Def. Szereg nazywamy szeregiem naprzemiennym.
kryterium Leibniza. Jeżeli ciąg (an) jest nierosnący oraz a1 ³ a2 ³ ... ³ an ³ ... oraz lim an = 0, to szereg naprzemienny jest zbieżny.
kryterium Dirichleta. (an i bn dowolne) an monotonicznie maleje do zera oraz , to szereg jest zbieżny.
Def. Szereg zbieżny nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeżeli jest zbieżny szereg
Def. Szereg zbieżny nazywamy warunkowo zbieżnym, jeżeli szereg jest rozbieżny
Tw. Jeżeli szereg jest zbieżny, to jest bezwzględnie zbieżny szereg .
Def. Szereg o wyrazach nazywamy iloczynem Cauchy’ego szeregów. i .
Tw. (Cauchy’ego-Martensa o iloczynie szeregów). Jeżeli szeregi i są zbieżne, przy czym co najmniej jeden z nich jest bezwzględnie zbieżny, to ich iloczyn jest zbieżny, przy czym
Def. Ciąg. (Sn(x)) sum nazywamy szeregiem funkcyjnym i oznaczamy symbolem .
Def. Szereg funkcyjny nazywamy zbieżnym w zbiorze X, jeżeli ciąg jego sum częściowych jest zbieżny w tym zbiorze natomiast rozbieżnym w przeciwnym przypadku.
Funkcję graniczną S(x) nazywamy sumą szeregu funkcyjnego w zbiorze X i piszemy
Def. Ciąg funkcyjny (fn(x)) nazywamy zbieżnym (punktowo) w zbiorze X do funkcji granicznej f(x) i piszemy .
Def. (Cauchy) Ciąg funkcyjny (fn(x)) nazywamy jednostajnie zbieżnym w zbiorze X do funkcji granicznej f(x) i piszemy
Jeżeli ciąg (Sn(x)) jest jednostajnie zbieżny w zbiorze X, to szereg funkcyjny nazywamy jednostajnie zbieżnym w tym zbiorze. Jeżeli szereg funkcyjny jest zbieżny w zbiorze X i zbieżny jest szereg , to nazywamy go bezwzględnie zbieżnym w zbiorze X.
kryterium Weierstrassa. Jeżeli istnieje taka liczba naturalna N, że dla każdego n ³ N i dla każdego x Î X spełniona jest nierówność |fn(x)| £ an przy czym szereg liczbowy jest zbieżny, to szereg funkcyjny jest zbieżny w zbiorze X jednostajnie i bezwzględnie.
Tw. (Leibniz) Dany jest ciąg funkcyjny (fn(x)) na zbiorze D o wartościach R. Jeżeli fn(x) maleje do zera jednostajnie (ew. lokalnie jednostajnie) na D Þ jest zbieżny jednostajnie (ew. lok. jedn.) na D. Można oszacować |s(x) - sn(x)| £ fn+1(x).
Tw. (o całkowaniu szeregu funkcyjnego (wyraz po wyrazie)) Jeżeli szereg o wyrazach ciągłych w przedziale <a; b> jest w tym przedziale jednostajnie zbieżny, to .
Tw. (o różniczkowaniu szeregu funkcyjnego (wyr. po wyr.)) Jeżeli wyrazy szeregu funkcyjnego mają ciągłe pochodne fn’(x) w przedziale <a; b>, szereg funkcyjny jest zbieżny w tym przedziale, a ponadto szereg jest jednostajnie zbieżny w przedziale <a; b>, to dla każdego x Î <a; b>.
Def. Funkcję f Î C¥(Ux0, d) nazywamy analityczną w punkcie x0, jeżeli w otoczeniu Ux0, d jest ona sumą swojego szeregu Taylora. |x - x0| < d
Tw. Jeżeli f klasy C¥(Ux0, d) ma ograniczone pochodne, tzn. $M>0 "k³0 "xÎUx0, d’ < d |f(k)(x)| £ M, to f jest analityczna w x0, czyli x Î Ux0, d.
Tw. (N.H. Abel) Jeżeli szereg potęgowy jest zbieżny w punkcie x = 0, to jego suma jest w tym punkcie f ciągła: tzn. jeżeli szereg ma R = 1 i jest zbieżny w co najmniej jednym punkcie x0, to .
Def. Szereg funkcyjny nazywamy szeregiem potęgowym. Liczby a0, a1, ... oraz liczba x0 są tu dane, natomiast x jest zmienną.
Lemat. (o szeregu potęgowym). Jeżeli szereg jest zbieżny dla x = r ¹ 0, to jest zbieżny (bezwzględnie) dla każdego x spełniającego warunek |x| < |r|.
Def. Promieniem zbieżności szeregu potęgowego nazywamy kres górny zbioru wartości bezwzględnych wszystkich liczb x (Z), dla których ten szereg jest zbieżny. R = sup Z.
Tw. (o zbieżności szeregu potęgowego) Jeżeli promień zbieżności szeregu potęgowego R ¹ 0, to dla każdego dodatniego r < R szereg ten jest zbieżny bezwzględnie i jednostajnie w przedziale <-r; +r>.
wniosek 1. Szereg potęgowy jest zbieżny bezwzględnie i jednostajnie w każdym przediale domkniętym <a; b>, położonym wewnątrz przedziału zbieżności.
wniosek 2. Szereg potęgowy jest zbieżny bezwzględnie w całym wnętrzu (-R; +R) przedziału zbieżności.
wniosek 3. Suma szeregu potęgowego jest funkcją ciągłą w całym wnętrzu (-R; +R) przedziału zbieżności.
Tw. (o promieniu zbieżności). Jeżeli istnieje granica , to promień zbieżności szeregu potęgowego R = 1 / l.
Tw. (o całkowaniu sz. potęgowego) Jeżeli x należy do wnętrza przedziału zbieżności szeregu potęgowego, to
Tw. (o różniczkowaniu sz. potęgowego) Jeżeli x należy do wnętrza przedziału zbieżności szeregu potęgowego, to .
Tw. (Taylora) Jeżeli funkcja f ma ciągłe pochodne do rzędu (n-1) włącznie na przedziale domkniętym o końcach x0 i x oraz ma pochodną rzędu n wewnątrz tego przedziału, to istnieje taki punkt c, leżący między x0 i x, że .
Jeżeli funkcja ma w pewnym otoczeniu Q punktu x0 wsztstkie pochodne, to dla każdego x Î Q-{x0} i każdego n Î N , gdzie c jest liczbą z wnętrza przedziału o końcach x i x0.
Jeżeli istnieje otoczenie Q0, w którym (Rn(x) - n-ta reszta wzoru Taylora), to , dla każdego x Î Q0.
Lemat. (o reszcie wzoru Taylora) Jeżeli istnieje taka liczba M > 0, że dla każdego x Î Q0(x0; d) i dla każdego naturalnego na spełniona jest nierówność |f(n)(x)| £ M, to dla każdego x Î Q0 spełnione jest .
Def. Zbiór X nazywamy przestrzenią metryczną, jeżeli każdej parze (a, b) jego elementów jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba nieujemna r(a, b) taka, że:
Funkcję r(a, b), określoną na zbiorze wszystkich para punktów przestrzeni X, nazywamy metryką tej przestrzeni. Wartość funkcji r(a, b), czyli wartość metryki, nazywamy odległością punktu a od punktu b;
Lemat (Schwarza-Cauchy’ego) Dla każdych dwóch układów (u1, u2, ..., un) i (v1, v2, ..., vn) n liczb rzeczywistych prawdziwa jest nierówność . Nierówność tą nazywamy nierównością Schwarza-Cauchy’ego.
Def. (zbieżność w sensie metryki) Ciąg (xn) punktów przestrzeni X nazywamy zbieżnym w tej przestrzeni, jeżeli istnieje taki punkt x Î X, że . Piszemy wówczas .
Def. Mówimy, że ciąg (xn) punktów przestrzeni metrycznej X spełnia warunek Cauchy’ego w sensie metryki r(a, b) tej przestrzeni, jeżeli dla każdej liczby dodatniej e istnieje taka liczba d, że dla każdych dwóch liczba naturalnych r, s spełniających warunek min(r,s)>d, spełniona jest nierówność r(xr, xs) < e.
Lemat. Jeżeli ciąg (xn) punktów przestrzeni metrycznej X jest zbieżny w tej przestrzeni, to spełnia warunek Cauchy’ego w sensie jej metryki.
Def. Ciąg podstawowy punktów przestrzeni metrycznej X jest to ciąg spełniający warunek Cauchy’ego w sensie metryki tej przestrzeni.
Def. Przestrzeń zupełna jest to przestrzeń metryczna, w której jest zbieżny każdy ciąg podstawowy jej punktów.
Tw. (Banacha o punkcie stałym) Jeżeli operacja A jest określona na punktach przestrzeni metrycznej i zupełnej X, przy czym:
to w przestrzeni X istnieje dokładnie jeden punkt x* spełniający równanie x = A(x); punkt x* jest punktem granicznym ciągu kolejnych przybliżeń xn+1 = A (xn) , n = 0, 1, 2, ... , przy czym x0 jest dowolnym punktem przestrzeni X.
Przestrzeń Rn Zbiór wszystkich uporządkowanych układów (x1, x2, ..., xn), n liczb rzeczywistych (n ³ 1), nazywamy przestrzenią n-wymiarową Rn. Układy (x1, x2, ..., xn) nazywamy punktami przestrzeni Rn, liczby x1, x2, ..., xn - współrzędnymi prostokątnymi tych punktów.
Odległość dAB punktów A(a1, a2, ..., an) i B(b1, b2, ..., bn) przestrzeni Rn...
heroinka94