W zbiorze liczb rzeczywistych można wyróżnić szczególne podzbiory, zwane przedziałami. Ich obrazem na osi liczbowej jest odcinek lub półprosta. Wyróżniamy następujące rodzaje przedziałów :
a) domknięty obustronnie lub jednostronnie
b) otwarty
c) nieograniczony.
Przedział domknięty <a;b> jest to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek a £ x £ b
tzn.
<a;b> = { x : xÎ R i a £ x £ b }.
Np. <2;5> = { x : x Î R i 2 £ x £ 5 }
· ·
2 5
Do takiego przedziału należą wszystkie liczby pomiędzy 2 i 5 oraz końce przedziału, czyli 2 i 5 (przynależność końców zaznaczamy na rysunku zamalowanym kółkiem).
Przedział domknięty lewostronnie <a;b) jest to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek a £ x < b
<a;b) = { x : xÎ R i a £ x < b }.
Np. <-3;7) = { x : x Î R i -3 £ x < 7 }
·
-3 7
Do tego przedziału należą wszystkie liczby zaczynając od –3 do 7, ale bez 7.
Przedział domknięty prawostronnie (a;b> jest to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek a < x £ b
(a;b> = { x : xÎ R i a < x £ b }.
Np. (-3;7> = { x : x Î R i -3 < x £ 7 }
W tego typu zbiorach „otwarte” końce przedziałów oznaczają, że ten kraniec nie należy do przedziału – na rysunku oznaczamy to „pustym” kółkiem.
Przedział otwarty (a;b) jest to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek
a < x < b
(a;b) = { x : xÎ R i a < x < b }.
Np. (-3;7) = { x : x Î R i -3 < x < 7 }
° °
Przedział nieograniczony (a;¥) jest to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek a < x
(a;¥) = { x : xÎ R i a < x }.
Np. (-3;¥) = { x : x Î R i -3 < x }
-3
Mogą być jeszcze przedziały nieograniczone
<a;¥)
a
(-¥;a)
(-¥;a>
Ćwiczenie 1
Rozwiąż ćwiczenie A i B str. 80 oraz ćwiczenie C a) str. 81w podręczniku.
Przedziały liczbowe to zbiory liczbowe, więc można wyznaczyć ich sumę, iloczyn i różnicę.
Najłatwiej znaleźć te zbiory zaznaczając oba dane przedziały na jednej osi liczbowej ( każdy przedział zaznaczamy inaczej, tzn. jeden np. zamalowując na niebiesko, a drugi na zielono).
Sumą danych przedziałów jest zbiór, którego lewym końcem jest punkt najdalej wysunięty na osi w lewo, należący do jednego z przedziałów, a prawym końcem punkt najbardziej wysunięty w prawo . Częścią wspólną przedziałów jest ten zbiór, który na rysunku jest zamalowany jednocześnie dwoma kolorami. Różnicą przedziałów jest ta część rysunku, która należy do pierwszego z przedziałów, ale nie pokrywa się z żadną częścią drugiego przedziału.
Np.
Wyznacz sumę, iloczyn i różnicą przedziałów (1;4) i <0;3>
0 1 3 4
(1;4) È <0;3> = <0;4)
(1;4) Ç <0;3> = (1;3>
(1;4) \ <0;3> = (3;4)
<0;3> \ (1;4) = <0;1>
Ćwiczenie 2
Rozwiąż zadania: 1, 3, 4 str. 82, 7,12 str. 83 w podręczniku.
Rozwiąż zadania: 3, 5 str. 78, 9 str. 79 w podręczniku.
Proszę również dokładnie zapoznać się z przykładami zawartymi w podręczniku.
marysiari