A] każdy niepusty i ograniczony z góry zbiór liczb rzecz. ma kres górny
B] każdy niepusty i ograniczony z dołu zbiór liczb rzecz. ma kres dolny
- wzór de Moivre’a
,k=0,1,...,n-1
Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną, p0ÎX, r>0 kulę otwartą (domkniętą) o środku w punkcie p0 i promieniu r nazywamy zbiór
Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną
1] Otoczeniem punktu p0ÎX nazywamy każdą kulę otwartą o środku w punkcie p0. Promień tej kuli nazywamy promieniem tego otoczenia.
2] Punkt p nazywamy punktem skupienia zbioru EÌX jeśli w każdym otoczeniu tego punktu istnieje punkt q¹p, qÎE.
3] Jeśli pÎE i p nie jest punktem skupienia zbioru E, to p nazywamy punktem _______ zbioru E.
4] Zbiór E nazywamy domkniętym jeśli każdy punkt skupienia tego zbioru należy do E.
5] Punkt p nazywamy punktem wewnętrznym zbioru E jeśli istnieje takie otoczenie K(p,r) tego punktu takie że K(p,r)ÌE (tzn. jeśli pÎE wraz z pewnym swym otoczeniem).
6] Zbiór E nazywamy otwartym jeśli każdy punkt zbioru E jest jego punktem wewnętrznym.
7] Dopełnieniem zbioru E do przestrzeni X nazywamy zbiór E’=X\E={pÎX:pÏE}
8] Zbiór E nazywamy ograniczonym jeśli istnieje kula (otwarta lub zamknięta) zawierająca ten zbiór.
9]Zbiór E nazywamy gęstym w X jeśli każdy punkt przestrzeni XÎE lub jest punktem skupienia tego zbioru.
Zbiór G jest otwarty Û gdy jego dopełnienie jest zbiorem domkniętym, zbiór F jest domkniętym Û gdy jego dopełnienie jest zbiorem otwartym.
Pokryciem otwartym zbioru E w przestrzeni metrycznej zbioru X nazywamy rodzinę {Ga} zbiorów otwartych w przestrzeni X spełniających warunek
Jeśli każde pokrycie otwarte zbioru K zawiera podpokrycie skończone (tzn. jeśli dla każdego pokrycia otwartego {Ga} zbioru K istnieje skończona liczba wskaźników a1,a2,...,an takich, że KÌGa1È...ÈGan)
Podzbiór E przestrzeni metrycznej X nazywamy zbiorem spójnym jeśli nie istnieją dwa zbiory A i B otwarte w przestrzeni X, rozłączne mające niepuste części wspólne ze zbiorem E (tzn. AÇE¹Æ i BÇE¹Æ) i takie że EÌAÈB.
Każdy nieskończony ograniczony podzbiór przestrzeni Rk ma punkt skupienia w Rk.
Ciąg {pn} punktów przestrzeni metrycznej X nazywamy zbieżnym w tej przestrzeni jeśli istnieje punkt pÎX taki że
Fakt zbieżności ciągu {pn} można zapisać
Ciąg {pn} nazywamy ograniczonym, gdy zbiór wartości tego ciągu (tj. zbiór punktów pn) jest ograniczony.
Ciąg {pnj} nazywamy podciągiem ciągu {pn}, jeśli ciąg {pn} jest zbieżny bo jego granicę nazywamy granicą częściową ciągu {pn}.
Ciag {pn} w przestrzeni metrycznej X nazywamy ciągiem couchego jeśli:
Każdy ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej jest ciągiem Couchego.
Przestrzeń metryczną X nazywamy zupełną jeśli każdy ciąg Couchego w tej przestrzeni jest zbieżny.
Niech {xn} będzie ciągiem w R. Mowimy że ten ciąg jest rozbieżny do +¥ (co zapisywaliśmy:
Jeśli
Jeśli {xn}, {yn}, {zn} są ciągami w R2 i xn£yn£zn dla prawie wszystkich n oraz , to
Szereg jest zbieżny Û
Jeśli szereg jest szeregiem zbieżnym to
Niech dany będzie szereg i niech
1] Jeśli a<1 to szereg jest zbieżny
2] Jeśli a>1 to szereg jest rozbieżny
Dowód 1]. Ponieważ a<1 więc istnieje bÎR takie że a<b<1 z ________ wynika że istnieje z kolei takie n0ÎN że tzn.
Lecz 0£a£b<1 a więc szereg jest szeregiem geometrycznym zbieżnym i w konsekwencji jest także zbieżny na mocy z tw.25a
2] Jeśli a>1 wtedy dla nieskończenie wielu wyrazów ciągu {an} spełniona jest nierówność |an|>1
Istnieje podciąg ciągu jest zbieżny do a. A więc w otoczeniu znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu . A więc nieskończenie wiele wyrazów ciągu
Nieskończenie wiele wyrazów tego ciągu spełnia nierówność bowiem dla a>1 skąd |an|>1 dla nieskończenie wiele wyrazów ciągu {an}. Oznacza to że ciąg {an}nie jest zbieżny do 0. I tym samym jest rozbieżny, gdyż nie spełnia warunku koniecznego.
Szereg nazywamy bezwzględnie zbieżnym jeśli szereg jest zbieżny. Jeśli szereg jest zbieżny bezwzględnie to jest zbieżny. Jeśli szereg jest zbieżny, ale nie jest zbieżny bezwzględnie to nazywamy go warunkowo zbieżnym.
Def. Iloczynem Couchego szeregu i nazywamy szereg gdzie, n=0,1...n
Kryterium porównawcze.
A] Jeśli |an|£cn dla prawi wszystkich n i jeśli szereg jest zbieżny to szereg jest zbieżny.
B] Jeśli an³dn³0 dla prawie wszystkich n i jeśli szereg jest rozbieżny to szereg jest rozbieżny.
Kryterium d’Alamberta.
Niech an¹0, nÎN szereg
A] Jest zbieżny jeśli granica górna
B] Jest rozbieżny jeśli dla prawie wszystkich n.
Kryterium Dirichleta anÎC.
Jeśli sumy częściowe szeregu są ograniczone zaś jest nierosnący i zbieżny do zera ciągiem liczb rzeczywistych to jest zbieżny.
Kryterium Abela’.
Jeśli szereg (anÎC) jest zbieżny natomiast jest monotoniczny (nie rosnący albo nie malejący) i ograniczonym ciągiem liczb rzeczywistych to szereg jest zbieżny.
Kryterium Abela’’.
Jeśli szerg jest dowolnym szeregiem rozbieżnym o wyrazach dodatnich natomiast jest zdefiniowany jest ciągiem sum częściowych tego szeregu to szereg jest dla a>1 zbieżny, a dla a£1 rozbieżny.
...
agro_3