3_Zadania.pdf

1 [21] Ela G. od dawna marzy o zwiedzeniu Luwru. Na wakacyjny wyjazd do Paryża

potrzebowałaby przynajmniej 1000 zł. Jest pilną studentką, dostaje stypendium naukowe

wysokości 200 zł. Na początku roku akademickiego postanowiła, że w każdym miesiącu

zaoszczędzi przynajmniej część stypendium. Znając siebie wie, że z każdego stypendium z

prawdopodobieństwem 0,2 nie odłoży ani grosza, z prawdopodobieństwem 0,7 wyda tylko

połowę stypendium, a z prawdopodobieństwem 0,1 zdoła oszczędzić całe 200 zł.

a) Jakie jest prawdopodobieństwo wyjazdu Eli do Paryża w czasie najbliższych wakacji?

b) Czy prawdopodobieństwo wyjazdu w czasie przerwy międzysemestralnej w następnym

roku jest większe od 0,8?

2 [23] Szpitalny Bank Krwi stara się nie dopuścić do braku odpowiedniej ilości krwi z każdej

grupy. Szczególnie trudno jest utrzymać wystarczający zapas krwi z grupy AB Rh-. Dla tej

grupy krwi został opracowany specjalny system uzupełniania poziomu zapasu, który

polega na regularnym dowożeniu ze Stacji Krwiodawstwa 1,5 litra krwi co 3 dni.

Posiadany zapas jest zużywany zgodnie z regułą FIFO. Po 3 tygodniach przechowywania

nie wykorzystana krew staje się niezdatna do użytku. W sytuacjach wyjątkowych jest

możliwość ekspresowego sprowadzenia dodatkowej krwi, lecz pociąga to za sobą znaczne

koszty. Przy użyciu modelu Markowa przeprowadzić analizę zapasu krwi w szpitalnym

banku wiedząc, że trzydniowy popyt na krew jest zmienną losową o wartościach 0, 1, 2, 3

litry przyjmowanych z odpowiednimi prawdopodobieństwami 0,2, 0,4, 0,3, 0,1.

3 [25] W 1997 roku w szkole podstawowej powstał gabinet stomatologiczny, w którym leczy

się dzieciom chore zęby oraz uczy prawidłowej profilaktyki. Na początku roku szkolnego

każdy uczeń przechodzi badanie kontrolne. W tabeli 3.1 jest podany odsetek uczniów, u

których w badaniu kontrolnym w 1997 i 1998 roku stwierdzono, odpowiednio, i oraz j

zębów wymagających leczenia.

Tabela 3.1

i, j 0 1 2 3

0 0,78 0,2 0,02 0

1 0,68 0,28 0,04 0

2 0,55 0,34 0,09 0,02

3 0,25 0,45 0,28 0,02

Kontrola z 1999 roku wykazała, że od 0 do 3 chorych zębów ma, odpowiednio, 48%, 34%,

11%, 7% uczniów.

a) Po ilu latach można spodziewać się, że przynajmniej 70% kontrolowanych uczniów będzie

miało zdrowe zęby?

b) Jakich wyników badania kontrolnego można oczekiwać w dziesiątą rocznicę powstania

gabinetu?

4 [32] Sprzedawca aparatów fotograficznych stosował optymalną politykę EOQ zarządzania

zapasem, wyznaczoną przy założeniu popytu stałego w czasie. Polegała ona na

zamawianiu 3 aparatów, gdy zapas spadał do zera. Średni odstęp między zamówieniami

wynosił 5 dni (roboczych), zamówienia składano w piątek wieczorem i rano w

poniedziałek towar był już w sklepie. Ponieważ założenie ustabilizowanego popytu

okazało się nierealistyczne, przeprowadzono odpowiednią obserwację statystyczną i

stwierdzono, że popyt w ciągu tygodnia jest zmienną losową o rozkładzie Poissona z

parametrem  = 1. Skorygowano politykę zapasu utrzymując piątkowy termin zamawiania,

ale tylko przy zerowym poziomie zapasu. Jeśli więc w piątek zapas aparatów jest dodatni,

z ewentualnym zamówieniem czeka się do następnego piątku. Budując model Markowa

tego problemu decyzyjnego zdefiniować stan fazowy jako wielkość zapasu w piątek

wieczorem. W poniedziałek rano w zapasie są 3 aparaty. Obliczyć prawdopodobieństwo

nieskładania zamówienia:

a) w najbliższy piątek,

b) w ten i następny piątek,

c) w trzeci piątek.

Obliczyć oczekiwany poziom zapasu na koniec:

d) tego tygodnia,

e) dziesiątego tygodnia.

5 [34] Producent telefonów komórkowych gwarantuje najwyższą jakość swych wyrobów. W

przypadku awarii telefonu w ciągu 2 lat od zakupu klient otrzymuje nowy aparat, ale

aparat otrzymany po wymianie nie podlega gwarancji. Prawdopodobieństwo uszkodzenia

aparatu w ciągu pierwszego roku wynosi 0,01, a w ciągu drugiego roku 0,03. W ostatnim

czasie sprzedano 1000 telefonów komórkowych.

a) Ile telefonów trzeba będzie wymienić?

b) Jakie byłyby skutki objęcia roczną gwarancją telefonów wydawanych w ramach wymiany?

c) Jakie byłyby skutki objęcia dwuletnią gwarancją telefonów wydawanych w ramach

wymiany?

6 [35] Klienci powstającej firmy ubezpieczeń komunikacyjnych będą klasyfikowani według

systemu bonus-malus, czyli zależnie od liczby szkód zgłoszonych w poprzednim roku.

Cztery wyróżnione klasy oznaczono numerami –1, 1, 2, 3. Nowy klient trafi do klasy 1,

gdzie obowiązuje składka o wysokości podstawowej. W klasie –1 składka wynosi 130%

składki podstawowej, w klasach 2 i 3, odpowiednio, 80% i 60% składki podstawowej. Po

każdym roku bez szkody ubezpieczony kierowca z klasy –1, 1 lub 2 przesunie się w górę o

jedną klasę, kierowca z klasy 3 pozostanie w tej klasie. Zgłoszenie jednej szkody będzie

pociągało za sobą spadek z klasy 2 lub 3 do, odpowiednio, klasy 1 lub 2, natomiast

zgłoszenie dwóch szkód lub więcej w tych klasach spowoduje spadek do klasy –1. Nawet

jedna szkoda w klasie 1 spowoduje spadek do klasy –1, a w klasie –1 zatrzyma kierowcę w

tej klasie. Można przyjąć, iż roczna liczba szkód zgłaszanych przez kierowcę jest zmienną

losową o rozkładzie Poissona z parametrem 0,4.

a) Zbudować model Markowa tego systemu ubezpieczeniowego.

b) Jakich wpływów ze składek firma może się spodziewać w kolejnych pięciu latach, jeśli

przewiduje się ubezpieczenie w pierwszym roku 9 tysięcy kierowców i roczny przyrost

liczby ubezpieczonych o 1 tysiąc?

c) Ile będzie wynosiła w tych latach przeciętna składka?

d) Obliczyć przeciętną wysokość składki w okresie stacjonarnym.

7 [42] W przedsiębiorstwie budowlanym spośród 1008 pracowników 100 osób ma staż 0 lat,

250 staż 3 lata, 500 staż 5 lat oraz 150 staż 16 lat. Pomijamy w rozważaniach 8

rekordzistów mających staż przynajmniej 21 lat i przyjmujemy, że maksymalny staż w tym

przedsiębiorstwie wynosi 20 lat. Prawdopodobieństwo odejścia z pracy w ciągu

pierwszego roku (pracownicy o stażu 0 lat) wynosi 0,2, dla osób o stażu 1 rok wynosi ono

0,1, dla osób o stażu 2 lub 3 lata jest identyczne i wynosi 0,05. Dla pracowników o stażu

dłuższym niż 3 lata można przyjąć, że to prawdopodobieństwo wynosi 0. Ilu pracowników

trzeba będzie przyjąć do pracy w ciągu najbliższych 5 lat, aby - uwzględniając fluktuację -

utrzymać stałą, przynajmniej w przybliżeniu, liczebność załogi?

8 [43] W ubiegłym miesiącu oddano do użytku nową miejską obwodnicę, wzdłuż której

ustawionych jest kilkaset latarń. Są to latarnie 2-lampowe, 4-lampowe i 6-lampowe. We

wszystkich latarniach znajduje się łącznie 1800 lamp. Mimo, że lampy pochodzą od

renomowanego producenta, mają niestety dosyć niską jakość. Z przeprowadzonych

wcześniej testów wynika, że rozkład prawdopodobieństwa uszkodzenia lampy jest

równomierny w okresie 10 miesięcy. Zarząd obwodnicy obiecuje na bieżąco usuwać

awarie, zatem prognoza uszkodzeń będzie jednocześnie prognozą zapotrzebowania na

nowe lampy.

a) Jakiej liczby awarii należy oczekiwać w poszczególnych miesiącach tego roku?

b) Czy miesięczna liczba awarii będzie podlegała stabilizacji wraz z czasem?

c) Jakiej liczby awarii i jakiej struktury tej zbiorowości można się spodziewać po upływie

kilku lat, jeśli w użyciu będą nadal takie same lampy?

d) Mimo zaufania do zarządu obwodnicy, iż dotrzyma obietnicy właściwej dbałości o

oświetlenie, rozpatrzmy 3 pesymistyczne scenariusze.

S1: uszkodzone lampy wymienia się raz na kwartał,

S2: uszkodzone lampy wymienia się raz na pół roku,

S3: uszkodzone lampy wymienia się raz na rok.

Jak wyglądałaby sytuacja na obwodnicy, gdyby zrealizował się któryś z powyższych

scenariuszy?

9 [44] Dobrze znana firma taksówkowa „Już jestem” dysponuje 90 samochodami bardzo

dobrej marki. Mimo starannej konserwacji i remontów, intensywnie eksploatowane

samochody najpóźniej po 5 latach nadają się na złom. Nieuniknione wypadki dodatkowo

skracają czas ich życia. Warunkowe prawdopodobieństwa przetrwania przez samochód

kolejnych lat wynoszą: 0,900, 0,900, 0,720, 0,504. Samochód wycofany z użytku jest

zastępowany nowym. Obecna struktura według wieku zasobów firmy „Już jestem” jest

wektorem

[50 0 20 20 0].

a) Ile wynosi przeciętny czas użytkowania taksówki w tej firmie?

b) Jakiej liczebności samochodów oraz ilu kasacji firma może spodziewać się w ciągu

najbliższych 4 lat, jeśli będzie wprowadzona jedna z następujących strategii

inwestycyjnych.

S1: W każdym roku kupuje się 20 nowych samochodów.

10 [46] Do osiedla mieszkaniowego doprowadza się ciepłą wodę z miejskiej

elektrociepłowni. Konserwacją i wymianą uszkodzonych odcinków sieci cieplnej zajmuje

się przedsiębiorstwo CZ. W CZ postanowiono przeprowadzić analizę stanu tej sieci.

Przyjęto za "obiekt" odcinek rury o długości 1 m. Ogólna długość sieci na osiedlu wynosi

9 km, przy czym obecnie w wieku 0 jest 1000 metrów rur, w wieku 1 roku - 3000 m, w

wieku 2 lat - 2000 m, w wieku 3 lat - 2000 m oraz w wieku 4 lat - 1000 m rur. Odnowa tej

sieci jest odnową prostą i jednorodną w sensie technicznym. Informacja o zanotowanych

awariach sieci w 1998 roku jest podana w tabeli 3.4.

S2: Co 2 lata kupuje się 40 nowych samochodów.

c) Ile samochodów należałoby kupować w kolejnych latach, aby z roku na rok ich liczebność

zwiększała się o 10?

Tabela 3.4

Wiek

(w latach)

Długość rur na początku 1998 r.

(w metrach)

Wymiany w 1998 r.

(w metrach)

1500

150

3000

6000

1200

3000

900

1500

Razem

15000

3750

a) Określić rozkład prawdopodobieństw śmierci i średnią trwałość rur.

b) Oszacować zapotrzebowanie na nowe rury w ciągu najbliższych 3 lat.

c) Oszacować roczny zakres wymian za około 20 lat, jeśli nie zmieni się typu używanych rur.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: