Czasami, rozważając jakiś problem, możemy opisać zależność między badanymi wielkościami za pomocą funkcji kwadratowej. Korzystając z własności tej funkcji, możemy wówczas odpowiedzieć na pytania dotyczące tych wielkości.
1. Z drutu długości 100 cm zrobiono szkielet prostopadłościanu o podstawie kwadratowej. Przy jakiej długości krawędzi podstawy pole powierzchni całkowitej ma wartość największą ?
Oznaczmy krawędź podstawy przez x, a krawędź boczną przez y. Wówczas krawędzie obu podstaw mają długość 8x. Ponieważ razem wszystkie krawędzie prostopadłościanu mają długość 100 cm, więc cztery krawędzie boczne mają długość
x 4y = 100 – 8x
Zatem jedna krawędź boczna y ma długość
y =
y = 25 – 2x
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe sumie pól wszystkich jego ścian. Stąd
P = 2x2 + 4xy
Pola dwóch podstaw Pola czterech ścian bocznych
będących kwadratami będących prostokątami
Po podstawieniu y = 25 – 2x otrzymujemy
P = 2x2 + 4x(25-2x)
P = 2x2 + 100x - 8x2
P = -6x2 + 100x
Otrzymaliśmy funkcję kwadratową, która osiąga wartość największą, gdyż a < 0. Sporządzamy jej wykres. W tym celu wyznaczamy współrzędne wierzchołka.
a = -6 b = 100 c = 0
D = b2 – 4ac = 1002 - 4×0×(-6) = 1002
(p) =
(q) =
Funkcja osiąga największą wartość dla x = .
Odp. Pole powierzchni całkowitej jest największe i wynosi , gdy długość krawędzi
podstawy wynosi .
2. W centrali telefonicznej pewnej firmy można dokonać 325 różnych wewnętrznych połączeń. Ile wewnętrznych telefonów ma ta firma ?
Jeżeli liczbę telefonów oznaczymy przez x, to z każdego telefonu można wykonać x – 1 wewnętrznych połączeń. Przy każdym wewnętrznym połączeniu zajęte są dwa telefony, wobec tego liczba możliwych połączeń wynosi . Otrzymujemy więc równanie
=325 /× 2
x(x-1) = 650
x2 – x – 650 = 0
Rozwiązując to równanie kwadratowe otrzymamy szukaną liczbę telefonów.
a = 1 b = -1 c = -650
D = b2 – 4ac = (-1)2 - 4×1×(-650) = 1 + 2600=2601
D >0, więc są dwa rozwiązania
i
x1 = -25 i x2 = 26
Ponieważ liczba telefonów nie może być liczbą ujemną, więc jedynym rozwiązaniem jest 26.
3. Średnia dzienna produkcja mleka w pewnym gospodarstwie wzrastała przez dwa lata o ten sam procent w skali roku. Na początku wynosiła 450 litrów, na końcu 648 litrów. Ile procent wynosił przyrost produkcji ?
Jeżeli oznaczymy przez x procent wzrostu produkcji, to po pierwszym roku produkcja wynosiła 450 + 450.
Po drugim roku produkcja będzie wynosiła 450(1 + ) + 450(1 + ) .
Stąd mamy równanie
450(1 + ) + 450(1 + ) = 648
Po przekształceniu
450(1 + ) (1 + )= 648
450(1 + )2 = 648 / : 450
(1 + )2 =
(1 + )2 = 1,44
(1 + )2 = 1,22 lub (1 + )2 = (-1,2)2
1 +=1,2 lub 1 += -1,2
= 1,2 –1 lub = -1,2 –1
=0,2 /×100 lub =-2,2 /×100
x = 20 lub x = -220
Ponieważ wzrost produkcji był dodatni, więc drugie rozwiązanie musimy odrzucić.
Odp. Produkcja mleka wzrastała z roku na rok o 20%.
4. W ustalonej płycie w kształcie prostokąta o bokach 6,8 dm i 4,6 dm należy wyciąć otwór prostokątny o polu 9,68 dm2 tak, aby krawędzie otworu znajdowały się w jednakowej odległości od odpowiednich krawędzi płyty. Znajdź szerokość otrzymanej ramy.
Oznaczmy szerokość ramy przez x.
x
4,6 dm
6,8 dm
Wówczas wymiary otworu mają długości (6,8 – 2x) i (4,6 – 2x). Mamy zatem równanie
(6,8 – 2x)(4,6 – 2x) = 9,68
31,28 – 13,6x – 9,2x + 4x2 –9,68 = 0
4x2 – 22,8x + 21,6 = 0
a = 4 b = -22,8 c = 21,6
D = b2 – 4ac = (-22,8)2 - 4×4×21,6 = 519,84 – 345,6 = 174,24
lub
x1 = 1,2 lub x2 = 4,5
...
marysiari