa

Należy obliczyć: gęstości jednowymiarowe  i , wartości średnie  i , wariancje  i , oraz kowariancję  i współczynnik korelacji .

Rozwiązanie

Wartości średnie:

Wariancje:

Kowariancja:

,

Współczynnik korelacji:

Przykład 42

Określić rozkład prawdopodobieństwa częstotliwości rezonansowej  obwodu LC w generatorze sygnału sinusoidalnego (rys.), jeśli jego pojemność C zmienia się według normalnego rozkładu prawdopodobieństwa

gdzie: C0 - wartość znamionowa pojemności, przy czym zakłada się, że indukcyjność obwodu L jest stała.

Rys. Schemat obwodu LC

Rozwiązanie:

Częstotliwość rezonansowa obwodu zmienia się w zależności od pojemności zgodnie z zależnością:

Funkcja odwrotna ma postać

Pochodna tej funkcji

i ostatecznie otrzymujemy

.

Przykład 43

Dany jest rozkład łączny współrzędnych kartezjańskich x i y punktu losowego na

płaszczyźnie (dla )

Należy znaleźć rozkład prawdopodobieństwa dla położenia punktu we współrzędnych biegunowych .

Rozwiązanie

,         .

Obliczamy jakobian przekształcenia:

.

Gęstość  na podstawie wzoru wynosi:

Zmienne losowe  są niezależne i:

     (rozkład Rayleigha),

      (rozkład równomierny).

Przykład 44

Zmienna losowa X ma rozkład normalny . Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa  zmiennej losowej. Wyznaczyć wartość oczekiwaną oraz wariancję.

Rozwiązanie

Otrzymana gęstość jest normalna i:

,

.

Na podstawie metody linearyzacji funkcji mamy:

.

Przykład 45

W obwodzie przedstawionym na rysunku  jest stałym źródłem napięciowym

i  jest zm. l. o rozkładzie jednostajnym między 900 i 1100 W. Należy wyznaczyć, stosując aproksymację, wartość średnią i wariancję prądu .

Rozwiązanie

...