Cynk S - Krzywe eliptyczne.pdf - Matematyka. Krzywe eliptyczne - heroinka94

Notatki do wykładu

Krzyweeliptyczne

Instytut Matematyki

Uniwersytetu Jagiellońskiego

Semestr letni 2006

SławomirCynk

e-mail: cynk@im.uj.edu.pl

ROZDZIAŁ I

Funkcjeeliptyczne

Długość łuku elipsy x 2

a 2 + y 2

b 2 =1 ( a b 0) jest dana wzorem 4 aE

1 − ( a ) 2

, gdzie

E ( k )=

(1 − x 2 )(1 − k 2 x 2 ) dx

jest całką eliptyczną II rodzaju. Podobnie całka eliptyczna I rodzaju to

K ( k )=

(1 − x 2 )(1 − k 2 x 2 )

P ( x )) dx (gdzie R jest funkcja wymierną dwóch zmiennych, natomiast

P ( x ) jest wielomianem stopnia 3,4 bez pierwiastków podwójnych) można wyrazić przy po

mocy całek eliptycznych I, II lub III rodzaju. Całki eliptyczne można również sprowadzić

do przypadku P ( x )= x ( x − 1)( x − ) ( =0 , 1). Jeżeli liczby x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 są pierwiastkami

wielomianu stopnia cztery, to istnieje homograa, które przeprowadza te liczby w 0 , 1 , , ∞ ,

przy pomocy tej homograi dokonujemy stosownego podstawienia w całce.

Całkę postaci

P ( x )) dx (gdzie R jest funkcja wymierną dwóch zmiennych, nato

miast P ( x ) jest wielomianem stopnia 2 bez pierwiastków podwójnych) możemy sprowadzić

docałkifunkcjiwymiernejprzypomocypodstawieńEulera,geometryczniepodstawieniaEu

lera sprowadzają się do wymiernej parametryzacji stożkowej y 2 = P ( x ). Przykładem takiej

parametryzacji jest rzut stereograczny zpunktu na stożkowej (wskazannie punktu na stoż

kowej jestrównoważnezewskazaniemparametryzacjistożkowej).Jeżeli P ( x )= ax 2 + bx + c ,

to mamy trzy (częsciowo pokrywające się) przypadki

(I) a > 0, wybieramy punkt w neskończoności zadany przez kierunek asymptoty, wtedy

zamiast rzutu stereogracznego mamy rzut równoległy

(II) > 0, wtedy wybieramy punkt x 0 , 0, gdzie P ( x 0 )=0

(III) c> 0, wybrany punkt to (0 ,

R ( x,

√

c ).

Propozycja I.1. Krzywa y 2 = x ( x − 1)( x − ) ( = 0 , 1 ) nie posiada parametryzacji

wymiernej, tzn. jeżeli f,g ∈

C( t ) takie, że f 2 = g ( g − 1)( g − ) , to f,g = const.

Liouville udowodnił, że całki te są (dla k = ± 1) nieelementarne. Dowolną całke eliptycz

ną postaci

R ( x,

2 S. Cynk

Dowód. Niech f = r s ,g = q , ( p,q ) = ( r,s ) = 1. Wtedy r 2 q 3 = s 2 p 3 ( p − q )( p − q ),

a więc s 2 | q 3 i q 3 | s 2 , czyli s 2 = aq 3 , dla pewnego a ∈ k , i w konsekwencji aq = ( q ) 2 jest

kwadratem w K [ t ]. Również r 2 = apq ( p − q )( p − q ). Istnieją więc stałe b,c,d ∈ K takie, że

bp,c ( p − q ) ,d ( p − q ) są kwadratami w K [ t ]. Teza propozycji wynika więc z następującego

Lematu

Lemat I.2. Niech k ciało algebraicznie domknięte,p,q ∈ k [ t ] . Jeżeli cztery rózne kom

P 1 ) są kwadratami w k [ t ] , to

p,q są najmniejszego stopnia. Ponieważ p − q =( u − v )( u + v ) , p − q =( u − µv )( u + µv ),

gdzie µ 2 = .Azatem u − v,u + v,u − µv,u + µv sąkwadratamiw k [ t ],wbrewminimalności

€

Zamiast rozpatrywać całkęrzeczywistą, rozpatrujemy całkęzespoloną, wtedy załeżyona

od wyboru krzywej, a dokładniej tego, jak krzywa ”obiega” pierwiastki wielomianu P ( x ).

Wykres funkcji

P ( x ) powstaje przez sklejenie dwóch sfer Riemanna wzdłuż dwóch odcin

ków, a więc jest torusem. Całka jest określona z dokładnością do Z ! 1 + Z ! 2 , gdzie ! 1 i

! 2 są całkami dwóch po pętlach. Zamiast rozpatrywać funkcję wieloznaczną rozpatrujemy

odwrotną do niej funkcję dwuokresową

Definicja I.1. Kratą w C nazywamy dowolną podgrupę dyskretna rzędu 2.

Funkcją eliptyczną względem kraty Λ nazywamy funkcję meromorczną f ∈M (C) taką,

że f ( z + ! )= f ( z ), dla ! ∈ Λ.

Ciało funkcji eliptycznych względem kraty Λ oznaczamy przez C(Λ).

Uwaga. Dowolnakrataw C jestpostaci Z ! 1 +Z ! 2 dlapewnych ! 1 ,! 2 ∈

C ∗ ,Im( ! 1

DefinicjaI.2. Podstawowymrównoległobokiemkraty Λnazywamydowolnyzbiórpostaci

D := { a + t 1 ! 1 + t 2 ! 2 :0 t 1 ,t 2 < 1 } , gdzie a ∈

C, ! 1 ,! 2 stanowią bazę Λ.

Zatem C / Λ powstaje ze sklejenia przeciwległych boków równoległoboku, a więc jest to

rusem. Stosując zasadę maximum otrzymujemy następującą propozycję

Propozycja I.3. Funkcja eliptyczna bez biegunów jest stała.

Twierdzenie I.4. Niech f ∈

C(Λ) . Wtedy

binacje liniowe ( p + µq ) (tzn. dla czterech różnych ( : µ ) ∈

p,q ∈ k .

Dowód Lematu. Możemy przyjąć, że p,q,p − q,p − q są kwadratami w k [ t ]. Wtedy

p = u 2 ,q = v 2 ,u,v ∈ k [ t ] , ( u,v ) = 1 , max(deg u, deg v ) < max(deg p, deg q ). Przyjmując, że

stopni dla p i q .

! 2 ) =0.

Rozdział I.Funkcje eliptyczne

(a)

! ∈ C /

res w f =0 ,

(b)

! ∈ C /

ord w f =0 ,

(c)

! ∈ C /

(ord w f ) w ∈ Λ .

! ∈ C / oznacza, że sumujemy po dowolnym równoległoboku podstawowym. W

(a) i (b) suma nie zależy od wyboru równoległoboku, natomiast w (c) różni się tylko o

element kraty.

Dowód. Wybieramy podstawowy równoległobok D taki, że f nie ma biegunów ani zer

na @D .

(a) Na mocy twierdzenia o residuach

res w f = 1

2 i

f ( z ) dz,

! ∈ C /

ale całki po przeciwległych bokach znoszą sie z okresowości funkcji f .

(b) Podobnie z twierdzenia o residuach pochodnej logarytmicznej

ord w f = 1

2 i

f ′ ( z )

f ( z ) dz.

! ∈ C /

(ord w f ) w = 1

2 i

f ′ ( z )

f ( z ) zdz.

! ∈ C /

€

DefinicjaI.3. Rzędemfunkcjieliptycznej nazywamyliczbębiegunów(zer)wdowolnym

podstawowym równoległoboku.

Propozycja I.5. Funkcji eliptyczna różna od stałej ma rząd równy co najmniej 2.

Dowód. Gdyby funkcja miała rząd równy 1, to miałaby jedyny (modulo krata) biegun

rzędu 1 o residuum równym zera, sprzeczość.

€

Definicja I.4. Niech Λ będzie kratą. Funkcja } Weierstrassa (względem Λ) jest zde

niowana przy pomocy szeregu

} ( z, Λ):= 1

z 2 +

( z − ! ) 2

− 1

! 2

! ∈

! =0

Szeregiem Eisensteina wagi 2 k (względem Λ) nazywamy szereg

G 2 k (Λ):=

! 2 k .

! ∈

! =0

Symbol

S. Cynk

Zamiast

będziemy pisać

′ .

! ∈

! =0

! ∈

Twierdzenie I.6. Niech Λ bedzie dowolną kratą.

\ Λ .

Deniuje on funkcję mającą biegun podójny o residuum równym zero w każdym

punkcie kraty Λ .

Dowód. (a) i (b) wynikają z prostych (ale długich) oszacowań.

za wyrazem.

} ′ ( z )= − 2

! ∈

} ( z + ! )= } ( z )+ c ( ! ) , dla z ∈

\ Λ ,

gdzie c ( ! ) nie zależy od z . Przyjmując z = − 2 otrzymujemy

} ( !

2 )= P ( − !

2 )+ c!,

więc c ( ! )=0, co kończy dowód.

€

Twierdzenie I.7. Jeśli Λ jest kratą, to

C(Λ)= C( },} ′ ) .

} ′ ( z ) ,

więc bez straty ogólności możemy przyjąć, że f jest parzystą funkcją eliptyczną. Wtedy

ord w f =ord = w f dla dowolnego w ∈

Dowód. Niech f ( z ) ∈

C(Λ).Ponieważ f ( z )= 2 ( f ( z )+ f ( − z ))+ } ′ ( z )

2 ( f ( z ) − f ( − z )) 1

C oraz ord w f jest parzysty dla 2 w ∈ Λ.

Mamy więc

i ( } ( z ) − } ( a i )

i ( } ( z ) − } ( b i ) ,

gdzie2 m jestkrotnościazeraw ! ∈ Λ, { a i ,! − a i } sązerami,natomiast { b i ,! − b i } biegunami

f w C / Λ.

f ( z )= c} ( z ) − m

€

Twierdzenie I.8.

(a) Szereg Laurenta funkcji } w sąsiedztwie 0 ma postać

} ( z )= 1

∞

z 2 +

(2 k +1) G 2 k +2 z 2 k .

k =1

(a) Szereg Eisensteina G 2 k (Λ) jest bezwzględnie zbieżny dla k > 1 .

(b) Szereg deniujący funkcję } jest absolutnie i niemal jednostajnie zbieżny w C

( z − ! )63 .

Stąd natychmiast wynika, że } ′ jest funkcją eliptyczną, a więc

Cynk S - Krzywe eliptyczne.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: