Temat07_rozwiazania.pdf

ROZWIĄZANIA ĆWICZEŃ

DOWODZENIE I

(1) Tomek nie jest zainteresowany Beatą; Staś natomiast bardzo chciałby się z nią

umówić.

(Zał.)

(2) Beata umówi się ze Stasiem albo wtedy, gdy zostanie przewodniczącym

samorządu albo, gdy się okaże, że Robert nie jest nią zainteresowany.

(Zał.)

(3) Staś zostanie przewodniczącym samorządu jeśli albo Cecylia nie umówi się z nim

albo Paweł nie zostanie wybrany do samorządu.

(Zał.)

(4) Cecylia nie umówi się ze Stasiem chyba, że Beata zaprosi ją na imprezę.

(Zał.)

(5) Jeśli Tomek nie jest zainteresowany Beatą, to Beata nie zaprosi ani jego ani

Cecylii na imprezę.

(Zał.)

(6) Beata nie zaprosi na imprezę ani Tomka ani Cecylii.

(5), (1)

(7) Cecylia nie umówi się ze Stasiem.

(4), (6)

(8) Staś zostanie przewodniczącym samorządu.

(3), (7)

(9) Beata umówi się ze Stasiem.

(2), (8)

Przykłady dowodów omawiane w Temacie 7, ale nie przedstawione w nim w

całości:

Przykład 5: Dowieść, że G ∧ [(A → B) → A]

Przykład 6: Dowieść, że B ∧ C

1. (A → B) → A Pr.

2. G ∧ H Pr.

3. G ∧Elim 2

4. G ∧ [(A → B) → A] ∧Wpr 3, 1

1. A → B

Pr.

2. A ∧ C

Pr.

3. C

∧Elim 2

4. A

∧Elim 2

5. B

→Elim 1, 4

6. B ∧ C

∧Wpr 5, 3

Przykład 5: Dowieść, że C

Przykład 6: Dowieść, że C

1. A → B

Pr.

1. A ∧ D

Pr.

2. (B → C) ∧ A

Pr.

2. (B → C) ∧ (A → B)

Pr.

3. B → C

∧Elim 2

3. B → C

∧Elim 2

4. A

∧Elim 2

4. A → B

∧Elim2

5. B

→Elim 1, 4

5. A

∧Elim 1

6. C

→Elim 3, 5

6. B

→Elim 4, 5

7. C

→Elim 3, 6

R7-1

Samouczek logiki zdań. Rozwiązania ćwiczeń (wersja wstępna)

Wszelkie prawa zastrzeżone

Uwagi proszę kierować na adres:

Katarzyna.Paprzycka@swps.edu.pl

Ćwiczenia na zastosowanie ∧ Elim i ∧ Wpr

∧ ElimWpr.I. Proszę uzupełnić brakujące informacje:

1. C

Pr.

1. A

Pr.

2. D

Pr.

2. B

Pr.

3. C ∧ D

∧Wpr 1, 2

3. A ∧ B

∧Wpr 1, 2

4. D ∧ C

∧Wpr 2, 1

4. B ∧ A

∧Wpr 2, 1

1. C

Pr.

1. A → B Pr.

2. C → D Pr.

3. (A → B) ∧ (C → D) ∧Wpr 1, 2

4. (C → D) ∧ (A → B) ∧Wpr 2, 1

2. A ∧ B

Pr.

3. C ∧ (A ∧ B)

∧Wpr 1, 2

4. (A ∧ B) ∧ C

∧Wpr 2, 1

1. ~A

Pr.

1. C ∨ A Pr.

2. ~D Pr.

3. (C ∨ A) ∧ ~D ∧Wpr 1, 2

4. ~D ∧ (C ∨ A) ∧Wpr 2, 1

2. ~~B

Pr.

3. ~A ∧ ~~B

∧Wpr 1, 2

4. ~~B ∧ ~A

∧Wpr 2, 1

1. (A → B) ∨ C Pr.

2. D Pr.

3. [(A → B) ∨ C] ∧ D ∧Wpr 1, 2

4. D ∧ [(A → B) ∨ C] ∧Wpr 2, 1

1. (A ∧ B) ∧ C

Pr.

2. A ∧ B

Pr.

3. C

∧Elim 1

4. A

∧Elim 2

1. ~A ∧ C

Pr.

1. (A ≡ B) ∧ C

Pr.

2. B ∧ ~D

Pr.

2. (C ≡ D) ∧ ~A

Pr.

3. ~A

∧Elim 1

3. C

∧Elim 1

4. C

∧Elim 1

4. A ≡ B

∧Elim 1

5. B

∧Elim 2

5. C ≡ D

∧Elim 2

6. ~D

∧Elim 2

6. ~A

∧Elim 2

Katarzyna Paprzycka, Samouczek logiki zdań (wersja wstępna): Temat 7. Dowodzenie I

R7-2

Ćwiczenia z dowodzenia ( ∧ Elim i ∧ Wpr)

∧ ElimWpr.II. W następujących dowodach brakuje dokładnie jednego kroku, aby dowieść

wniosku znajdującego się na ostatnim wierszu. Należy uzupełnić brakujący krok, uzasadnić

go, oraz uzasadnić krok ostatni :

1. C ∧ A

Pr.

1. C Pr.

2. B Pr.

3. B ∧ C ∧Wpr 2, 1

4. (B ∧ C) ∧ B ∧Wpr 3, 2

2. B

Pr.

3. A

∧Elim 1

4. A ∧ B

∧Wpr 3, 2

1. C ∨ D Pr.

2. B Pr.

3. B ∧ (C ∨ D) ∧Wpr 2, 1

4. [B ∧ (C ∨ D)] ∧ B ∧Wpr 3, 2

1. ~C Pr.

2. ~D Pr.

3. ~C ∧ ~D ∧Wpr 1, 2

4. (~C ∧ ~D) ∧ ~C ∧Wpr 3, 1

1. C

Pr.

1. C ∧ ~D Pr.

2. A → B Pr.

3. ~D ∧Elim 1

4. ~D ∧ (A → B) ∧Wpr 3, 2

2. A ∧ B

Pr.

3. A

∧Elim 2

4. A ∧ C

∧Wpr 1, 3

∧ ElimWpr.III. W następujących dowodach brakuje dokładnie dwóch kroków, aby dowieść

wniosku znajdującego się na ostatnim wierszu. Należy uzupełnić brakujący krok, uzasadnić

go, oraz uzasadnić krok ostatni:

1. A ∧ B

Pr.

1. (A ∧ B) ∧ C

Pr.

2. C ∧ D

Pr.

2. D

Pr.

3. A

∧Elim 1

3. A ∧ B

∧Elim 1

4. D

∧Elim 2

4. A

∧Elim 3

5. A ∧ D

∧Wpr 3,4

5. A ∧ D

∧Wpr 4,2

1. ~C ∧ ~D Pr.

2. A → B Pr.

3. ~D ∧Elim 1

4. ~D ∧ (A → B) ∧Wpr 3,2

5. [~D ∧ (A → B)] ∧ ~D ∧Wpr4, 3

1. C ∧ ~A

Pr.

2. D

Pr.

3. ~A

∧Elim 1

4. C

∧Elim 1

5. ~A ∧ C

∧Wpr 3,4

1. (A ∧ B) ∧ (C ∧ D)

Pr.

1. A Pr.

2. B Pr.

3. A ∧ B ∧Wpr 1,2

4. B ∧ A ∧Wpr 2,1

5. (A ∧ B) ∧ (B ∧ A) ∧Wpr 3,4

2. ~G

Pr.

3. A ∧ B

∧Elim 1

4. B

∧Elim 3

5. ~G ∧ B

∧Wpr 2,4

Katarzyna Paprzycka, Samouczek logiki zdań (wersja wstępna): Temat 7. Dowodzenie I

R7-3

∧ ElimWpr.IV. Proszę skonstruować następujące dowody:

Dowieść, że: (A ∧ C) ∧ [C ∧ (C ∧ A)]

Dowieść, że: (B ∧ C) ∧ (A ≡D)

1. A Zał.

2. C Zał.

3. A ∧ C ∧Wpr 1, 2

4. C ∧ A ∧Wpr 2, 1

5. C ∧ (C ∧ A) ∧Wpr 2,4

6. (A ∧ C) ∧ [C ∧ (C ∧ A)] ∧Wpr 3,5

1. (A ∧ B) ∧ ~C Zał

2. (C ∧ D) ∧ (A≡D) Zał.

3. A ∧ B ∧Elim. 1

4. B ∧Elim. 3

5. C ∧ D ∧Elim 2

6. C ∧Elim 5

7. B ∧ C ∧Wpr 4,6

8. A ≡ D ∧Elim 2

9 (B ∧ C) ∧ (A ≡D) ∧Wpr 7,8

Ćwiczenia na zastosowanie → Elim

Czy znajdą Państwo błąd w następującym dowodzie? Proszę skreślić nieprawidłowy krok –

odpowiedź znajdą Państwo w Rozwiązaniach.

1. A → B

Zał.

2. A

→Elim 1

3. B

→Elim 1,2

Aby zastosować regułę →Elim trzeba mieć dwa swobodnie stojące zdania: implikację oraz jej

poprzednik. Dopiero wówczas wolno zastosować →Elim. Błąd polegał tu na tym, że z implikacji

wyprowadzano jej poprzednik. Nie jest to dozwolone przez →Elim i słusznie, gdyż zdarzają się

prawdziwe implikacje o fałszywych poprzednik. Przykładem takiej implikacji jest np. „Jeżeli wygram

2mln złotych, to będę bogaty”. Zdanie to jest prawdziwe, nie wynika z niego jednak, że mówiący je

wygrał 2mln złotych.

→ Elim.I. Proszę uzupełnić brakujące informacje:

1. C → D

Zał.

1. ~A → D

Zał.

2. C

Zał.

2. ~A

Zał.

3. D

→Elim 1, 2

3. D

→Elim 1, 2

1. B → ~D

Zał.

1. (C ∨ A) → B

Zał.

2. B

Zał.

2. C ∨ A

Zał.

3. ~D

→Elim 1, 2

3. B

→Elim 1, 2

1. A → (D ∧ B)

Zał.

1. M → ~~N

Zał.

2. A

Zał.

2. M

Zał.

3. D ∧ B

→Elim 1, 2

3. ~~N

→Elim 1, 2

Katarzyna Paprzycka, Samouczek logiki zdań (wersja wstępna): Temat 7. Dowodzenie I

R7-4

1. C → D

Zał.

1. ~C

Zał

2. C

Zał.

2. ~C → (A ∧ B)

Zał.

3. D

→Elim 1, 2

3. A ∧ B

→Elim 1, 2

1. (A → B) → (C → D)

Zał

1. A → B

Zał

2. A → B

Zał.

2. (A → B) → (A ∨ B)

Zał.

3. C → D

→Elim 1, 2

3. A ∨ B

→Elim 1, 2

1. ~A → ~C

Zał

1. ~D

Zał.

2. ~A → D

Zał.

2. (~D → A) ∧ C

Zał.

3. ~A

Zał.

3. ~D → A

Zał.

4. ~C

→Elim 1, 3

4. A

→Elim 1,3

1. A → (A → B)

Zał

1. A → B

Zał

2. A

Zał.

2. A ∨ C

Zał.

3. [A → (A → B)] → B

Zał.

3. A

Zał.

4. B

→Elim 1, 3

4. B

→Elim 1, 3

1. ~D → ~C

Zał

1. ~(D ∧ A)

Zał.

2. A ≡ C

Zał.

2. (~D → A) → C

Zał.

3. ~D

Zał.

3. ~(D ∧ A) → ~C

Zał.

4. ~C

→Elim 1, 3

4. ~C

→Elim 1,3

1. A → B

Zał

1. (A → B) → C

Zał

2. B → C

Zał.

2. ~(B ∨ C)

Zał.

3. A

Zał.

3. A → B

Zał.

4. B

→Elim 1, 3

4. C

→Elim 1, 3

1. ~A → ~C Zał

2. A → (D → (A → C)) Zał.

3. A Zał.

4. D → (A → C) →Elim 2,3

1. ~A → ~C

Zał

2. A ∨ ~D

Zał.

3. (A ∨ ~D) → (~D ∧ ~B)

Zał.

4. ~D ∧ ~B

→Elim 2,3

Katarzyna Paprzycka, Samouczek logiki zdań (wersja wstępna): Temat 7. Dowodzenie I

R7-5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: