Topologia I - wykłady i zadania - S.Betley, J.Chaber, E.Pol.pdf - MAT Topologia. Topology - kf.mtsw

StanisławBetley,JózefChaber,El»bietaPoliRomanPol

TOPOLOGIAI

wykładyizadania

WSTP.

Materiałwskrypcieodpowiadaprogramowizaj¦¢zTopologiiIwtrzecimse-

mestrzestudiównaWydzialeMIMUniwersytetuWarszawskiegoijestopartyna

naszychdo±wiadczeniachzwykładówi¢wicze«dotegoprzedmiotu.

Programdopuszczadu»¡ró»norodno±¢wrozło»eniuakcentównaposzczególne

tematyiprzedstawionymateriałjestwynikiemwypo±rodkowanianaszychpogl¡-

dównatekwestie,pocz¡tkowodo±¢rozbie»nych.Mamynadziej¦,»etowywa»enie

ró»nychpunktówwidzeniaprzyniesiepo»yteku»ytkownikomskryptu.

Wcz¦±cidotycz¡cejhomotopiiumie±cili±mykonstrukcj¦grupypodstawowej.

Je±liwsemestrzejestpełnych30godzinwykładówi¢wicze«,czaspozwalana

wystarczaj¡codobreomówienietejtematyki.Wprzeciwnymrazie,jakwynikaz

naszychdo±wiadcze«,mo»naj¡jedyniezarysowa¢nawykładzie,niewł¡czaj¡c

do¢wicze«.

Wzagadnieniachdotycz¡cychiloczynówkartezja«skich,oddzielili±myiloczyny

sko«czoneodprzeliczalnych.Teostatnieumieszczones¡wcz¦±ciachopatrzonych

gwiazdk¡isugerowaliby±my,abykoncentrowa¢si¦naomówieniuiloczynówsko«-

czonych.

WUzupełnieniach,opróczkilkuwyja±nie«iprzykładów,którechcieli±mywy-

dzieli¢zgłównegotekstu,doł¡czyli±mypewnewa»netematyspozaprogramu,w

tymdowodytwierdze«BrouweraiTichonowa.S¡dzimy,»enale»yułatwi¢stu-

dentomIIrokuWydziałuMIM,którzyzainteresowalibysi¦tymizagadnieniami,

mo»liwieprostezapoznaniesi¦znimi.

Istotn¡cz¦±ci¡skryptus¡zadania.Starali±mysi¦dobra¢jetak,aby(zewentu-

aln¡wskazówk¡)niebyłyzbytzło»one.Znaczn¡ichcz¦±¢nale»yjednaktraktowa¢

jakomateriałuzupełniaj¡cy.Nasz¡ocen¦tego,codajesi¦dokładnieomówi¢na

¢wiczeniach,sygnalizujemyopatruj¡cpewneztychzada«symbolem .Ztych

zada«układali±my,prowadz¡c¢wiczenia,zestawydlastudentówidawali±mypo-

dobnezadanianakolokwiachiegzaminach.

Istniejeobszernaliteraturawj¦zykupolskim,dotycz¡caró»nychaspektówpro-

blematyki,wktór¡wprowadzakursTopologiiI(niektóreztychpozycjiwymie-

niamyponi»ej).Naszskrypt,pisanyzmy±l¡ozaj¦ciachkursowych,niezast¡pi

oczywi±ciekontaktuz»adn¡ztychznakomitychksi¡»ek.

WYBRANEPOZYCJEZLITERATURYWJZYKUPOLSKIM.

R.Engelking,K.Sieklucki, Wst¦pdotopologii ,Warszawa1986.

K.J¨anich, Topologia ,Warszawa1991.

C.Kosniowski, Wprowadzeniedotopologiialgebraicznej ,Pozna«1999.

K.Kuratowski, Wst¦pdoteoriimnogo±ciitopologii ,Warszawa2004.

J.Mioduszewski, Wykładyztopologii.Topologiaprzestrzenieuklidesowych ,Ka-

towice1994.

1.Przestrzeniemetryczneiprzestrzenietopologiczne

1.1. Metrykiitopologiaprzestrzenimetrycznej.

Metrykapozwalamierzy¢odległo±¢mi¦dzypunktamiprzestrzeni.Interesowa¢

nasb¦d¡jednakniesamemetryki,awyznaczoneprzeznierodzinyzbiorówotwar-

tych-topologie.

Deﬁnicja1.1.1. Metryk¡nazbiorzeXnazywasi¦funkcj¦d : X × X ! R

spełniaj¡c¡nast¦puj¡cewarunki:

(1) d ( x,y )=0 wtedyitylkowtedy,gdyx = y,

(2) d ( x,y )= d ( y,x ) ,dlax,y 2 X,

(3) d ( x,y ) ¬ d ( x,z )+ d ( z,y ) ,dlax,y,z 2 X.

Par¦ ( X,d ) nazywamyprzestrzeni¡metryczn¡.

Zwłasno±ci(3),nazywanejnierówno±ci¡trójk¡ta,warunkusymetrii(2),oraz

(1)wynika,»edla x,y 2 X ,0= d ( x,x ) ¬ 2 d ( x,y ),awi¦cmetrykaprzyjmuje

tylkowarto±cinieujemne.

Elementyprzestrzenimetrycznej( X,d )nazywa¢b¦dziemypunktami,aliczb¦

d ( x,y )odległo±ci¡mi¦dzypunktami x,y 2 X .

s¡ci¡gi n -elementoweliczbrzeczywistych,aodległo±¢miedzy a =( a 1 ,...,a n ),

b =( b 1 ,...,b n ) 2 R n jestokre±lon aformuł¡

(4) d e ( a,b )= q P i =1 ( a i − b i ) 2 .

Sprawdzimy,»e d e jestmetryk¡.Uzasadnieniawymagajedynienierówno±¢trój-

k¡ta(3).Poka»emynajpierw,»edla 0 =(0 ,..., 0),

(5) d e ( a,b ) ¬ d e ( a, 0 )+ d e ( 0 ,b ).

Popodniesieniudokwadratuobustron,(5)przekształcasi¦wnierówno±¢

Cauchy’ego

(6) P i =1 | a i b i |¬ q P i =1 a 2 i

n ,d e ).PunktamiR

q P i =1 b 2 i .

q P i =1 a 2 i , B =

q P i =1 b 2 i , s i =

B ,mamy P i =1 s 2 i =1= P i =1 t 2 i ,aponiewa»2 s i t i ¬ s 2 i + t 2 i ,po

zsumowaniutychnierówno±cistronamidostaniemy(6).

Abyprzej±¢od(5)doogólnejsytuacji,zauwa»my,»emetrykaeuklidesowajest

niezmienniczazewzgl¦dunaprzesuni¦cia,awi¦cdladowolnych a,b,c 2 R

A , t i = | b i |

n mamy

d e ( a,b )= d e ( a − c,b − c ) ¬ d e ( a − c, 0 )+ d e ( 0 ,b − c )= d e ( a,c )+ d e ( c,b ).

Kul¡wprzestrzenimetrycznej( X,d )o±rodkuwpunkcie a 2 X ipromieniu

r > 0nazywamyzbiór

B ( a,r )= { x 2 X : d ( a,x ) < r } .

Deﬁnicja1.1.3. Wprzestrzenimetrycznej ( X,d ) ,zbiórU Xjestotwarty,je±li

dlaka»degox 2 Uistniejer > 0 takie,»eB ( x,r ) U.Rodzin¦ T ( d ) wszystkich

zbiorówotwartychw ( X,d ) nazywamytopologi¡tejprzestrzenimetrycznejalbo

topologi¡generowan¡przezmetryk¦d.

Przykład1.1.2. Wprowadzimyprzestrzenieeuklidesowe(R

Przypomnijmyuzasadnienie(6):przyjmuj¡c A =

| a i |

Uwaga1.1.4. (A)Wprzestrzenimetrycznej( X,d ),je±li b 2 B ( a,r ),tozgod-

nieznierówno±ci¡trójk¡ta,dla s = r − d ( a,b ),mamy B ( b,s ) B ( a,r ).W

szczególno±ci,kule B ( a,r )s¡otwartewprzestrzeni( X,d ).

(B)Dopełnienie X \ F zbiorusko«czonego F wprzestrzenimetrycznej( X,d )

jestotwarte.Istotnie,je±li x 2 X \ F i r =min { d ( x,y ): y 2 F } ,to B ( x,r )

X \ F .

Własno±citopologiiprzestrzenimetrycznej,którewyró»nimywnast¦puj¡cym

twierdzeniu,posłu»¡namwdalszejcz¦±cidookre±leniaogólnychprzestrzenito-

pologicznych.

Twierdzenie1.1.5. Topologia T ( d ) przestrzenimetrycznej ( X,d ) manast¦puj¡-

cewłasno±ci:

(i) ; ,X 2T ( d ) ,

(ii)przeci¦ciesko«czeniewieluelementów T ( d ) jestelementem T ( d ) ,

(iii)sumadowolniewieluelementów T ( d ) jestelementem T ( d ) .

Dowód. Poniewa» x 62; dlaka»dego x 2 X ,warunekokre±laj¡cyzbioryotwarte

w( X,d )jestspełnionydla ; .Jestte»jasne,»e X 2T ( d ).

Sprawdzimy(ii).Niech U 1 ,U 2 2T ( d ).Dladowolnego x 2 U 1 \ U 2 istniej¡

r i > 0takie,»e B ( x,r i ) U i ,awi¦c B ( x,r ) U 1 \ U 2 ,dla r =min( r 1 ,r 2 ).

Zatem U 1 \ U 2 2T ( d ),ast¡d(ii)wynikaprzezindukcj¦.

Przykład1.1.6. (A)Metrykinatymsamymzbiorze,oró»nychwłasno±ciach

geometrycznych,mog¡generowa¢t¦sam¡topologi¦.Dlailustracji,rozpatrzmy

n metryki

d s ( a,b )=

n X

| a i − b i | , d m ( a,b )=max

i =1

n ,d m )maj¡ró»nykształt,alemetryki d e , d s i d m gene-

ruj¡t¦sam¡topologi¦, T ( d e )= T ( d s )= T ( d m ).

n ,d e ),(R

n ,d s ),oraz(R

Wyn ik atozprostychnierówno±ci d e ¬ p nd m , d m ¬ d s ,oraznierówno±ci

d s ¬ p nd e ,którajestkonsekwencj¡nierówno±ciCauchy’ego(6)w1.1.2.

(B)Niech( X,d )b¦dzieprzestrzeni¡metryczn¡i > 0.Wówczasfunkcja

d ( x,y )=min { d ( x,y ) , } jestmetryk¡w X ,generuj¡c¡t¦sam¡topologi¦,co

metryka d .Wynikatost¡d,»ewobuprzestrzeniachmetrycznych( X,d )i( X,d )

kuleopromieniach < s¡identyczne.

Przykład1.1.7. (A)Funkcja d :R × R ! Rokre±lonaformułami d ( x,y )=

| x | + | y | ,dla x 6 = y ,oraz d ( x,x )=0,jestmetryk¡.Metryka d generujewR

topologi¦ T ( d )ró»n¡odtopologiieuklidesowej,tzn.generowanejprzezmetryk¦

d e ( x,y )= | x − y | .Wprzestrzeni(R ,d )kulao±rodkuwpunkcie x 6 =0ipromieniu

r = | x | składasi¦jedyniezpunktu x ,azatem { x } jestzbioremotwartymwtej

przestrzeni.Poniewa»kulaw(R ,d )o±rodkuwzerzeipromieniu r jestprzedzia-

łem( − r,r ),wynikast¡d,»e T ( d )składasi¦zewszystkichpodzbiorówR \{ 0 } ,

orazwszystkichzbiorówzawieraj¡cychpewienprzedział( − r,r ).

Niech V = S U b¦dziesum¡rodziny UT ( d ).Je±li x 2 V ,to x 2 U dla

pewnego U 2U ,awi¦cistnieje r > 0takie,»e B ( x,r ) U V .Zatem

V 2T ( d ),codowodzi(iii).

i | a i − b i | ,

gdzie a =( a 1 ,...,a n ), b =( b 1 ,...,b n ).Kulewprzestrzeniachmetrycznych

1 b¦dziezbioremci¡gówliczbrzeczywistych( x 1 ,x 2 ,... )oprawie

wszystkich(tzn.wszystkich,pozasko«czeniewieloma)współrz¦dnychrównych

zeru.B¦dziemyidentyﬁkowa¢R

n zezbiorempunktów( x 1 ,...,x n , 0 , 0 ,... )wR

1 .

Metryki d e i d s wR

1 okre±lamyformułami

v u u t

d e ( a,b )=

1 X

( a i − b i ) 2 , d s ( a,b )=

1 X

| a i − b i | ,

i =1

1 metryki d e i d s pokry-

waj¡si¦zmetrykamiwprowadzonymiw1.1.2i1.1.6(A)).Poka»emy,»e d e i

d s generuj¡ró»netopologiewR

n R

1 .Istotnie,niech 0 =(0 , 0 ,... )iniech B s ( 0 , 1)

1 ,d s )o±rodkuw 0 ipromieniu1.Sprawdzimy,»e B s ( 0 , 1) 62

T ( d e ).Załó»myprzeciwnieiniech B e ( 0 ,r ) B s ( 0 , 1),gdzie B e ( 0 ,r )jestkul¡

w(R

1 ,d e )o±rodkuw 0 ipromieniu r > 0.Ustalmy n takie,»e 1 n < r 2 iniech

a =( 1 n , 1 n ,..., 1 n , 0 , 0 ,... )b¦dziepun ktemm aj¡cy m dokładnie n współrz¦dnych

niezerowych.Wówczas d e ( a, 0 )=

q 1 n < r ,sk¡d a 2 B e ( 0 ,r ),ale

d s ( a, 0 )= n · 1 n =1,czyli a 62 B s ( 0 , 1),awi¦cdoszli±mydosprzeczno±ci.

n · ( 1 n ) 2 =

Zako«czymyt¦cz¦±¢uwag¡dotycz¡c¡topologiipodprzestrzeniprzestrzenime-

trycznych.

Uwaga1.1.8. Niech( X,d X )b¦dzieprzestrzeni¡metryczn¡iniech Y X .

Wówczasobci¦cie d Y = d X | Y × Y metryki d X do Y jestmetryk¡,generuj¡c¡

w Y topologi¦ T ( d Y ),którejelementys¡±ladamizbiorówotwartychw( X,d X )

na Y ,tzn. T ( d Y )= { U \ Y : U 2T ( d X ) } .Abysi¦otymupewni¢,wystarczy

zauwa»y¢,»edla y 2 Y kulawprzestrzeni( Y,d Y )o±rodkuw y ipromieniu r

jestprzeci¦ciemz Y kuliw( X,d X )o±rodkuw y ipromieniu r .

Przykład1.1.9. Niech Y = { 0 }[{ 1 n : n =1 , 2 ,... } iniech d Y b¦dzieobci¦-

ciemdo Y metrykieuklidesowejwR.Topologia T ( d Y )składasi¦zewszystkich

podzbiorów Y ,którealboniezawieraj¡zera,alboichdopełnieniedo Y jestsko«-

czone.

Zauwa»my,»eobci¦ciedo Y metrykizPrzykładu1.1.7(A)generujet¦sam¡

topologi¦.

1.2. Przestrzenietopologiczne.

Własno±ciwyró»nionewTwierdzeniu1.1.5przyjmiemyzaokre±lenietopologii

wprzestrzeniachbezmetryki.

Deﬁnicja1.2.1. Rodzina T podzbiorówzbioruXjesttopologi¡wX,je±li

(i) ; ,X 2T ,

(ii)przeci¦ciesko«czeniewieluelementów T jestelementem T ,

(iii)sumadowolniewieluelementów T jestelementem T .

Par¦ ( X, T ) nazywamyprzestrzeni¡topologiczn¡,elementyzbioruXpunktami

tejprzestrzeni,aelementyrodziny T zbioramiotwartymiw ( X, T ) .

Je±lidlaprzestrzenitopologicznej( X, T )mo»naokre±li¢metryk¦ d na X ,dla

której T = T ( d ),mówimy,»eprzestrze«( X, T )jestmetryzowalna.Istniejewiele

wa»nychprzestrzenitopologicznych,którenies¡metryzowalne.Jedn¡znich

wska»emywnast¦puj¡cymprzykładzie(zob.tak»eUzupełnienie7.3.2).

(B)NiechR

gdzie a =( a 1 ,a 2 ,... ), b =( b 1 ,b 2 ,... )(naR

b¦dziekul¡w(R

Topologia I - wykłady i zadania - S.Betley, J.Chaber, E.Pol.pdf

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: