Metody numeryczne w1.pdf

(155 KB) Pobierz
Metody numeryczne (analiza numeryczna)
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 1
Metody numeryczne (analiza numeryczna )
- nauka zajmująca się rozwiązywaniem problemów matematycznych
metodami arytmetycznymi
- sztuka doboru spośród wielu możliwych procedur takiej, która jest
„najlepiej” dostosowana do rozwiązania danego zadania
b
Oszacowanie błędu numerycznego obliczenia przy n+1
f
(
x
)
dz
a
obliczeniach wartości f(x)
Metoda trapezów
(
b
a
)
3
f
'
'
(
ξ
1 )
12 n
2
Metoda Simpsona
(
b
a
)
5
f
(
4
)
( ξ
2 )
180 n
4
W1 - 1
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 1
1. Odpowiednie sformułowanie zadania
2. Metoda numeryczna + analiza błędu
3. Algorytm
4. Implementacja
1. Błąd danych wejściowych
2. Błąd zaokrągleń w czasie obliczeń
3. Błąd metody (obcięcia)
4. Błąd wnoszony przez uproszczenia modelu matematycznego
5. Błąd człowieka
~ jest przybliżeniem wartości dokładnej a
Błąd bezwzględny:
~
a
=
a
~
Błąd względny:
ε
=
a
=
a
,
a
0
a
a
~
=
a
+
=
a
+
ε +
a
=
(
1
ε
)
ε
=
a
=
~
a
=
~
1 ≠
,
a
0
a
a
a
a
a
a
uogólnienie na wartości wektorowe
szacowanie modułów błędów
W1 - 2
a
115603059.010.png
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 1
Przenoszenie się błędów w obliczeniach numerycznych
1. Analiza bezpośrednia krok po kroku:
~ =
y
4 .
4
poprawnie zaokrąglona, więc
4
.
35
<
y
<
4
.
45
y <
0 .
05
ε
<
0
05
=
0
0115
4
35
~ =
2 .
0976
2
.
0857
<
y
<
2
.
1095
y <
0 .
0119
ε
y <
0 .
0057
~ =
10 .
3
poprawnie zaokrąglona, więc
10
.
25
<
x
<
10
.
35
x <
0 .
05
ε
<
0
.
05
=
0
.
049
x
10
.
25
.....................................................................
5175
~
=
ln(
~
+
~
)
=
2
2
5125
<
ln(
x
+
y
) <
2
5225
z
<
0
005
ε
<
0
0020
W1 - 3
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 1
2. Wykorzystanie podstawowych wzorów
ε
1
,
~
1
,
1
,
x
2
,
~
2
,
ε
2
Iloczyn:
y =
x
1 x
2
~
~
ε
=
1
2
1
=
x
1
(
1
+
ε
1
)
x
2
(
1
+
ε
2
)
1
=
(
1
+
ε
)(
1
+
ε
)
1
ε +
ε
więc
ε <
ε
+
ε
y
1
2
1
2
y
1
2
x
x
x
x
1
2
1
2
Pierwiastek:
y =
x
~
ε
=
x
1
=
x
1
+
ε
)
1
=
(
1
+
ε
)
1
=
1
+
1
ε
1
ε
2
+
.....
1
1
ε
więc
ε y
<
1
ε
y
x
x
2
8
2
2
x
Iloraz:
y =
1
x
~
2
ε
=
1
x
2
1
=
x
1
(
1
+
ε
1
)
x
2
1
=
(
1
+
ε
1
)
1
=
(
ε
1
ε
2
)
ε
ε
więc
ε +
<
ε
ε
y
~
1
2
y
x
x
x
(
1
+
ε
)
(
1
+
ε
)
(
1
+
ε
)
1
2
1
2
2
2
2
Suma:
y ±
=
x
x
1
2
~
~
ε
=
1
±
x
2
1
=
x
1
(
1
+
ε
1
)
±
x
2
(
1
+
ε
2
)
1
=
x
1
ε
1
±
x
2
ε
2
więc
y
x
±
x
x
±
x
x
±
x
x
±
x
1
2
1
2
1
2
1
2
ε
<
x
1
ε
+
x
2
ε
y
1
2
x
±
x
x
±
x
1
2
1
2
W1 - 4
z
x
y
x
115603059.011.png 115603059.012.png 115603059.013.png 115603059.001.png 115603059.002.png 115603059.003.png 115603059.004.png 115603059.005.png 115603059.006.png
Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Metody Numeryczne wykład 1
3. Metoda przybliżona
~
~
~
~
~
x
=
(
x
1
,
x
2
,...,
x
n
)
=
(
1
,
2
,...,
n
)
y
x
)
,
y
=
y
)
y
x
)
=1
n
y
(
~
)
y
x
x
i
i
<
=1
n
y
(
~
)
y
x
x
i
i
ε
=
y
n
x
i
y
(
~
)
x
i
=
n
x
i
y
(
~
)
ε
y
x
y
y
x
x
y
x
i
i
=
1
i
i
i
=
1
i
ε
<
=
n
x
i
y
(
~
)
ε
x
y
x
i
1
i
metodą przybliżoną
ε
<
0
0024
W1 - 5
115603059.007.png 115603059.008.png 115603059.009.png
 
Zgłoś jeśli naruszono regulamin