Zadania do samodzielnego rozwiązania.pdf

(183 KB) Pobierz
59578662 UNPDF
ZADANIADOSAMODZIELNEGOROZWIZNIA
oprac.I.Gorgol
1
Spistre±ci
1.Elementylogiki 3
2.Elementyrachunkuzbiorów 4
3.Funkcjezdanioweikwantyfikatory. 4
4.Funkcjazło»onaiodwrotna 6
5.Granicaci¡guliczbowego 7
6.Granicafunkcji 9
7.Ci¡gło±¢funkcji 11
8.Pochodnafunkcji 12
9.Reguładel’Hospitala 13
10.Zastosowaniarachunkuró»niczkowego 13
11.Liczbyzespolone
16
2
1.ELEMENTYLOGIKI
3
1.Elementylogiki
Zadanie1.1. Ustali¢,którezezda«s¡zdaniamiwsensielogicznym.Poda¢warto±¢logiczn¡tych
zda«.
(1)SymbolemLublinajestkoziołek. w=1
(2)ObecniewLubliniemieszkadwamilionyosób. w=0
(3)Dwaplusdwajestrównecztery. w=1
(4)Czydwaplusdwawynosicztery?
(5)Czyjesttozdaniewsensielogicznym?
(6)Uczsi¦pilnie!
(7)Jutrob¦dziepadałdeszcz.
(8)Krowajestzwierz¦ciemparzystokopytnym. w=1
(9)Okr¡gjestbrzegiemkoła. w=1
(10) jestliczb¡wymiern¡. w=0
Zadanie1.2. Sprawdzi¢,czynast¦puj¡ceformułys¡prawamirachunkuzda«:
(1)( p _ q ) ^ ( p = ) q ) N
(2)( p = ) q )= ) [( r ^ q )= ) ( r ^ p )] T
(3)( p = ) q )= ) ( q = ) r ) N
(4) { [( p ^ q )= ) r ] ^ [ p _ ( q = ) r )] } = ) ( p ^ q ^ r ) N
(5)[( p _ q ) ^ ( p = ) q )]= ) ( q = ) p ) N
(6)[( p = ) q ) ^ ( q = ) p )]= ) ( p _ q ) N
(7)[( p ^ q )= ) r ]= ) [( p ^ r )= ) ( q )] T
(8)[( p = ) q ) _ ( r = ) q )]= ) [( p ^ r )= ) q ] T
(9)[( p = ) q ) ^ p ]= ) q T
(10)[( p () q ) ^ ( r = ) q )] () [( p _ r )= ) q ] N
Zadanie1.3. Napisa¢zaprzeczenianast¦puj¡cychzda«lubformzdaniowych:
(1) x> 0 ^ x< − 2.
(2) x ¬ 0 _ x ­ 2.
(3)Dzieckozało»yłolew¡ipraw¡r¦kawiczk¦.
(4)Tumo»emyskr¦ci¢wlewolubwprawo.
(5)2 < 5 ) 3 < 5.
(6)Je»elipadadeszcz,toid¦podparasolem.
(7) x 2 − 3 x +2=0 ) ( x =1 _ x =2).
(8) W = P = R =0.
(9)Je»eliliczbajestpodzielnaprzez9,tojestpodzielnaprzez3.
(10)Okr¡gjestbrył¡wtedyitylkowtedy,gdy − 1jestkwadratemliczbyrzeczywistej.
Zadanie1.4. Sprawdzi¢,»eformuła( p , q ) , ( p , q )jesttautologi¡.Zastosowa¢t¦formuł¦
doponi»szychformzdaniowych.
(1) x 2 − 3 x +2=0 , ( x =1 _ x =2).
(2)Liczbadzielisi¦przez6wtedyitylkowtedy,gdydzielisi¦przez2idzielisi¦przez3.
(3) x − 1
Zadanie1.5. Wskaza¢warunkikonieczneorazwarunkidostateczne.Napisa¢implikacj¦odwrotn¡,
przeciwn¡iprzeciwstawn¡dodanej:
(1)Je»eliliczbadzielisi¦przez4,tojestliczb¡parzyst¡.
(2)Je»elikołomapromie«odługo±ci2,tojegopolewynosi4 .
(3)Je»elik¡tywpisanes¡opartenatymsamymłuku,tomaj¡równemiary.
(4)Je»eliczworok¡tjestkwadratem,tojestrombem.
(5)Je»eliliczbapierwszajestwi¦kszaod3,to2niejestjejdzielnikiem.
x − 2 > 0 , [( x> 1 ^ x> 2) _ ( x< 1 ^ x< 2)]
3.FUNKCJEZDANIOWEIKWANTYFIKATORY. 4
2.Elementyrachunkuzbiorów
Zadanie2.1. Danes¡zbiory A = { x 2 R: | x − 2 |¬ 2 } i B = { x 2 R: | x − 1 |­ 1 } .Znale¹¢zbiory
A [ B , A \ B oraz A \ B .
Zadanie2.2. Danes¡zbiory A = { x 2 R:
p
x 2 − 4 x +4 ¬ 1 } i B = { x 2 R: | x | > 1 } .Zaznaczy¢
zbiory( A [ B ) 0 , A 0 \ B oraz A \ B 0 .
Zadanie2.3. Danes¡zbiory A = { x 2 R: | x − 2 |¬ 2 } i B = { x 2 R: x − 1
x +2 > 2 } .Znale¹¢zbiory
A 0 [ B 0 oraz A 0 \ B 0 .
Zadanie2.4. Danes¡zbiory A = { x 2 R: | 3 − x |¬ 1 } i B = { x 2 R: 2 x
x − 2 < 1 } .Znale¹¢zbiory
A 0 [ B 0 oraz A 0 \ B 0 .
Zadanie2.5. Danes¡zbiory A = { ( x,y ) 2 R 2 : y +1 ­| x − 1 |} i B = { ( x,y ) 2 R 2 :3 y ¬− 3 x 2 +10 x } .
Wprostok¡tnymukładziewspółrz¦dnychzaznaczy¢iloczyntychzbiorów.
Zadanie2.6. Danes¡zbiory A = { ( x,y ) 2 R 2 : xy ¬ 4 } i B = { ( x,y ) 2 R 2 : x ­ 1 ^ y ­ 2 } .W
prostok¡tnymukładziewspółrz¦dnychzaznaczy¢iloczyntychzbiorów.
Zadanie2.7. Danes¡zbiory A = { ( x,y ) 2 R 2 : y ­ 2 x − 1 } i B = { ( x,y ) 2 R 2 : x 2 + y 2 ¬ 4 } .W
prostok¡tnymukładziewspółrz¦dnychzaznaczy¢iloczyntychzbiorów.
Zadanie2.8. Danes¡zbiory A = { ( x,y ) 2 R 2 : y ¬ sin x } i B = { ( x,y ) 2 R 2 : x> 0 ^ y ­ log 3 x } .
Wprostok¡tnymukładziewspółrz¦dnychzaznaczy¢iloczyntychzbiorów.
Zadanie2.9. Wiadomo,»e B = { x 2 R: x 2 ( − 2 , 3) } . Poda¢przykładzbioru A spełniaj¡cego
równo±¢:
A 0 \ B 0 = { x 2 R: x 2 ( −1 , − 4) [ ( − 4 , − 2 i[ (4 , 1 ) } .
Zadanie2.10. Wiadomo,»e A = { x 2 R: x 2 ( − 4 , − 1 i[h 0 , 2) } . Poda¢przykładzbioru B ,dla
któregoprawdziwajestrówno±¢:
A 0 [ B 0 = { x 2 R: x 2 ( −1 , − 3) [ ( − 3 , − 2 i[ ( − 1 , 0) [ (1 , 1 ) } .
3.Funkcjezdanioweikwantyfikatory.
Zadanie3.1. Oceni¢warto±¢logiczn¡zda«:
(1) ^
x 2 R
( x> 0 ^ sin x< 0), w =0
(4) ^
z 2 R
( z<z 2 _ z 2 +1 > 0), w =1
(2) _
y 2 N
( p y 2 N), w =1
(5) ^
a 2 R +
( a + 1
a ­ 0), w =1
(3) _
t 2 N
(6) _
x 2 R
( t 2 + t =0 ^ t<t 2 ), w =0
( x> 0 ) cos x> 0). w =1
Napisa¢zaprzeczeniapowy»szychzda«.
Zadanie3.2. Oceni¢warto±¢logiczn¡zda«:
(1) _
x 2 R
_
( x + y ) 2 = x 2 + y 2 +2 xy , w =1
(4) _
x 2 R
_
^
( x + y>n _ xy<n ), w =1
(2) ^
x 2 R
_
(5) ^
x 2 R +
y 2 N
^
n 2 N
( y>x ) p y> p x ). w =1
xy =1, w =0
(3) ^
m 2 N
_
y 2 R +
( m 2 >n _ m ¬ n ), w =1
n 2 N
Napisa¢zaprzeczeniapowy»szychzda«.
y 2 R
y 2 R
59578662.001.png 59578662.002.png 59578662.003.png 59578662.004.png
3.FUNKCJEZDANIOWEIKWANTYFIKATORY. 5
Zadanie3.3. Okre±li¢warto±¢logiczn¡poni»szegozdania.Odpowied¹uzasadni¢.
_
^
( a − 3) x 2 +( a +1) x +1 < 0 .
a 2 R
x 2 R
w =0
Zadanie3.4. Okre±li¢warto±¢logiczn¡poni»szegozdania.Odpowied¹uzasadni¢.
_
^
( b +1) x 2 +(2 b − 1) x + b> 0 .
b 2 R
x 2 R
w =1
Zadanie3.5. Przekształcaj¡cwyra»enie
_
( y 6 =0= ) y 3 − y 6 =0) ,
y
wprowadzi¢kwantyfikatorozasi¦guograniczonymorazoceni¢warto±¢logiczn¡otrzymanegozdania.
Zadanie3.6. Zbada¢dlajakichzbiorów A,X Rprawdziwejestzdanie
^
^
log a x< 0 .
a 2 A
x 2 X
( A =(1 , + 1 ) ^ X =(0 , 1)) _ ( A =(0 , 1) ^ X =(1 , + 1 ))
Zadanie3.7. Zbada¢dlajakichzbiorów A,X Rprawdziwejestzdanie
^
^
a x < 1 .
a 2 A
x 2 X
( A =(1 , + 1 ) ^ X =( −1 , 0)) _ ( A =(0 , 1) ^ X =(0 , + 1 ))
Zadanie3.8. Wyznaczy¢zakres T zmienno±cizmiennej t tak,byprawdziwebyłozdanie
^
^
sin x + 1
2 <t 2 +2 t − 3
.
2
t 2 T
x 2 R
T =( −1 , − 3) [ (1 , + 1 )
Zadanie3.9. Zapisa¢przyu»yciukwantyfikatoróworazoceni¢warto±¢logiczn¡poni»szychzda«.
Odpowied¹uzasadni¢.
(1)Sumadowolnychdwóchliczbrzeczywistychjestwi¦kszaodichró»nicy.
(2)Iloczynpewnychdwóchliczbrzeczywistychjestmniejszyodichilorazu.
(3)Istniej¡liczbynieb¦d¡cekwadratem»adnejliczbyrzeczywistej.
(4)Nieistniejeliczbarzeczywista,którejkwadratbyłbymniejszyodzera.
(5)Układrówna«: x + y =2,2 x +2 y =3niemarozwiaza«.
(6)Liczby5i17niemaj¡wspólnegodzielnika.
Odpowiedzi:
(1) ^
x 2 R
^
( x + y>x − y ), w =0,np.liczby − 2i − 1
(2) _
x 2 R
_
( xy< x
y ), w =1,np.liczby 1 2 i 1 4
(3) _
x 2 R
^
( x 6 = y 2 ), w =1,np.liczba − 1
(4) _
x 2 R
y 2 R
( x 2 < 0), w =1
(5) _
x 2 R
_
( x + y =2 ^ 2 x +2 x =3), w =0
(6) _
x 2 Z
y 2 R
( 5
x 2 Z ^ 17
x 2 Z). w =0,wspólnymdzielnikiemtychliczbjest1
y 2 R
y 2 R

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin