Wislicki W - Wykłady ze statystyki matematycznej.pdf - Matematyka. Prawdopodobienstwo i Statystyka - heroinka94

PODSTAWY RACHUNKU PRAWDOPODOBIE NSTWA

Teoria prawdopodobie nstwa narodziła sie w XVII wieku we Francji, w zwiazku

z grami losowymi. Jej podstawy znalazły sie w korespondencji P. Fermata z B.

Pascalem. Jednak aksjomatyzacja rachunku prawdopodobie nstwa zrobiona została

dopiero w roku 1933, przez Andrieja Kołmogorowa, i opublikowana w Podstawach

teorii prawdopodobienstwa . Istnieje wiele aksjomatyzacji rachunku prawdopodobe nstwa,

lecz kołmogorowowska jest uznana za klasyczna i ja przyjmiemy.

Niech

bedzie niepustym zbiorem, zawierajacym wszystkie mozliwe charak-

terystyki zdarze n,

, n.p. takie jak wyniki eksperymentów lub obserwacji:

Zbiór

nie musza byc liczbami.

Moga one byc n.p. jakosciami, takim jak oletowosc lub uczciwosc .

Niech

nie musi byc przeliczalny, zas charakterystyki

bedzie rodzina wszystkich podzbiorów

. Elementy zbioru

nazy-

wac bedziemy zdarzeniami . N.p. zdarzeniami sa

, przy czym

zdarzenia takie jak ostatnie, tzn. skladajace sie z jednej charakterystyki, nazy-

wamy zdarzeniami elementarnymi . Zwrócmy uwage na rózne typy logiczne charak-

terystyk i zdarze n.

Mozna miec czesto watpliwosc, czy dana charakterystyka

jest prosta, czy

złozona, i jak wtedy odróznic zdarzenie elementarne od nieelementarnego.

Aby

tego kłopotu uniknac, przyjmujemy ze charakterystyki

sa predykatami logicznymi

pierwszego rzedu , w sensie uzywanym w logice. Oznacza to, ze predykaty sa op-

eratorami okreslonymi na obiektach nie bedacych zdaniami, a ich wartosciami sa

tzw. zdania atomowe. Predykatem (lub funkcja zdaniowa) bedziemy nazywali

wyrazenie dotyczace własnosci obiektów lub relacji miedzy nimi, jak na przyład

jest niebieski lub

. Predykaty nie posiadaja wartosci logicznej prawda

lub fałsz . Dopiero predykat zastosowany do jakiegos obiektu moze miec wartosc

logiczna. Ta zas, w przypadku zda n atomowych, moze byc rozstrzygnieta dzieki

znajomosci tozsamosci obiektu, o którym predykat orzeka. Na przykład, predykat

jest oletowa , zastosowany do danego obiektu jagoda , tworzy zdanie atomowe:

Jagoda jest oletowa , które moze byc prawdziwe lub fałszywe, w zaleznosci od

stanu rzeczy.

Zas, na przykład, predykat

w zastosowaniu do

rzeczy-

wistego niezerowego tworzy zdanie prawdziwe, zas w zastosowniu do

urojonego

niezerowego – fałszywe. W problem ustalania prawdziwosci zda n nie wgłebiamy

sie w tej chwili.

Zdarzenie jest pojeciem uzywanym w lozoi i w naukach w rozmaitym sensie.

Najogólniej, mozna by je okreslic jako cos, co zachodzi , ale to zwykle niczego

nie wyjasnia, gdyz trzeba by zdeniowac, co to znaczy zachodzic . W literaturze

lozocznej spotyka sie za to wiele tekstów poswieconych odróznianiu zdarze n od

innych kategorii metazycznych, takich jak obiekty, fakty, własnosci badz chwile,

oraz badaniu róznych typów zdarze n.

Najpewniejsze, z naszego punktu widzenia, bedzie okreslenie zdarzenia na grun-

cie logiki, jako zdania prawdziwego. Na przykład zdanie

rzeczywis-

tego niezerowego jest zdarzeniem, zas to samo dla urojonego – nie jest zdarzeniem.

dla

Mamy wtedy denicje wystarczajaco pojemna, aby zmiescic tez inne zdarzenia,

takie których ustalanie jes przedmiotem nauki, jak zdarzenia zyczne ( Temperatura

w pokoju wynosi 20 "

), a takze zdarzenia bedace przedmiotem innych ludzkich akty-

wnosci, n.p. zdania zbudowane z predykatów etycznych lub estetycznych ( Ta pani

jest brzydka ). Za te pojemnosc płacimy niekiedy wielka trudnoscia w stwierdzeniu

prawdziwosci zda n, czyli zachodzenia zdarze n.

Formalnie, moglibysmy podac denicje

Denicja 1 (Zdarzenie) Niech #%$’&)(+* , , ,-* &/.10

bedzie poprawnie zbudowanym syn-

taktycznie zdaniem wiazacym predykaty

Zdarzeniem

opisy-

wanym przez zdanie

nazywamy zbiór wszystkich predykatów spełniajacych

czyli dla których

jest funkcja jednej zmi-

ennej, to odpowiednie zdarzenie nazywamy zdarzeniem atomowym.

jest prawdziwe. Jesli

Podsumowujac: zdarzenia elementarne odpowiadaja zdaniom atomowym, zas

zdarzenia nieelementarne – zdaniom złozonym.

Zauwazmy, ze uzywana tu notacja mnogosciowa nie specykuje struktury zda n

złozonych, które tworza zdarzenie złozone, a jedynie predykaty składowe.

Denicja 2 (Algebra Borela) Rodzine 8

podzbiorów 5

nazywamy algebra Borela

(lub

-algebra, lub przestrzenia Borela), gdy

3. Dla kazdej pary zbiorów ;A( *B;DCE3=8

, zachodzi ;A(1F2;DCG3 8

Z denicji tej wynika natychmiast, ze

Za Kołmogorowem deniujemy

Denicja 3 (Funkcja prawdopodobie nstwa) Niech

bedzie funkcja

, o nastepujacych własnosciach:

, takich ze ;_MjikblH

, zachodzi N)$‘;lF=im0cbnN2$‘;A0poqN)$’im0

jest takze domkniety

ze wzgledu na przeliczalna sume mnogosciowa zdarzen. Daje to wzmocnienie

denicji prawdopodobienstwa o warunek przeliczalnej addytywnosci:

Uzupełnimy nasza denicje o dodatkowe załozenie, ze zbiór 8

4. Dla kazdej przeliczalnej rodziny rAs

tvuVwyx

parami rozłacznych podzbiorów z

zachodzi:

Funkcje

nazywamy funkcja prawdopodobienstwa lub prawdopodobienstwem.

Warunek przeliczalnej addytywnosci jest nieco nadmiarowy w rachunku prawdopodobie nstwa

i ogranicza go do klasy procesów losowych addytywnie przeliczalnych.

Denicja 4 (Przestrze n probabilistyczna) Przestrzenia probabilistyczna nazywamy

trójke

Zgodnie z naszymi rozwazaniami o zdarzeniach, mozemy sformułowa c denicje

prawdopodobie nstwa przy pomocy rachunku zda n.

Denicja 5 (Logiczna denicja prawdopodobie nstwa) Niech

bedzie zbiorem

zdan logicznych. Okreslamy funkcje prawdopodobienstwa

, o nastepujacych

własnosciach:

2. Jesli ’

jest tautologia rachunku zdan, to

3. Dla kazdej pary zdan wykluczajacch sie logicznie, tzn. takich ze

jest

antytautologia, zachodzi

Podobnie jak w denicji mnogosciowej, mozemy denicje logiczna uzupełnic

o addytywna przeliczalosc, przez dokładna analogie.

Denicja 6 (Prawdopodobie nstwo warunkowe) Prawdopodobienstwo zdarzenia

pod warunkiem zdarzenia •

deniujemy jako

o ile

Zauwazmy, ze nie precyzujemy zupełnie, w jakim sensie uzywamy terminu warunk-

owe . A nie jest to obojetne interpretacyjnie.

Denicja 7 (Prawdopodobie nstwo łaczne) Prawdopodobienstwo łaczne dwóch zdarzen

deniujemy jako

z czego widac natychmiast, ze

Mozemy indukcyjnie rozszerzyc te denicje na prawdopodobienstwo łaczne dowol-

nej liczby zdarzen.

jest tym samym co

Jesli

nie jest zawarunkowane

, to intuicyjnie chcielibysmy, aby

, co natychmiast daje

czyli prawdopodobie nstwo łaczne faktoryzuje sie. Powyzsza równosc słuzy jako

denicja stochastycznej niezaleznosci zdarze n.

Z oczywistego faktu, ze operacja mnogosciowa

jest przemienna, wynika ze

, co prowadzi natychmiast do

Twierdzenie 1 (Twierdzenie Bayesa)

Korzystajac z denicji prawopodobie nstwa warunkowego i z własnosci addyty-

wnej przeliczalnosci, łatwo pokazac, ze

Twierdzenie 2 Jesli 'B ž X“‹« ® ›

“v ¯ V °

jest przeliczalna rodzina zdarzen parami rozłacznych

i pokrywajaca –

w sposób zupełny, to dla kazdego ‡†=·

Dowód:

Prowadzi to do innej wersji twierdzenia Bayesa, która jest podstawa estymacji

bayesowskiej:

Twierdzenie 3 (Twierdzenie Bayesa) Jesli ' …ž f“‹«

jest przeliczalna rodzina zdarzen

parami rozłacznych i pokrywajaca –

w sposób zupełny, to dla kazdego ‡†=·

i dla

kazdego `2 Â ˜ˆ

ZMIENNE LOSOWE

Do charakteryzowania zdarze n niepewnych lub zle okreslonych słuza zmienne

losowe.

Denicja 8 (Zmienna losowa) Zmienna losowa

nazywamy funkcje rzeczywisa

okreslona na przestrzeni probabilistycznej

, taka ze

, któremu mozna przyp-

isac prawdopodobienstwo, Własnsc te nazywamy mierzalnoscia funkcji

jest zdarzeniem, czyli elementem

wzgledem przestrzeni ¸

Denicja 9 (Dystrybuanta) Prawdopodobienstwo zdarzenia

nazywamy

dystrybuanta (lub funkcja rozkładu) zmiennej losowej

w punkcie

i oznaczamy

, z oczywistym uogólnieniem na zmienne wielowymiarowe:

Znajac dystrybuante, mozna obliczac prawdopodobie nstwa dowolnych zdarze n:

Powyzsza całka jest w sensie Riemanna-Stieltjesa, co nalezy rozumie c nastepujaco

Denicja 10 (Całkowanie w sensie Riemanna-Stieltjesa) Niech ð v¨ ¾× X˝

beda

funkcjami rzeczywistymi, ograniczonymi, okreslonymi na odcinku domknietym òôó› ˚Bı„ ö .

i æ%¨ × X˝

Okreslmy podział odcinka

oraz sme Riemanna

Jesli istnieje granica

lim max

, w sensie wspólnej granicy ciagu

całek majoryzujacych

i minoryzujaacych

, to nazywamy ja całka Riemanna-

Stieltjesa funkcji ð

wzgledem miary

i oznaczamy

Wislicki W - Wykłady ze statystyki matematycznej.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: