Zakres Analiza Matematyczna 3.pdf

WojciechMa¢kowiak

20maja2004roku

ZagadnieniazanalizyIII

ICi¡gło±¢odwzorowa«.

1.Przestrzeniemetryczne.

•zbioryotwarte,domkni¦te,ograniczone,otoczeniepunktu

•ci¡gipunktówwprzestrzenimetrycznejiichzbie»no±¢

•punktyskupieniazbiory,punktyizolowane

•ci¡giCauchy’ego,przestrzeniezupełne

•przestrzenie(zbiory)zwarte,zbioryzwartew R n

•zupełno±¢azwarto±¢przestrzenimetrycznej

•przestrzenie(zbiory)spójne

2.Ci¡gło±¢odwzorowa«wprzestrzeniachmetrycznych.

•granicaodwzorowania

•ci¡gło±¢odwzorowania,warunkirównowa»nedeﬁnicjici¡gło±ci

•własno±ciodwzorowa«ci¡głych

•odwzorowaniaci¡głenazbiorachzwartych

•odwzorowaniaci¡głenazbiorachspójnych

3.Przestrzeniefunkcyjne.

•przestrze«funkcjiograniczonychnazbiorachzwartych

•przestrze«odwzorowa«liniowychici¡głych

•warunkirównowa»neci¡gło±ciodwzorowa«liniowych

IIRó»niczkowanieodwzorowa«(wprzestrzeni R n ).

1.Pochodnarz¦dupierwszego.

•pochodnaodwzorowaniajakoodwzorowanieliniowe(ci¡głe),jednoznaczno±¢pochodnej

•ci¡gło±¢aró»niczkowalno±¢

•liniowo±¢operacjiró»niczkowania

•ró»niczkowaniezło»enia

•pochodnakierunkowaapochodnecz¡stkowe

•pochodnakierunkowaapochodneodwzorowania

•macierzJackobiego,jakobian(pochodnecz¡stkowearó»niczkowalno±¢odwzorowania)

•odwzorowaniaklasyC 1

•twierdzenieowarto±ci±redniej

•twierdzenieolokalnymodwracaniu(dyfeomorﬁzmu),pochodnaodwzorowaniaodwrotnego

•funkcjeuwikłane,ichpochodna

•twierdzenieorz¦dzie

•ró»niczkaodwzorowania

2.Pochodnewy»szychrz¦dów.

•pochodnarz¦dudrugiegojakoodwzorowaniedwuliniowe,ci¡głe

•odwzorowaniaklasyC 2

•symetriadrugiejpochodnej

•pochodnakierunkowaipochodnecz¡stkowerz¦dudrugiego

•pochodnakierunkowaapochodnarz¦dudrugiego

•twierdzenieSchwartza(opochodnychmieszanych)

•pochodnewy»szychrz¦dów,wzórTaylora

•ekstremalokalne,warunkikonieczne,warunekdostateczny(formykwadratowe,ichokre±lono±¢)

•ekstremaglobalne

•ekstremawarunkowe,warunekkoniecznyidostatecznyichistnienia(metodamno»nikówLagrange’a)

IIIZbiorypunktówwprzestrzeni R n .

1.krzywenapłaszczy¹nie

2.krzyweipowierzchniew R 3

3.płaszczyznastycznaiprostanormalnadopowierzchni

4.hiperpłaszczyznaiprostaw R 3

5.rozmaito±ci(gładkie)k-wymiarowewprzestrzeni R n

6.przestrze«stycznadorozmaito±ciwjejpunkcie,wi¡zkastyczna

7.pochodnagładkiegoodwzorowaniarozmaito±ci

8.własno±cipochodnejodwzorowaniarozmaito±ci

9.rozmaito±¢zbrzegiem

IVCałkowanieodwzorowa«.

1.MiaraJordanazbiorupłaskiego(poleobszarupłaskiego).

2.Całkapodwójna-deﬁnicja,własno±ci,sprowadzaniedocałkiiterowanej,tw.ozamianiezmiennych,za-

stosowania(poleobszarupłaskiego,obj¦to±cbryły,polepłatapowierzchniowego).

3.MiaraJordanaobszaruprzestrzennego(obj¦to±cobszaru).

4.Całkapotrójna–analogiczniejakcałkapodwójna.

5.Całkakrzywoliniowa(zfunkcjirzeczywistej2i3zmiennych)nieskierowana(niezorientowana).

6.Całkapowierzchniowaniezorientowana.

7.Polawektorowe–gradient,rotacjaidywergencjapolawektorowego.

8.k-tensory–iloczyntensorowy,alternacjatensora,iloczynzewn¦trznyijegowłasno±ci.

9.k-formyró»niczkowe,posta¢kanoniczna,operacjaprzenoszenia,ró»niczkaformyró»niczkowejijejwła-

sno±ci.

10.Całkowanieformró»niczkowych–całkakrzywoliniowaipowierzchniowa(zorientowana),tw.Stokesa.

11.Polaiformynarozmaito±ci,operacjaprzenoszenia,ró»niczkaformyró»niczkowejnarozmaito±ci,orientacja

przestrzeni R n iprzestrzenistycznejdorozmaito±ci,orientacjabrzegu.

12.Całkaporozmaito±ciitw.Stokesa(ogólne),przypadkiszczególnetw.Stokesa(tw.Greenaitw.Gaussa).

VMiaraicałkaLebesgue’a.

1.-ciałoimiarana-ciele,zmiarazupełna.

2.Miarazewn¦trznaitw.orodziniezbiorówspełniaj¡cychwarunekCaratheodory’ego.

3.MiaraLebesgue’aizbiorymierzalnewsensieLebesgue’a,-ciałozbiorówBorela,warunkirównowa»ne

mierzalno±cizbioruwsensieLebesgue’a.

4.Funkcjemierzalne,deﬁnicjeiwłasno±ci,twierdzenieoaproksymacjifunkcjimierzalnejfunkcjamischod-

kowymi(mierzlanymi),mierzalno±cifunkcjirównowa»nych.

5.CałkaLebesgue’a–deﬁnicjaiwłasno±ci,funkcjecałkowalnewsensieLebesgue’a,tw.Lebesgue’a(ozbie»-

no±cimonoticznej,ograniczonej),porównaniezcałk¡Riemanna,twierdzenieFubiniego.

6.Przestrze«L 2 funkcjicałkowalnychzkwadratem.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: