Wolnik B, Bołt W - Wielomiany.pdf - Matematyka. Algebra i Geometria - heroinka94

Wielomiany

Kursmatematykiworatorium

autoramimateriałóws¡:drBarbaraWolnikiWitoldBołt

17marca2006

Spistre±ci

1Podstawowepoj¦cia 1

2Wykresyiwłasno±ci 2

2.1Wielomiantrzeciegostopnia.................... 3

3Twierdzeniadotycz¡cewielomianów 4

4Wiadomo±cidodatkowe 4

4.1Sposobydzieleniawielomianów.................. 4

4.2Równo±¢wielomianów....................... 6

4.3Wielokrotnepierwiastkiwielomianu............... 7

4.4UogólnionewzoryViete’a..................... 9

5Zadania 10

5.1Zadaniaotwarte.......................... 10

5.2Zadaniatestowe........................... 15

6Ogłoszenia 20

6.1Zadaniedomowe.......................... 20

6.2Ogłoszeniadrobne......................... 20

1Podstawowepoj¦cia

Deﬁnicja1.1. Wielomianemstopnia n ( n 2 N )b¦dziemynazywa¢ka»d¡

funkcj¦ W : R ! R dan¡wzorem:

W ( x )= a n x n + a n − 1 x n − 1 + ... + a 1 x + a 0 ,

gdzie a n 6 =0oraz a n ,a n − 1 ,...,a 1 ,a 0 2 R .Liczby a n ,a n − 1 ,...,a 1 ,a 0 zwykło

nazywa¢si¦współczynnikami.Liczba a 0 cz¦stonazywanajestrównie»wyra-

zemwolnym.

Przykład1.2. Funkcja W ( x )=3 x 7 +4 x − 2jestwielomianemstopnia7.

Przykład1.3. Funkcja W ( x )=( m − 3) x 6 +4 x 5 − 3 x +14jestwielomianem,ale

stopie«tegowielomianuzale»yodwarto±ciparametru m :dla m 6 =3stopie«

W ( x )wynosi6natomiastdla m =3stopie« W ( x )wynosi5.

Uwaga1.4 (funkcjaliniowaikwadratowajakowielomiany) . Funkcjeliniowa

ikwadratowas¡wielomianami.Funkcjakwadratowajestwielomianemstopnia

2,funkcjaliniowapostaci f ( x )= ax + b ,gdzie a 6 =0jestoczywi±ciewielomia-

nemstopnia1,je±li a =0oraz b 6 =0tojesttowielomianstopnia0.Dodatkowo

przyjmujesi¦,»efunkcja f ( x )=0te»jestwielomianem,ajegostopie«wynosi

−1 .

2Wykresyiwłasno±ci

Wykresemwielomianujestkrzywa,któraprzypominaniesko«czeniedługidrut,

którydlaprostoty,b¦dziemywtejksi¡»ceokre±la¢jako„w¦»yk”.Wartowie-

dzie¢,»edlaka»degowielomianuzachodzikilkafaktówodno±niejegowykresu

iwłasno±ci:

• ilo±¢miejsczerowychwielomianunieprzekraczajegostopnia,

• ilo±¢ekstremówlokalnychwielomianujestmniejszaodjegostopnia.

Cowi¦cejwiemy,»e:

a)je±listopie«wielomianu n jestparzysty,to:

• obaramiona„w¦»yka”s¡skierowanewt¡sam¡stron¦(gdy a n > 0

towgór¦,agdy a n < 0towdół),

• mo»ewogólenieby¢miejsczerowych,

• jestnieparzystailo±¢ekstremów,tzn.jedno,trzy, ... lub n − 1.

b)je±listopie«wielomianu n jestnieparzysty,to:

• jednorami¦„w¦»yka”jestskierowanewgór¦,adrugiewdół(kierunek

prawegoramieniawyznaczamyzwspółczynnika a n ),

2.1Wielomiantrzeciegostopnia 3

• musiby¢przynajmniejjednomiejscezerowe,

• jestparzystailo±¢ekstremówlokalnych(tylesamomaksimówcomi-

nimów),tzn:zero,dwa, ... ,lub n − 1.

Fakt2.1. Wielomianjestfunkcj¡parzyst¡wtedyitylkowtedy,gdy„składa

si¦”wył¡czniezpot¦gparzystych(np.W ( x )= ax 6 + bx 4 + cx 2 + d).Wielomian

jestfunkcj¡nieparzyst¡wtedyitylkowtedy,gdy„składasi¦”wył¡czniezpot¦g

nieparzystych(np.Q ( x )= ax 7 + bx 3 + cx).

Uwaga2.2. Wyrazwolnywielomianutooczywi±ciepot¦gazerowa,czylipa-

rzysta.

Wniosek: Je±liwewzorzewielomianuwyst¦puj¡zarównopot¦giparzyste

jakinieparzyste,toniejestonokre±lonywzgl¦demparzysto±ci(niejest,ani

parzysty,aninieparzysty).

2.1Wielomiantrzeciegostopnia

Podczasrozwi¡zywaniaró»nychzada«cz¦stomamydoczynieniazwielomia-

nemstopnia3.Zewzgl¦dunajegoszczególnycharakter,poni»ejzebranoró»ne

jegowłasno±ci.Nale»yjednakzaznaczy¢,»ezazwyczajodnosz¡si¦onetylko

dowielomianówstopniatrzy.

Własno±ciwielomianutrzeciegostopnia. Wielomiantrzeciegostopnia

manast¦puj¡cewłasno±ci:

1.Wielomianstopnia3mo»emie¢jedyniejedno,dwalubtrzymiejsca

zerowe.

2.Wielomianstopnia3albomadwaekstrema(jednominimumijedno

maksimum)alboniemaichwcale(iwtedyjestfunkcj¡monotoniczn¡).

Zauwa»my,»eje±liwielomianmaposta¢ W ( x )= ax 3 + bx 2 + cx + d oraz

a 6 =0,topochodnategowielomianumaposta¢: W 0 ( x )=3 ax 2 +2 bx + c .

Mo»napoliczy¢dlapochodnej.Je±lijestdodatnia,topochodna

madwamiejscazerowe,wi¦cbadanywielomianmadwaekstrema.Je±li

jednak ¬ 0tobadanywielomian W jestmonotoniczny(pochodnama

stałyznak)iwzale»no±ciodwarto±ci a mo»eby¢stalerosn¡cylubstale

malej¡cy.

Problem 2.1 . Zastanówsi¦ilemiejsczerowychmo»emie¢dowolnafunkcja(nie

konieczniewielomian!),którajestmonotoniczna-toznaczyjestrosn¡ca,lub

malej¡ca,lubstaławcałejswejdziedzinie.

3Twierdzeniadotycz¡cewielomianów

Wtympodrozdzialezebranonajwa»niejszetwierdzeniadotycz¡cewielomia-

nów.Zapoznajsi¦ztre±ci¡tychtwierdze«isprawd¹czydokładnierozumiesz

ichtre±¢.Dobrepoznanietychtwierdze«jestotylewa»ne,»ewi¦kszo±¢zada«

owielomianach(lubzada«wktórychwjakiej±postacipojawiaj¡si¦wielo-

miany)wymagau»y¢niektórychznich.

Twierdzenie3.1 (orozkładzie) . Ka»dywielomianmo»narozło»y¢nailoczyn

czynnikówstopnianiewi¦kszegoni»2.

Przykład3.2. Rozło»ymykilkawielomianównaczynniki.

1. x 6 − 6 x 5 +9 x 4 = x 4 ( x 2 − 6 x +9)= x · x · x · x · ( x − 3) · ( x − 3),

2.6 x 5 − x 4 + x 3 = x · x · x · (6 x 2 − x +1),

3. x 4 + x 2 +1=( x 4 +2 x 2 +1) − x 2 =( x 2 +1) 2 − x 2 =( x 2 +1 − x )( x 2 +1+ x ).

Twierdzenie3.3 (odzieleniuwielomianów) . Je±liwielomianW ( x ) dzielimy

przezQ ( x ) idostajemywynikP ( x ) ireszt¦R ( x ) ,to:

W ( x )= P ( x ) Q ( x )+ R ( x ) .

Cowi¦cejstopie«R ( x ) jestmniejszyni»stopie«Q ( x ) .

Twierdzenie3.4 (twierdzenieBezoute’a) . Liczbaajestpierwiastkiemwie-

lomianuW ( x ) wtedyitylkowtedy,gdywielomianW ( x ) jestpodzielnyprzez

dwumian ( x − a ) .

Twierdzenie3.5 (rozszerzonetwierdzenieBezoute’a) . Resztazdzieleniawie-

lomianuW ( x ) przez ( x − a ) wynosiW ( a ) .

Twierdzenie3.6 (opierwiastkachwymiernychwielomianuowspółczynni-

kiachcałkowitych) . Je±liliczba p q ,gdziep,qtoliczbycałkowite,jestpierwiast-

kiemwielomianua n x n + a n − 1 x n − 1 + ... + a 1 x + a 0 ,gdziewszystkiewspółczynniki

s¡całkowite,topjestpodzielnikiema 0 ,natomiastqjestpodzielnikiema n ,

4Wiadomo±cidodatkowe

4.1Sposobydzieleniawielomianów

Wtwierdzeniachzpoprzedniegopunktucz¦stobyłamowaotym,zejeden

wielomianjestpodzielnyprzezdrugi,lub»edzielimyjedenwielomianprzez

4.1Sposobydzieleniawielomianów 5

drugi.Tutajzajmiemysi¦krótkotechnicznymimo»liwo±ciamiwykonaniata-

kichdziele«.

Dzieleniewielomianówprzypominadzieleniewzbiorzeliczbcałkowitych

lubnaturalnych(ijaksi¦okazuje,obieterzeczymaj¡bardzowielewspólnego).

Wynikiemdzieleniadwóchwielomianówjestbowiemzawszewielomian,oraz

mo»ezdarzy¢si¦tak,»epojawiasi¦dodatkowywielomianzwanyreszt¡—w

przypadkugdydzielenianiedasi¦wykona¢.

Najbardziejpowszechn¡iuniwersaln¡metod¡dzieleniawielomianówjest

dzielnietzw.pisemne,któradziałaanalogiczniedodzieleniapisemnegoliczb

naturalnychktóreznamyzeszkołypodstawowej.

Problem 4.1 . Przypomnijsobiejakwykonywa¢dzieleniewielomianówmetod¡

pisemn¡.

Dzieleniepisemnemalicznezalety.Najwa»niejszejestto,»emetodata

zawszedziała.Niestetyjednakdu»¡wad¡jestto,i»obliczeniabywaj¡nieraz

»mudne.Poznajemywi¦cinn¡metod¦.

MetodaHornera. Jesttometodapozwalaj¡cadzieli¢dowolnywielomian

W ( x )przezjednomianpostaci( x − p ),gdzie p 2 R .Nieb¦dziemytutajpoda-

wa¢dokładnegoopisutejmetody,anidowodupoprawno±cijejdziałania(takie

informacje—aszczególnie„sk¡dtowszystkosi¦bierze”mo»naznale¹¢wIn-

ternecie 1 ),zamiasttegopoka»emynaprzykładziejaksi¦t¡metod¦stosuj¦.Z

reszt¡,powinnaju»by¢do±¢dobrzeznanazeszkoły.

Przykład4.1. Podzielimywielomian W ( x )=7 x 4 +5 x 2 +3 x +1przez

Q ( x )= x +2.Zaczynamyodzapisaniatablicy.Wpierwszymjejwierszu

(poczynaj¡coddrugiejkolumny)zapisujemywspółczynnikiwielomianu,pa-

mi¦taj¡cotymbywypisa¢równie»terówne0.Wpierwszejkolumniedrugiego

wierszazapisujemyliczb¦ p ,awdrugiejkolumnie0.Wostatnimwierszuprze-

pisujemypierwszywspółczynnik—niezmieniony.

70531

− 20

Nast¦pniezostatniegowierszabierzemypierwsz¡(wtymprzypadkujedy-

n¡)liczb¦odstronyprawej,mno»ymyj¡przez − 2iwpisujemyw±rodkowym

1 Polecamystron¦ http://www.matematyka.org ,dział:licealista,algebra,wielomiany,

orazencyklopedi¦internetow¡Wikipedia http://pl.wikipedia.org .SchematHorneraopi-

sanowWikipediibardzoszczegółowo: http://pl.wikipedia.org/wiki/Schemat_Hornera .

Wolnik B, Bołt W - Wielomiany.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: